河北省邯郸市大名中学2019-2020学年高二（清北班）下学期第四次半月考（6月6日）数学试题

河北省邯郸市大名中学2019-2020学年高二（清北班）下学期第四次半月考（6月6日）数学试题

‎6月6日数学测试题 考试范围：2-3一本书，集合，逻辑，函数性质 120分钟 150分 出题人：张来芬 一、单选题 ‎1．若集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知l，m是两条不同的直线，m⊥平面α，则“”是“l⊥m”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．如果实数，满足：，则下列不等式中不成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．2020年1月，某专家为了解新型冠状病毒肺炎的潜伏期，他从确诊感染新型冠状病毒的70名患者中了解到以下数据：‎ 潜伏期 ‎2天 ‎3天 ‎5天 ‎6天 ‎7天 ‎9天 ‎10天 ‎12天 人数 ‎2‎ ‎4‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎16‎ ‎16‎ ‎10‎ ‎4‎ 根据表中数据，可以估计新型冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为（精确到个位数）（ ）‎ A．6天 B．7天 C．8天 D．9天 ‎5．如图来自古希腊数学家阿基米德所研究的几何图形．此图形由三个半圆构成，两个小半圆外切，又同时内切于大半圆，三个半圆弧围成曲边三角形（黑色部分），由于其形状很像皮匠用来切割皮料的刀子，又称此图形为“皮匠刀”图形．若，在整个图形中随机取一点，则此点取自曲边三角形（黑色部分）的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为　　．‎ A． B．7 C． D．28‎ ‎7．已知是上的减函数，那么的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知定义在上的函数满足，当时，，若方程在上恰好有两个实数根，则正实数的值为（ ）‎ A． B． C． D．2‎ 二、多选题 ‎9．甲、乙两类水果的质量（单位：）分别服从正态分布，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（ ）‎ A．甲类水果的平均质量 B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于平均值附近 ‎10．下列几个命题，是真命题有（ ）‎ A．若，则 B．若复数，满足，则 C．给定两个命题，.若是的必要而不充分条件，则是的充分不必要条件 D．命题：，，，则：，，‎ ‎11．给定数集，若对于任意，，有，且，则称集合为闭集合，则下列说法中不正确的是（ ）‎ A．集合为闭集合 B．正整数集是闭集合 C．集合为闭集合 D．若集合，为闭集合，则为闭集合 ‎12．甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数字5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 三、填空题 ‎13．已知集合，，若是成立的一个充分不必要条件，则实数m的取值范围是______.‎ ‎14．直线与曲线交于、，且，则的最小值为__________‎ ‎15．设离散型随机变量X可能取的值为1、2、3、4.P(X＝k)＝ak＋b(k＝1、2、3、4)．又X的均值E(X)＝3，则a＋b＝__.‎ ‎16．若函数f(x)＝ (a，b，c∈R)的部分图象如图所示，则b＝________.‎ 四、解答题 ‎17．国家二孩政策放开后，某市政府主管部门理论预测2018年到2022年全市人口总数与年份的关系有如表所示：‎ 年份 (年)‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 人口数 (十万)‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎11‎ ‎19‎ ‎（Ⅰ）请根据表中提供的数据，运用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；‎ ‎（Ⅱ）据此，估计2023年该市人口总数.‎ ‎（附）参考公式：，.‎ 18． 水稻是人类重要的粮食作物之一，耕种与食用的历史都相当悠久，日前我国南方农户在播种水稻时一般有直播、撒酒两种方式．为比较在两种不同的播种方式下水稻产量的区别，某市红旗农场于2019年选取了200块农田，分成两组，每组100块，进行试验．其中第一组采用直播的方式进行播种，第二组采用撒播的方式进行播种．得到数据如下表：‎ ‎ 产量（单位：斤）‎ 播种方式 ‎[840，860）‎ ‎[860，880）‎ ‎[880,900）‎ ‎[900,920）‎ ‎[920,940）‎ 直播 ‎4‎ ‎8‎ ‎18‎ ‎39‎ ‎31‎ 散播 ‎9‎ ‎19‎ ‎22‎ ‎32‎ ‎18‎ 约定亩产超过900斤（含900斤）为“产量高”，否则为“产量低”‎ ‎（1）请根据以上统计数据估计100块直播农田的平均产量（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）‎ ‎（2）请根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“产量高”与“播种方式”有关？‎ 产量高 产量低 合计 直播 散播 合计 P（K2≥k0）‎ ‎0.10‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 附：‎ ‎19．2020年1月10日，引发新冠肺炎疫情的COVID-9病毒基因序列公布后，科学家们便开始了病毒疫苗的研究过程.但是类似这种病毒疫苗的研制需要科学的流程，不是一朝一夕能完成的，其中有一步就是做动物试验.已知一个科研团队用小白鼠做接种试验，检测接种疫苗后是否出现抗体.试验设计是：每天接种一次，3天为一个接种周期.已知小白鼠接种后当天出现抗体的概率为，假设每次接种后当天是否出现抗体与上次接种无关.