陕西省汉中市2020届高三第五次质量检测试题 数学（理）
2020届高三第五次质量检测理科数学试题
(全卷满分150分，答卷时间120分钟)
第I卷
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每题给出的四个选项中，只有一项符合题意。)
1.已知集合，则
A. B.
C. D.
2.复数z满足i·z＝2＋3i，则|z|＝
A. B. C. D.
3.已知向量，且，则实数k＝
A.4 B.－4 C.0 D.
4.我们常用的数是十进制数，如4657＝4×103＋6×102＋5×101＋7×100，数要用10个数码(又叫数字)：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，在电子计算机中用的二进制，只要两个数码：0和1，如二进制中110＝1×22＋1×21＋0×20等于十进制的数6，110101＝1×25＋1×24＋0×23＋1×22＋0×21＋1×20，等于十进制的数53。那么十二进制数66用二进制可表示为
A.1001110 B.1000010 C.101010 D.111000
5.某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟，均为正整数)分别为x，y，10，11，9。已知这组数据的平均数为10，则它的极差不可能为
A.8 B.4 C.2 D.1
6.《九章算术》是我国古代著名数学经典。其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺。问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺。问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)。
已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为
(注：1丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，)
A.600立方寸 B.610立方寸 C.620立方寸 D.633立方寸
7.已知函数的最小正周期是π，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点P(0，1)，则函数
A.有一个对称中心 B.有一条对称轴
C.在区间上单调递减 D.在区间上单调递增
8.若a>b>1，0
bc B.abc>bac C. D.logac>logbc
9.已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－4，n∈N*，则an ＝
A.2n＋1 B. 2n C. 2n－1 D. 2n－2
10.过抛物线y2＝4x焦点F的直线交抛物线于A、B两点，交其准线于点C，且A、C位于x轴同侧，若|AC|＝2|AF|，则|BF|等于
A.2 B.3 C.4 D.5
11.已知椭圆M：，双曲线N：。若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，设椭圆M的离心率为e1，双曲线N的离心率为e2，则e1＋e2为
A.＋3 B.＋1 C.2－1 D.2＋1
12.已知点P为函数f(x)＝lnx的图象上任意一点，点Q为圆上任意一点，则线段PQ的长度的最小值为
A. B.
C. D.
第II卷
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分。)
13.在的展开式中，含x项的系数为________。
14.若实数x，y满足约束条件，则的取值范围为________。
15.已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，且满足f(3－x)＝f(x)，f(－1)＝3，数列{an}满足a1＝1且，则f(a36)＋f(a37)＝________。
16.点S、A、B、C在半径为的同一球面上，点S到平面ABC的距离为，AB＝BC＝CA＝，则点S与△ABC中心的距离为________。
三、解答题(本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22～23题为选考题，考生根据要求作答。)
(一)必做题：共60分。
17.(本题满分12分)已知函数。
(1)当时，求f(x)的值域；
(2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，a＝4，b＋c＝5，求△ABC的面积。
18.(12分)清华大学自主招生考试题中要求考生从A，B，C三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加测试，选择A，B，C三题答卷数如下表：
(1)负责招生的教授为了解参加测试的学生答卷情况，
现用分层抽样的方法从600份答案中抽出若干份答卷，其中从选择A题作答的答卷中抽出了3份，则应分别从选择B，C题作答的答卷中各抽出多少份？
(2)测试后的统计数据显示，A题的答卷得优的有60份，若以频率作为概率，在(1)问中被抽出的选择A题作答的答卷中，记其中得优的份数为X，求X的分布列及其数学期望EX。
19.(12分)如图1，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC＝，D，E分别是AC，AB上的点，CD＝BE＝，△ADE将沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥A’－BCDE，使得A’B＝A’C＝。
(1)证明：平面A’BC⊥平面BCD；
(2)求A’B与平面A’CD所成角的余弦值。
20.(12分)在直角坐标系xOy中，动点P与定点F(l，0)的距离和它到定直线x＝4的距离之比是，设动点P的轨迹为E。
(1)求动点P的轨迹E的方程；
(2)设过F的直线交轨迹E的弦为AB，过原点的直线交轨迹E的弦为CD，若AB//CD，求证：为定值。
21.(本题满分12分)已知函数f(x)＝(x－1)2＋a(lnx－x＋1)，且a<2。
(1)讨论f(x)的极值点的个数；
(2)若方程f(x)＋a＋1＝0在(0，2]上有且只有一个实根，求a的取值范围。
(二)选做题：共10分
请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
22.(本小题满分10分)【选修4－4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，
曲线C的极坐标方程为。
(1)求曲线C的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；
(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，若点P的直角坐标为(l，0)，试求当时，|PA|＋|PB|的值。
23.(本小题满分10分)【选修4－5：不等式选讲】已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－3，3]。
(1)解不等式：f(x)＋f(x＋2)>0；
(2)若a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝m，求证：。
