北京市东城区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 含解析

北京市东城区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 含解析

‎2019-2020学年北京市东城区高一（上）期末数学试卷 一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1．（5分）设集合M＝{0}，N＝{﹣1，0，1}，那么下列结论正确的是（　　）‎ A．M＝∅ B．M∈N C．M⫋N D．N⫋M ‎2．（5分）下列函数为偶函数的是（　　）‎ A．y＝|x| B．y＝lnx C．y＝ex D．y＝x3‎ ‎3．（5分）已知函数y＝sinx在区间M上单调递增，那么区间M可以是（　　）‎ A．（0，2π） B．（0，π） C． D．‎ ‎4．（5分）命题”∀x∈A，2x∈B”的否定为（　　）‎ A．∃x∈A，2x∉B B．∃x∉A，2x∈B C．∀x∈A，2x∉B D．∀x∉A，2x∈B ‎5．（5分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　）‎ A．a2＞b2 B．2a＞2b C．a D．‎ ‎6．（5分）下列各式正确的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎7．（5分）“a，b为正实数”是“a+b＞2”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8．（5分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v＝，其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（　　）‎ A．8100 B．900 C．81 D．9‎ 二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．‎ ‎9．（5分）关于函数f（x）＝1+cosx，x∈（，2π）的图象与直线y＝t（t为常数）的交点情况，下列说法正确的是（　　）‎ A．当t＜0或t≥2时，有0个交点 ‎ B．当t＝0或时，有1个交点 ‎ C．当时，有2个交点 ‎ D．当0＜t＜2时，有2个交点 ‎10．（5分）已知函数f（x）＝4|x|+x2+a，下列命题正确的有（　　）‎ A．对于任意实数a，f（x）为偶函数 ‎ B．对于任意实数a，f（x）＞0 ‎ C．存在实数a，f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减 ‎ D．存在实数a，使得关于x的不等式f（x）≥5的解集为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）‎ 三、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎11．（5分）函数f（x）＝ln（1﹣x2）的定义域是　 　．‎ ‎12．（5分）sin的值为　 　．‎ ‎13．（5分）函数f（x）的值域为（0，+∞），且在定义域内单调递减，则符合要求的函数f（x）可以为　 　．（写出符合条件的一个函数即可）‎ ‎14．（5分）在国庆70周年庆典活动中，东城区教育系统近2000名师生参与了国庆中心区合唱、27方阵群众游行、联欢晚会及7万只气球保障等多项重点任务．设A＝{x|x是参与国庆中心区合唱的学校}，B＝{x|x是参与27方阵群众游行的学校}，C＝{x|x是参与国庆联欢晚会的学校}．请用上述集合之间的运算来表示：‎ ‎①既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为　 　；‎ ‎②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为　 　．‎ ‎15．（5分）已知函数f（x）＝则f（﹣2）＝　 　；若f（t）＝1，则实数t＝　 　．‎ ‎16．（5分）某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y（平方米）与时间t（月）之间的函数关系式是y＝at﹣1（a＞0且a≠1），它的图象如图所示，给出以下命题：‎ ‎①池塘中原有浮草的面积是0.5平方米；‎ ‎②第8个月浮草的面积超过60平方米；‎ ‎③浮草每月增加的面积都相等；‎ ‎④若浮草面积达到10平方米，20平方米，30平方米所经过的时间分别为t1，t2，t3，则2t2＞t1+t3．‎ 其中正确命题的序号有　 　．（注：请写出所有正确结论的序号）‎ 四、解答题：共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎17．（12分）已知集合A＝{x|x2+3x+2＜0}，全集U＝R．‎ ‎（1）求∁UA；‎ ‎（2）设B＝{x|m﹣1≤x≤m}，若B⊆∁UA，求m的取值范围．‎ ‎18．（13分）已知函数，f（0）＝．‎ ‎（1）求f（x）的解析式和最小正周期；‎ ‎（2）求f（x）在区间[0，2π]上的最大值和最小值．‎ ‎19．（14分）在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点O重合，始边为x轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为．