‎ ‎（1）求一个接种周期内出现抗体次数的分布列；‎ ‎（2）已知每天接种一次花费100元，现有以下两种试验方案：‎ ‎①若在一个接种周期内连续2次出现抗体即终止本周期试验，进行下一接种周期，试验持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为元；‎ ‎②若在一个接种周期内出现2次或3次抗体，该周期结束后终止试验，已知试验至多持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为元.‎ 比较随机变量和的数学期望的大小.‎ ‎20．某生物小组为了研究温度对某种酶的活性的影响进行了一组实验，得到的实验数据经整理得到如下的折线图：‎ ‎（1）由图可以看出，这种酶的活性与温度具有较强的线性相关性，请用相关系数加以说明；‎ ‎（2）求关于的线性回归方程，并预测当温度为时，这种酶的活性指标值.（计算结果精确到0.01）‎ 参考数据：，，，.‎ 参考公式：相关系数.‎ 回归直线方程，，.‎ ‎21．如图，底面是边长为的正方形，⊥平面，∥，，与平面所成的角为．‎ ‎（1）求证：平面⊥平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎22．如图，已知椭圆C：＋y2＝1（a＞1）的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：x2＋y2－6x－2y＋7＝0相切．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且＝0，求证：直线l过定点，并求出该定点N的坐标．‎ 参考答案 ‎1．C 2．A 3．C 4．B 5．B 6．B 7．C 8．C ‎9．ABC 10．BCD 11．ABD 12．ABD ‎13． 14． 15． 16．－4‎ ‎17．（Ⅰ）（Ⅱ）196万.‎ ‎（Ⅰ）由题设，得，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴，.‎ ‎∴所求y关于x的线性回归方程为.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）及题意，当时，.‎ 据此估计2023年该市人口总数约为196万.‎ ‎18 （1）100块直播农田的平均产量为：‎ ‎（斤）‎ ‎（2）由题中所给的数据得到列联表如下所示：‎ 产量高 产量低 合计 直播 ‎70‎ ‎30‎ ‎100‎ 散播 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ 合计 ‎120‎ ‎80‎ ‎200‎ 由表中的数据可得的观察值 所以有99%的把握认为“产量高”与“播种方式”有关 ‎【点睛】‎ ‎19由题意可知，随机变量服从二项分布，故，然后列出分布列即可 ‎（2）根据题意分别算出和的期望即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可知，随机变量服从二项分布，‎ 故.‎ 则的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎（2）①设一个接种周期的接种费用为元，则可能的取值为200，300，‎ 因为，，‎ 所以.‎ 所以三个接种周期的平均花费为.‎ ‎②随机变量可能的取值为300，600，900，‎ 设事件为“在一个接种周期内出现2次或3次抗体”，由（1）知，.‎ 所以 ‎，‎ ‎，‎ 所以.‎ 所以.‎ 20． ‎ 解：（1）由题可知，，‎ ‎，‎ 则，‎ 因为非常接近1，所以酶的活性与温度具有较强的线性相关性.‎ ‎（2）由题可知，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以关于的线性回归方程为，‎ 当时，.‎ 故预测当温度为时，这种酶的活性指标值为13.22.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性回归分析，线性相关关系的判断以及求线性回归方程，正确利用公式是解题的关键，考查计算能力.‎ ‎21．‎ ‎（1）证明：DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD．‎ DE⊥AC．‎ 又底面ABCD是正方形，‎ AC⊥BD，又BD∩DE=D，‎ AC⊥平面BDE，‎ 又AC⊂平面ACE，‎ 平面ACE⊥平面BDE． ‎ ‎（2）以D为坐标原点，DA、DC、DE所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，‎ BE与平面ABCD所成的角为45°，‎ 即∠EBD=45°，‎ DE=BD=AD=，CF=DE=．‎ A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），E（0，0，），F（0，3，），‎ ‎ =（﹣3，0，）， =（0，3，）， ‎ 设平面BEF的一个法向量为 =（，，），‎ 则，即，令=，‎ 则 =（2，4，）．‎ 又AC⊥平面BDE，‎ ‎=（﹣3，3，0）为平面BDE的一个法向量． ‎ cos＜＞= = = ．‎ ‎∴二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．‎ ‎22．（1）＋y2＝1（2）证明见解析，定点N.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）将圆M的一般方程x2＋y2－6x－2y＋7＝0化为标准方程为（x－3）2＋（y－1）2＝3，圆M的圆心为M（3,1），半径为r＝.‎ 由A（0,1），F（c,0）（c＝）得直线AF：＋y＝1，即x＋cy－c＝0.‎ 由直线AF与圆M相切得＝.‎ 所以c＝或c＝－（舍去）．所以a＝，‎ 所以椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎（2）证明：由＝0，知AP⊥AQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，‎ 由A（0,1）可设直线AP的方程为y＝kx＋1，直线AQ的方程为y＝－x＋1（k≠0），‎ 将y＝kx＋1代入椭圆C的方程＋y2＝1并整理，得（1＋3k2）x2＋6kx＝0，‎ 解得x＝0或x＝－，‎ 因此P的坐标为，即.‎ 将上式中的k换成－，得Q.‎ 所以直线l的方程为y＝·＋，‎ 化简得直线l的方程为y＝x－.‎ 因此直线l过定点N.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆标准方程，考查椭圆中的直线过定点问题．动直线过定点，可先设出一个参数（本题中设直线AP斜率为k），用这个参数表示出动直线的方程，由动直线方程分析出定点．‎