专题2-2+函数定义域、值域(讲)-2018年高考数学一轮复习讲练测(江苏版)
【考纲解读】
内 容
要 求
备注
A
B
C
函数概念与基本初等函数Ⅰ
函数的基本性质
√
1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域.
2.了解简单的分段函数,并能简单应用.
【直击考点】
题组一 常识题
1.下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是________.
A.y=x B.y=lg x
C.y=2x D.y=
【答案】D
【解析】y=10lg x=x,定义域与值域均为(0,+∞),只有选项D满足题意.
2.已知函数y=f(x+1)的定义域是[-2,3],则y=f(2x-1)的定义域为________.
【答案】
【解析】 由x∈[-2,3],得x+1∈[-1,4],由2x-1∈[-1,4],得x∈
3.[教材改编] 函数f(x)=的定义域是________.
【答案】(-∞,-3)∪(-3,8]
【解析】要使函数有意义,则需8-x≥0且x+3≠0,即x≤8且x≠-3,所以其定义域是(-∞,-3)∪(-3,8].
题组二 常错题
4.函数y=f(cos x)的定义域为(k∈Z),则函数y=f(x)的定义域为________.
【答案】
【解析】 由于函数y=f(cos x)的定义域是(k∈Z),所以u=cos x的值域是,所以函数y=f(x)的定义域是.
5.已知函数f(x)=当t∈[0,1]时,f[f(t)]∈[0,1],则实数t的取值范围是______________.
【答案】
【解析】 因为t∈[0,1],所以f(t)=3t∈[1,3],所以f[f(t)]=f(3t)=-·3t∈[0,1],即≤3t≤3,所以log3≤t≤1.
6.若函数f(x)=的定义域为R,则实数m的取值范围是________.
【答案】.
【解析】函数的定义域为R,即mx2+4mx+3≠0恒成立.①当m=0时,符合题意;②当
m≠0时,Δ=(4m)2-4×m×3<0,即m(4m-3)<0,解得0
2}
【解析】 要使函数有意义,则需x2+x-6>0,解得x<-3或x>2.
9.设函数f(x)在区间[0,1]上有意义,若存在x∈R使函数f(x-a)+f(x+a)有意义,则a的取值范围为________.
【答案】 [-2,-1].
【知识清单】
1 函数的定义域
1.已知函数解析式,求定义域,其主要依据是使函数的解析式有意义,主要形式有:
(1)分式函数,分母不为0;
(2)偶次根式函数,被开方数非负数;
(3)一次函数、二次函数的这定义域为R;
(4)中的底数不等于0;
(5)指数函数的定义域为R;
(6)对数函数的定义域为;
(7)的定义域均为R;
(8)的定义域均为;
2.求抽象函数的定义域:
(1)由的定义域为,求的定义域,须解;
(2)由的定义域D,求的定义域,只须解在D上的值域就是函数 的定义域;
(3)由的定义域D,求的定义域.
3.实际问题中的函数的定义域,除了使解析式本身有意义,还要使实际问题有意义.
2 函数的值域
函数值域的求法:
(1)利用函数的单调性:若y=f(x)是 [a,b]上的单调增(减)函数,则f(a),f(b)分别是f(x)在区间[a,b]上取得最小(大)值,最大(小)值.
(2)利用配方法:形如型,用此种方法,注意自变量x的范围.
(3)利用三角函数的有界性,如.
(4)利用“分离常数”法:形如y= 或 (a,c至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法.
(5)利用换元法:形如型,可用此法求其值域.
(6)利用基本不等式:
(7)导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域
【考点深度剖析】
定义域是函数的灵魂,高考中考查的定义域多以填空形式出现,难度不大;有时也在解答题的某一小问当中进行考查;值域是定义域与对应法则的必然产物,值域的考查往往与最值联系在一起,难度中等.
【重点难点突破】
考点1 函数的定义域
【1-1】函数y=的定义域为_________.
【答案】(-∞,-1)∪(-1,0).
【1-2】函数的定义域为_________.
【答案】
【解析】由已知条件,自变量需满足
得
所以
故而所求函数定义域为.
【1-3】设,则的定义域为________.
【答案】
【解析】由得,的定义域为.故,解得.故的定义域为
【1-4】若函数f(x)= 的定义域为R,则a的取值范围为________.
【答案】[-1,0]
【思想方法】
(1)已知具体函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等式(组)求解.
(2)对实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解.
(3)对抽象函数:
①若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b
求出;
②若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]时的值域.
【温馨提醒】对于含有字母参数的函数定义域,应注意对参数取值的讨论;对于实际问题的定义域一定要使实际问题有意义;而分段函数的定义域是各段区间的并集、各个段上的定义域交集为空集,即各个段的端点处不能重复.
考点2 函数的值域
【2-1】求函数y=x+(x<0)的值域.
【答案】(-∞,-4].
【解析】∵x<0,∴x+=-≤-4,
当且仅当x=-2时等号成立.
∴y∈(-∞,-4].
∴函数的值域为(-∞,-4].
【2-2】 求函数y=x2+2x(x∈[0,3])的值域.
【答案】[0,15].
【解析】(配方法)
y=x2+2x=(x+1)2-1,
∵y=(x+1)2-1在[0,3]上为增函数,
∴0≤y≤15,
即函数y=x2+2x(x∈[0,3])的值域为[0,15].
【2-3】 求函数y=的值域.
【答案】(-1,1].
【2-2】 求函数f(x)=x-.的值域.
【答案】.
【解析】法一:(换元法)令=t,则t≥0且x=,
于是y=-t=-(t+1)2+1,
由于t≥0,所以y≤,故函数的值域是.
法二:(单调性法)容易判断f(x)为增函数,而其定义域应满足1-2x≥0,即x≤,所以
即函数的值域是.
【2-3】 求函数y=的值域.
【答案】
【思想方法】
求函数值域常用的方法
(1)配方法,多适用于二次型或可转化为二次型的函数.
(2)换元法.
(3)基本不等式法.
(4)单调性法.
(5)分离常数法.
【温馨提醒】求函数值域的方法多样化,需结合函数解析式的特点选用恰当的方法
【易错试题常警惕】
分段函数的参数求值问题,一定要注意自变量的限制条件.
如:已知实数,函数,若,则的
值为_______.
【分析】当时,,,由得,
解得,不合题意;当时,,,由得
,解得.所以的值为.
【易错点】没有对进行讨论,以为,直接代入求解而致误;
求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求而致误.
【练一练】
函数f(x)=则f(f(-1))的值为________.
【答案】-2
【解析】∵f(-1)=4-1=,
∴f(f(-1))=f =log2 =-2.