‎ ‎（1）求tanβ的值；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎20．（16分）已知函数f（x）＝．‎ ‎（1）判断f（x）的奇偶性并证明；‎ ‎（2）判断f（x）的单调性并说明理由；‎ ‎（3）若f（ax﹣1）+f（2﹣x）＞0对任意a∈（﹣∞，2]恒成立，求x的取值范围．‎ ‎21．（15分）对于集合A，定义函数fA（x）＝‎ 对于两个集合A，B，定义运算A*B＝{x|fA（x）•fB（x）＝﹣1}．‎ ‎（1）若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，写出fA（1）与fB（1）的值，并求出A*B；‎ ‎（2）证明：fA*B（x）＝fA（x）•fB（x）；‎ ‎（3）证明：*运算具有交换律和结合律，即A*B＝B*A，（A*B）*C＝A*（B*C）．‎ ‎2019-2020学年北京市东城区高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1．（5分）设集合M＝{0}，N＝{﹣1，0，1}，那么下列结论正确的是（　　）‎ A．M＝∅ B．M∈N C．M⫋N D．N⫋M ‎【分析】利用集合与集合的关系直接求解．‎ ‎【解答】解：∵集合M＝{0}，N＝{﹣1，0，1}，‎ ‎∴M⫋N．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查集合的关系的判断，考查交集、并集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎2．（5分）下列函数为偶函数的是（　　）‎ A．y＝|x| B．y＝lnx C．y＝ex D．y＝x3‎ ‎【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，依次分析选项：‎ 对于A，y＝|x|，是偶函数，符合题意；‎ 对于B，y＝lnx，是对数函数，不是偶函数，不符合题意；‎ 对于C，y＝ex，是指数函数，不是偶函数，不符合题意；‎ 对于D，y＝x3，是幂函数，不是偶函数，不符合题意；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性，属于基础题．‎ ‎3．（5分）已知函数y＝sinx在区间M上单调递增，那么区间M可以是（　　）‎ A．（0，2π） B．（0，π） C． D．‎ ‎【分析】直接利用函数的单调性和子区间之间的关系求出结果．‎ ‎【解答】解：根据函数y＝sinx的单调递增区间：[]（k∈Z），‎ 当k＝0时，单调增区间为[]，由于为[]的子区间，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查的知识要点：函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．‎ ‎4．（5分）命题”∀x∈A，2x∈B”的否定为（　　）‎ A．∃x∈A，2x∉B B．∃x∉A，2x∈B C．∀x∈A，2x∉B D．∀x∉A，2x∈B ‎【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．‎ ‎【解答】解：命题为全称命题，则命题”∀x∈A，2x∈B”的否定为∃x∈A，2x∉B，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．‎ ‎5．（5分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　）‎ A．a2＞b2 B．2a＞2b C．a D．‎ ‎【分析】直接利用不等式的应用和函数的单调性的应用求出结果．‎ ‎【解答】解：由于a＞b，且a和b 的正负号不确定，所以选项ACD都不正确．‎ 对于选项：B由于函数y＝2x为单调递增函数，且a＞b，故正确 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查的知识要点：函数的单调性的应用，不等式的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．‎ ‎6．（5分）下列各式正确的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】利用正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性和诱导公式直接求解．‎ ‎【解答】解：在A中，sin＞0＞sin＝﹣sin，故A错误；‎ 在B中，＜cos，故B正确；‎ 在C中，＞，故C错误；‎ 在D中，＞cos＝sin，故D错误．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】‎ 本题考查命题真假的判断，考查正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性和诱导公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎7．（5分）“a，b为正实数”是“a+b＞2”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】可以取特殊值讨论充要性．