内蒙古包头市包钢四中2018-2019学年高二下学期4月月考数学（文）试题

内蒙古包头市包钢四中2018-2019学年高二下学期4月月考数学（文）试题

文科数学 一、选择题（本题共12小题，共60分） ‎ ‎1.抛物线的焦点坐标是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 把抛物线化为， ，的焦点坐标是.选D.‎ ‎2.已知函数为函数的导函数，那么等于（ ）‎ A. -1 B. ‎1 ‎C. 0 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎，所以，故选A.‎ ‎3.已知椭圆的焦距为8，则m的值为（ ）‎ A. 3或 B. ‎3 ‎C. D. 或 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 看分母的大小，分两种情况讨论 ‎【详解】由焦距为8，得，即 ‎①当时，‎ 所以，解得 ‎②当时，‎ 所以，解得 综上：或 故选：A ‎【点睛】本题考查的是椭圆的标准方程，较简单.‎ ‎4.已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）‎ A. 3 B. ‎2 ‎C. 1 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 解：因为曲线，选A ‎5.若函数在区间上是减函数,则实数的取值范围为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出f（x）的导函数，令导函数小于等于0在区间（1，+∞）上恒成立，分离出a，求出函数的最大值，求出a的范围．‎ ‎【详解】∵‎ ‎∵f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，‎ ‎∴在区间（1，+∞）上恒成立 ‎∴a≤x2在区间（1，+∞）上恒成立 ‎∵x2＞1‎ ‎∴a≤1，经检验，等号成立 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数与函数的单调性，解决已知函数的单调性求参数范围问题常转化为导函数大于等于（或小于等于）0恒成立；解决不等式恒成立求参数范围问题常分离参数转化为求函数的最值，是基础题 ‎6.若，则等于（ ）‎ A. 2 B. ‎0 ‎C. -2 D. -4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求导，算出，然后即可求出 ‎【详解】因为，所以 所以，得 所以，所以 故选：D ‎【点睛】本题考查是导数的计算，较简单.‎ ‎7.若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由求出即可 ‎【详解】因为，所以 所以其渐近线方程为 故选：A ‎【点睛】在椭圆中有，在双曲线中有.‎ ‎8.函数导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 函数在上单调递增 B. 函数的递减区间为 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数的图象写出的单调区间即可.‎ ‎【详解】由图可知：‎ 在和上单调递减，‎ 在和上单调递增 所以在处取得极小值 故选：D ‎【点睛】本题考查的是利用导数的图象得的单调性和极值点，较简单.‎ ‎9.已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】若△AF1B的周长为4,‎ 由椭圆的定义可知,,‎ ‎,,‎ ‎，‎ 所以方程为，故选A.‎ 考点：椭圆方程及性质 ‎10.已知椭圆的左，右焦点是F1、F2，P是椭圆上一点，若|PF1|=2|PF2|，则椭圆的离心率的取值范围是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意和椭圆的定义得出，同时可得，代入可得椭圆的离心率的取值范围.‎ ‎【详解】解：由椭圆的定义知: |PF1|+|PF2|=‎2a,因为|PF1|=2|PF2|,‎ 即,又因为,所以,‎ 所以有: ,,‎ 故椭圆的离心率的取值范围是,‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质及离心率的相关计算，相对不难.‎ ‎11.已知点P是椭圆上的一点，分别为椭圆的左、右焦点，已知，且，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，则，先由椭圆的定义得，然后由余弦定理算出，即可得出，然后算出离心率即可.‎ ‎【详解】设，则 由椭圆的定义得，即 由余弦定理得：‎ 即 所以，所以 所以椭圆的离心率为：‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查的是椭圆中的焦点三角形，解决此类问题时一般要用到椭圆的定义和余弦定理，比较典型.‎ ‎12.若直线与的图象有三个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：因，故函数在处取极小值，在取极大值，故结合函数的图象可知当，两函数与的图象有三个交点，应选A.‎ 考点：导数在研究函数的零点中的运用．‎ 二、填空题（本题共4小题，共20分）‎ ‎13.抛物线上一点M的横坐标为3，且，则抛物线方程为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由解出即可 ‎【详解】抛物线的准线方程为：‎ 所以，解得 所以抛物线的方程为：‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查的是抛物线的定义的应用，较简单.‎ ‎14.求过点且与曲线相切的直线方程为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设过点的直线与相切于点，由建立方程，解出即可.‎ ‎【详解】设过点的直线与相切于点 因为，所以 解得 所以切线的斜率为 所以切线的方程为：，即 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查的是导数的几何意义的应用，较为典型.‎ ‎15.已知点平分抛物线的一条弦，则这条弦所在直线的方程是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设弦的两端点为，则有，将两式作差即可算出斜率， 从而得到直线的方程.‎ ‎【详解】设弦的两端点为 则有 将两式相减得 因为，所以 所以这条弦所在直线的方程是：，即 故答案为：‎ ‎【点睛】点差法是解决中点弦问题常用的方法.‎ ‎16.设函数，若函数有三个不同零点，则c的取值范围为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数研究函数的单调性，求得函数的极大值与极小值，根据极大值大于零，极小值小于零列不等式可得结果.‎ ‎【详解】，令得或 与在区间上的情况如下：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎+‎ 单调递增 单调递减 单调递增 所以，当极大值且极小值时，‎ 存在，，‎ 使得 所以当时函数有三个不同零点 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的极值及函数的零点，属于中档题，三次函数的零点个数问题，往往考虑函数的极值符号来解决，设函数的极大值为 ‎，极小值为，一个零点有或，两个零点有或，三个零点有且.