2020届二轮复习（文）专题五第3讲第1课时　圆锥曲线中的取值、范围、证明问题作业

2020届二轮复习（文）专题五第3讲第1课时　圆锥曲线中的取值、范围、证明问题作业

第3讲　圆锥曲线的综合问题 第1课时　圆锥曲线中的取值、范围、证明问题 ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ 解答题 ‎1.(2019山东济南学习质量评估)已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的离心率为‎3‎‎2‎,右焦点为F,且该椭圆过点‎1,-‎‎3‎‎2‎.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)当动直线l与椭圆C相切于点A,且与直线x=‎4‎‎3‎‎3‎相交于点B时,求证:△FAB为直角三角形.‎ 解析　(1)由题意得ca=‎3‎‎2‎,‎1‎a‎2‎+‎3‎‎4‎b‎2‎=1,又a2=b2+c2,所以b2=1,a2=4,即椭圆C的方程为x‎2‎‎4‎+y2=1.‎ ‎(2)证明:由题意可得直线l的斜率存在,‎ 设l的方程为y=kx+m,联立得y=kx+m,‎x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1,‎ 得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,‎ 又Δ=64k2m2-16(4k2+1)(m2-1)=0,得m2=4k2+1>0.‎ 设A(x1,y1),则x1=‎-8km‎2(4k‎2‎+1)‎=‎-8km‎2‎m‎2‎=-‎4km,y1=kx1+m=‎-4‎k‎2‎m+m=‎1‎m,即A‎-‎4km,‎‎1‎m.‎ 易得B‎4‎‎3‎‎3‎‎,‎4‎‎3‎‎3‎k+m,F(‎3‎,0),‎ 则FA=‎-‎4km-‎3‎,‎‎1‎m,FB=‎3‎‎3‎‎,‎4‎‎3‎‎3‎k+m,‎ FA‎·FB=‎3‎‎3‎‎-‎4km-‎‎3‎+‎1‎m‎4‎‎3‎‎3‎k+m=-‎4‎3‎k‎3m-1+‎4‎3‎k‎3m+1=0,‎ 所以FA⊥FB,即△FAB为直角三角形.‎ ‎2.(2019河北九校第二次联考)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,若过点F且斜率为1的直线与抛物线C相交于M,N两点,且|MN|=8.‎ ‎(1)求抛物线C的方程;‎ ‎(2)设直线l为抛物线C的切线,且l∥MN,P为l上一点,求PM·PN的最小值.‎ 解析　(1)由题意可知Fp‎2‎‎,0‎,则直线MN的方程为y=x-p‎2‎,代入y2=2px(p>0)得x2-3px+p‎2‎‎4‎=0,‎ 设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=3p,‎ ‎∵|MN|=8,∴x1+x2+p=8,即3p+p=8,解得p=2,‎ ‎∴抛物线C的方程为y2=4x.‎ ‎(2)设直线l的方程为y=x+b,代入y2=4x,得x2+(2b-4)x+b2=0,‎ ‎∵直线l为抛物线C的切线,∴Δ=0,解得b=1,‎ ‎∴直线l的方程为y=x+1.‎ 由(1)可知,x1+x2=6,x1x2=1,设P(m,m+1),‎ 则PM=(x1-m,y1-(m+1)),PN=(x2-m,y2-(m+1)),‎ ‎∴PM·PN=(x1-m)(x2-m)+[y1-(m+1)][y2-(m+1)]=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2-(m+1)(y1+y2)+(m+1)2,‎ ‎(y1y2)2=16x1x2=16,∴y1y2=-4,‎ y‎1‎‎2‎‎-y‎2‎‎2‎=4(x1-x2),∴y1+y2=4×x‎1‎‎-‎x‎2‎y‎1‎‎-‎y‎2‎=4,‎ PM‎·PN=1-6m+m2-4-4(m+1)+(m+1)2‎ ‎=2(m2-4m-3)‎ ‎=2[(m-2)2-7]‎ ‎≥-14,‎ 当且仅当m=2,即点P的坐标为(2,3)时,PM·PN取得最小值-14.‎ ‎3.(2019河北石家庄模拟(一))已知抛物线C:y2=2px(p>0)上一点P(x0,2)到焦点F的距离|PF|=2x0.‎ ‎(1)求抛物线C的方程;‎ ‎(2)过点P引圆M:(x-3)2+y2=r2(00,‎ 解得p=2,‎x‎0‎‎=1,‎ 所以抛物线C的方程为y2=4x.‎ ‎(2)由题意知,过点P引圆(x-3)2+y2=r2(0-2,所以9b>0)的左焦点为F,过点F的直线交椭圆于A,B两点,|AF|的最大值为M,|BF|的最小值为m,满足M·m=‎3‎‎4‎a2.‎ ‎(1)若线段AB垂直于x轴时,|AB|=‎3‎‎2‎,求椭圆的方程;‎ ‎(2)设线段AB的中点为G,AB的垂直平分线与x轴和y轴分别交于D,E两点,O是坐标原点,记△GFD的面积为S1,△OED的面积为S2,求S‎1‎S‎2‎的取值范围.‎ 解析　(1)由题意得F(-c,0),则根据椭圆的性质得,‎ M=a+c,m=a-c,又M·m=‎3‎‎4‎a2,‎ ‎∴a2-c2=‎3‎‎4‎a2,即a2=4c2,a=2c.‎ 又|AB|=‎2‎b‎2‎a=‎3‎‎2‎,且a2=b2+c2,∴a=1,b2=‎3‎‎4‎,‎ ‎∴椭圆的方程为x2+‎4‎y‎2‎‎3‎=1.‎ ‎(2)由(1)可知a=2c,则b=a‎2‎‎-‎c‎2‎=‎3‎c,‎ 椭圆的方程为x‎2‎‎4‎c‎2‎+y‎2‎‎3‎c‎2‎=1.‎ 由题意知直线AB的斜率一定存在且不为零,‎ 设直线AB的方程为y=k(x+c)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则由y=k(x+c),‎x‎2‎‎4‎c‎2‎‎+y‎2‎‎3‎c‎2‎=1‎消去y并整理得(4k2+3)x2+8ck2x+4k2c2-12c2=0,‎ ‎∴x1+x2=-‎8ck‎2‎‎4k‎2‎+3‎,y1+y2=k(x1+x2+2c)=‎6ck‎4k‎2‎+3‎,‎ ‎∴G‎-‎4ck‎2‎‎4k‎2‎+3‎,‎‎3ck‎4k‎2‎+3‎.‎ ‎∵DG⊥AB,设D(xD,0),‎ ‎∴‎3ck‎4k‎2‎+3‎‎-‎4ck‎2‎‎4k‎2‎+3‎-‎xD·k=-1,∴xD=-ck‎2‎‎4k‎2‎+3‎.‎ 易得Rt△FGD与Rt△EOD相似,‎ ‎∴S‎1‎S‎2‎=GD‎2‎OD‎2‎=‎-‎4ck‎2‎‎4k‎2‎+3‎+‎ck‎2‎‎4k‎2‎+3‎‎2‎‎+‎‎3ck‎4k‎2‎+3‎‎2‎‎-‎ck‎2‎‎4k‎2‎+3‎‎2‎=9+‎9‎k‎2‎>9.‎ 故S‎1‎S‎2‎的取值范围是(9,+∞).‎