‎ ‎【解答】解：若a，b为正实数，取a＝1，b＝1，则a+b＝2，则“a，b为正实数”是“a+b＞2”的不充分条件；‎ 若a+b＞2，取a＝1，b＝0，则b不是正实数，则“a+b＞2”是“a，b为正实数''的不必要条件；‎ 则“a，b为正实数”是“a+b＞2”的既不充分也不必要条件，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查命题充要性，以及不等式，属于基础题．‎ ‎8．（5分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v＝，其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（　　）‎ A．8100 B．900 C．81 D．9‎ ‎【分析】由题意令V＝2m/s，0m/s，则可求出耗氧量，求出之比．‎ ‎【解答】解：鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量为：令v＝2＝，即，‎ 即，即o＝8100，‎ 鲑鱼静止时耗氧量为：令v＝0＝，即，即o'＝100，‎ 故鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查对数求值，属于中档题．‎ 二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．‎ ‎9．（5分）关于函数f（x）＝1+cosx，x∈（，2π）的图象与直线y＝t（t为常数）的交点情况，下列说法正确的是（　　）‎ A．当t＜0或t≥2时，有0个交点 ‎ B．当t＝0或时，有1个交点 ‎ C．当时，有2个交点 ‎ D．当0＜t＜2时，有2个交点 ‎【分析】直接利用函数的图象和函数的性质及参数的范围求出函数的交点的情况，进一步确定结果．‎ ‎【解答】解：根据函数的解析式画出函数的图象：‎ ‎①对于选项A：当t＜0或t≥2时，有0个交点，故正确．‎ ‎②对于选项B：当t＝0或时，有1个交点，故正确．‎ ‎③对于选项C：当t＝时，只有一个交点，故错误．‎ ‎④对于选项D：当，只有一个交点，故错误．‎ 故选：AB．‎ ‎【点评】本题考查的知识要点：函数的图象的应用，利用函数的图象求参数的取值范围，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．‎ ‎10．（5分）已知函数f（x）＝4|x|+x2+a，下列命题正确的有（　　）‎ A．对于任意实数a，f（x）为偶函数 ‎ B．对于任意实数a，f（x）＞0 ‎ C．存在实数a，f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减 ‎ D．存在实数a，使得关于x的不等式f（x）≥5的解集为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）‎ ‎【分析】直接利用函数的对称性和函数的单调性的应用求出结果．‎ ‎【解答】解：函数f（x）＝4|x|+x2+a，‎ ‎①对于选项A：由于x∈R，且f（﹣x）＝f（x），故函数f（x）为偶函数．故选项A正确．‎ ‎②对于选项B：由于x2≥0，所以，故4|x|+x2≥1所以当x＝0时a＝﹣2时，f（x）＜0，故选项B错误．‎ ‎③对于选项C：由于函数f（x）的图象关于y轴对称，在x＞0时，函数为单调递增函数，在x＜0时，函数为单调递减函数，‎ 故f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，故选项C正确．‎ ‎④对于选项D：由于函数的图象关于y轴对称，且在x＞0时，函数为单调递增函数，在x＜0时，函数为单调递减函数，‎ 故存在实数a＝0时，当x∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）时，不等式成立，故选项D正确．‎ 故选：ACD．‎ ‎【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．‎ 三、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎11．（5分）函数f（x）＝ln（1﹣x2）的定义域是　（﹣1，1）　．‎ ‎【分析】解不等式1﹣x2＞0即可．‎ ‎【解答】解：令1﹣x2＞0，解得﹣1＜x＜1，即函数的定义域为（﹣1，1）．‎ 故答案为：（﹣1，1）．‎ ‎【点评】本题考查函数定义域的求法及不等式的求解，属于基础题．‎ ‎12．（5分）sin的值为　﹣　．‎ ‎【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，计算即可得到结果．‎ ‎【解答】解：sin＝sin（2π﹣）＝﹣sin＝﹣．‎ 故答案为：﹣‎ ‎【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．‎ ‎13．（5分）函数f（x）的值域为（0，+∞），且在定义域内单调递减，则符合要求的函数f（x）可以为　f（x）＝　．（写出符合条件的一个函数即可）‎ ‎【分析】由函数f（x）＝（）x的值域为（0，+∞），且在定义域R内单调递减，即是符合要求的一个函数．