‎ 三、解答题（本题共6小题，共70分）‎ ‎17.（1）已知和是椭圆的两个焦点，且点在椭圆C上，求椭圆C的方程；‎ ‎（2）已知双曲线的渐近线方程为，且经过点，求双曲线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）由椭圆的定义求出即可 ‎（2）设双曲线的方程为，将点代入求出即可 ‎【详解】（1）和是椭圆：的两个焦点，‎ 且点在椭圆C上，‎ ‎∴依题意，，又，故 所以 故所求椭圆C的方程为．‎ ‎（2）双曲线的两条渐近线的方程为，且经过点，‎ 可设双曲线的方程为，‎ 可得，即，‎ 即有双曲线的方程为．‎ ‎【点睛】本题考查的是椭圆和双曲线的基本知识，较简单.‎ ‎18.已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，过F1的直线l与椭圆C交于M，N两点，且△MNF2周长为8．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若直线y＝kx＋b与椭圆C分别交于A，B两点，且OA⊥OB，试问点O到直线AB的距离是否为定值，证明你的结论．‎ ‎【答案】（1）； （2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据三角形周长为8，结合椭圆的定义可知，，利用，即可求得和的值,求得椭圆方程；(2)分类讨论，当直线斜率斜存在时,联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算,求得和的关系，利用点到直线的距离公式即可求得点到直线的距离是否为定值.‎ ‎【详解】（1）由题意知，‎4a=8，则a=2，‎ 由椭圆离心率，则b2=3．‎ ‎∴椭圆C的方程；‎ ‎（2）由题意，当直线AB的斜率不存在，此时可设A（x0，x0），B（x0，-x0）．‎ 又A，B两点在椭圆C上，‎ ‎∴，‎ ‎∴点O到直线AB的距离，‎ 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+b．设A（x1，y1），B（x2，y2）‎ 联立方程，消去y得（3+4k2）x2+8kbx+4b2-12=0．‎ 由已知△＞0，x1+x2=，x1x2=，‎ 由OA⊥OB，则x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+b）（kx2+b）=0，‎ 整理得：（k2+1）x1x2+kb（x1+x2）+b2=0，‎ ‎∴ ．‎ ‎∴7b2=12（k2+1），满足△＞0．‎ ‎∴点O到直线AB的距离为定值．‎ 综上可知：点O到直线AB的距离d=为定值．‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的定义及椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点到直线的距离公式，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.‎ ‎19.已知动圆M经过定点，且与直线相切.‎ ‎（1）求动圆M的圆心的轨迹方程曲线C；‎ ‎（2）设直线l与曲线C相交于M，N两点，且满足，的面积为8，求直线l的方程.‎ ‎【答案】（1）曲线C的方程为：，（2）直线l的方程为：‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据抛物线的定义可知，曲线C是以为焦点，以直线为准线的抛物线，写出其方程即可 ‎（2）设直线l：，，联立直线与抛物线的方程，消元可得 ‎，由得到，所以直线l恒过定点，然后由即可求出 ‎【详解】（1）设点，点到直线的距离为 依题意得 根据抛物线的定义可知，曲线C是以为焦点，以直线为准线的抛物线 所以曲线C的方程为：‎ ‎（2）易知直线l的斜率显然存在 设直线l：，‎ 由得 所以 所以 所以，所以 所以直线l：‎ 所以直线l恒过定点 所以 所以，即 所以，所以，即 所以直线l的方程为：‎ ‎【点睛】涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.‎ ‎20.设函数，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0．‎ ‎（1）求y=f（x）的解析式；‎ ‎（2）证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．‎ ‎【答案】(1)；(2)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，‎ 当x＝2时，y＝．‎ 又f′(x)＝a＋，‎ 于是，解得 故f(x)＝x－．‎ ‎(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(1＋)·(x－x0)，即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．‎ 令x＝0得，y＝－，从而得切线与直线x＝0，交点坐标为(0，－)．‎ 令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．‎ 所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x0|＝6．‎ 曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6．‎ ‎21.已知函数，。‎ ‎（1）求函数在处的切线方程；‎ ‎（2）讨论函数的单调性.‎ ‎【答案】（1），（2）①当时在上单调递增；②当时在上单调递减，在上单调递增；③当时在上单调递减，在上单调递增 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出和即可 ‎（2），分、、三种情况讨论.‎ ‎【详解】（1）因为 所以，‎ 所以 所以函数在处的切线方程为：‎ ‎，即 ‎（2）的定义域是 所以当时在上单调递增 当时由得，由得 所以在上单调递减，在上单调递增 当时由得，由得 所以在上单调递减，在上单调递增 综上：①当时在上单调递增 ‎②当时在上单调递减，在上单调递增 ‎③当时在上单调递减，在上单调递增 ‎【点睛】本题考查的是导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性，比较典型.‎ ‎22.已知函数．‎ ‎（1）当时，求函数的极值；‎ ‎（2）若，恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎【答案】（1）的极小值为，无极大值；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数求出单调性即可 ‎（2）分离变量得，然后利用导数求出右边的最小值即可 ‎【详解】（I）当时，‎ ‎ 当时，当时 所以在上单调递减，在上单调递增 所以的极小值为，无极大值.‎ ‎（II）∵对，恒成立，‎ 在恒成立，‎ 令，‎ 当时，，当时，，‎ 在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎，‎ 所以实数a的取值范围为．‎ ‎【点睛】恒成立问题一般通过分离变量转化为最值问题.‎ ‎ ‎