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）＝（）x的值域为（0，+∞），且在定义域R内单调递减，‎ ‎∴函数f（x）＝（）x即是符合要求的一个函数，‎ 故答案为：f（x）＝（）x．‎ ‎【点评】本题主要考查了指数函数的单调性和值域，是基础题．‎ ‎14．（5分）在国庆70周年庆典活动中，东城区教育系统近2000名师生参与了国庆中心区合唱、27方阵群众游行、联欢晚会及7万只气球保障等多项重点任务．设A＝{x|x是参与国庆中心区合唱的学校}，B＝{x|x是参与27方阵群众游行的学校}，C＝{x|x是参与国庆联欢晚会的学校}．请用上述集合之间的运算来表示：‎ ‎①既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为　A∩B　；‎ ‎②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为　A∪C　．‎ ‎【分析】①利用交集定义直接求解．‎ ‎②利用并集定义直接求解．‎ ‎【解答】解：①设A＝{x|x是参与国庆中心区合唱的学校}，‎ B＝{x|x是参与27方阵群众游行的学校}，‎ C＝{x|x是参与国庆联欢晚会的学校}．‎ 既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为A∩B．‎ 故答案为：A∩B．‎ ‎②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为A∪C．‎ 故答案为：A∪C．‎ ‎【点评】本题考查并集、交集的求法，考查并集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎15．（5分）已知函数f（x）＝则f（﹣2）＝　　；若f（t）＝1，则实数t＝　0或1　．‎ ‎【分析】结合已知函数解析式，把x＝﹣2代入即可求解f（﹣2），结合已知函数解析式及f（t）＝1，对t进行分类讨论分别求解．‎ ‎【解答】解：f（x）＝‎ 则f（﹣2）＝2﹣2＝，‎ ‎∵f（t）＝1，‎ ‎①当t≥1时，可得＝1，即t＝1，‎ ‎②当t＜1时，可得2t＝1，即t＝0，‎ 综上可得t＝0或t＝1．‎ 故答案为：；0或1‎ ‎【点评】本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题．‎ ‎16．（5分）某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y（平方米）与时间t（月）之间的函数关系式是y＝at﹣1（a＞0且a≠1），它的图象如图所示，给出以下命题：‎ ‎①池塘中原有浮草的面积是0.5平方米；‎ ‎②第8个月浮草的面积超过60平方米；‎ ‎③浮草每月增加的面积都相等；‎ ‎④若浮草面积达到10平方米，20平方米，30平方米所经过的时间分别为t1，t2，t3，则2t2＞t1+t3．‎ 其中正确命题的序号有　①②④　．（注：请写出所有正确结论的序号）‎ ‎【分析】直接利用函数的图象求出函数的解析式，进一步利用函数的额关系式再利用函数的性质的应用求出结果．‎ ‎【解答】解：浮草蔓延后的面积y（平方米）与时间t（月）之间的函数关系式是y＝at﹣1（a＞0且a≠1），函数的图象经过（2，2）‎ 所以2＝a2﹣1，解得a＝2．‎ ‎①当x＝0时y＝，故选项A正确．‎ ‎②当第8个月时，y＝28﹣1＝27＝128＞60，故②正确．‎ ‎③当t＝1时，y＝1，增加0.5，当t＝2时，y＝2，增加1，故每月的增加不相等，故③错误．‎ ‎④根据函数的解析式，解得t1＝log210+1，‎ 同理t2＝log220+1，t3＝log230+1，‎ 所以2t2＝2log220+2＝log2400+2＞t1+t2＝log2300+2，‎ 所以则2t2＞t1+t3．故④正确．‎ 故答案为：①②④．‎ ‎【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，定义性函数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．‎ 四、解答题：共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎17．（12分）已知集合A＝{x|x2+3x+2＜0}，全集U＝R．‎ ‎（1）求∁UA；‎ ‎（2）设B＝{x|m﹣1≤x≤m}，若B⊆∁UA，求m的取值范围．‎ ‎【分析】（1）根据题意，求出集合A，进而由补集的性质分析可得答案；‎ ‎（2）根据题意，结合集合间的关系分析可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意，因为A＝{x|x2+3x+2＜0}＝{x|﹣2＜x＜﹣1}．‎ 因为全集U＝R，‎ 所以∁UA＝{x|x≤﹣2或x≥﹣1}，‎ ‎（2）根据题意，∁UA＝{x|x≤﹣2或x≥﹣1}，‎ 若B⊆∁UA，当m﹣1≥﹣1或m≤﹣2，即m≥0或m≤﹣2，‎ 所以m的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）．‎ ‎【点评】本题考查集合的补集运算，涉及集合的子集关系，属于基础题．‎ ‎18．（13分）已知函数，f（0）＝．‎ ‎（1）求f（x）的解析式和最小正周期；‎ ‎（2）求f（x）在区间[0，2π]上的最大值和最小值．‎ ‎【分析】（1）利用函数值，转化求解函数的解析式，推出函数的周期；‎ ‎（2）利用函数的自变量的范围，求出相位的范围，然后求解正弦函数的最值．‎ ‎【解答】解：（1）因为，所以．‎ 又因为φ∈，所以φ＝．‎ 所以．‎ 所以f（x）最的小正周期．‎ ‎（2）因为x∈[0，2π]，‎ 所以．‎ 当，即时，f（x）有最大值2，‎ 当，即x＝2π时，f（x）有最小值．‎ ‎【点评】本题考查函数的周期以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．‎ ‎19．（14分）在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点O重合，始边为x轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为．‎ ‎（1）求tanβ的值；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，求得tanβ的值．‎ ‎（2）由题意利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．‎ ‎【解答】解：（1）因为β的终边与单位圆交于点B，B点的纵坐标为，所以．‎ 因为，所以．‎ 所以．‎ ‎（2）因为α的终边与单位圆交于点A，A点的纵坐标为，所以．‎ 因为，所以，‎ 故 ＝＝＝．‎ ‎【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、诱导公式，属于基础题．‎ ‎20．（16分）已知函数f（x）＝．‎ ‎（1）判断f（x）的奇偶性并证明；‎ ‎（2）判断f（x）的单调性并说明理由；‎ ‎（3）若f（ax﹣1）+f（2﹣x）＞0对任意a∈（﹣∞，2]恒成立，求x的取值范围．‎ ‎【分析】（1）定义域为R，然后求出f（﹣x），得f（﹣x）＝﹣f（x），所以为奇函数；‎ ‎（2）直接由指数函数的单调性可判断函数f（x）的单调性；‎ ‎（3）不等式变形，由奇函数的性质得出ax﹣1＞x﹣2对任意a∈（﹣∞，2]恒成立，令关于a的函数g（a）＝xa+1﹣x＞0在（﹣∞，2]上恒成立，g（a）一定单调递减，所以满足则只需解出x 的范围．‎ ‎【解答】解：（1）f（x）为奇函数．‎ 因为f（x）定义域为R，，‎ 所以f（﹣x）＝﹣f（x）．‎ 所以f（x）为奇函数；‎ ‎（2）在（﹣∞，+∞）是增函数．‎ 因为y＝3x在（﹣∞，+∞）是增函数，‎ 且y＝3﹣x在（﹣∞，+∞）是减函数，‎ 所以在（﹣∞，+∞）是增函数，‎ ‎（3）由（1）（2）知f（x）为奇函数且f（x）（﹣∞，+∞）是增函数．‎ 又因为f（ax﹣1）+f（2﹣x）＞0，‎ 所以f（ax﹣1）＞﹣f（2﹣x）＝f（x﹣2）．‎ 所以ax﹣1＞x﹣2对任意a∈（﹣∞，2]恒成立．‎ 令g（a）＝xa+（1﹣x），a∈（﹣∞，2]．‎ 则只需，‎ 解得所以﹣1＜x≤0．‎ 所以x的取值范围为（﹣1，0]．‎ ‎【点评】考查函数的奇函数的判断即函数的单调性，使用中档题．‎ ‎21．（15分）对于集合A，定义函数fA（x）＝‎ 对于两个集合A，B，定义运算A*B＝{x|fA（x）•fB（x）＝﹣1}．‎ ‎（1）若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，写出fA（1）与fB（1）的值，并求出A*B；‎ ‎（2）证明：fA*B（x）＝fA（x）•fB（x）；‎ ‎（3）证明：*运算具有交换律和结合律，即A*B＝B*A，（A*B）*C＝A*（B*C）．‎ ‎【分析】（1）由新定义的元素即可求出fA（1）与fB（1）的值，再分情况求出A*B；‎ ‎（2）对x是否属于集合A，B分情况讨论，即可证明出fA*B（x）＝fA（x）•fB（x）；‎ ‎（3）利用（2）的结论即可证明出*运算具有交换律和结合律．‎ ‎【解答】解：（1）∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，‎ ‎∴fA（1）＝﹣1，fB（1）＝1，‎ ‎∴A*B＝{1，4，5}；‎ ‎（2）①当x∈A且x∈B时，fA（x）＝fB（x）＝﹣1，‎ 所以x∉A*B．所以fA*B（x）＝1，‎ 所以fA*B（x）＝fA（x）•fB（x），‎ ‎②当x∈A且x∉B时，fA（x）＝﹣1，fB（x）＝1，‎ 所以x∈A*B．所以fA*B（x）＝﹣1，‎ 所以fA*B（x）＝fA（x）•fB（x），‎ ‎③当x∉A且x∈B时，fA（x）＝1，fB（x）＝﹣1．‎ 所以x∈A*B．所以fA*B（x）＝﹣1．‎ 所以fA*B（x）＝fA（x）•fB（x）．‎ ‎④当x∉A且x∉B时，fA（x）＝fB（x）＝1．‎ 所以x∉A*B．所以fA*B（x）＝1．‎ 所以fA*B（x）＝fA（x）•fB（x）．‎ 综上，fA*B（x）＝fA（x）•fB（x）；‎ ‎（3）因为A*B＝{x|fA（x）•fB（x）＝﹣1}，B*A＝{x|fB（x）•fA（x）＝﹣1}＝{x|fA（x）•fB（x）＝﹣1}，‎ 所以A*B＝B*A．‎ 因为（A*B）*C＝{x|fA*B（x）•fC（x）＝﹣1}＝{x|fA（x）•fB（x）•fC（x）＝﹣1}，A*（B*C）＝{x|fA（x）•fB*C（x）＝﹣1}＝{x|fA（x）•fB（x）•fC（x）＝﹣1}，‎ 所以（A*B）*C＝A*（B*C）．‎ ‎【点评】本题主要考查了集合的基本运算，考查了新定义问题，是中档题．‎