高二数学第一次月考试题 文（含解析）

高二数学第一次月考试题 文（含解析）

‎【2019最新】精选高二数学第一次月考试题 文（含解析）‎ 第I卷（选择题　共60分）‎ 选择题（本大题共有12个小题，每小题5分）‎ ‎1. 不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎...............‎ ‎2. 已知命题 ，则命题的真假及依次为( )‎ A. 真； B. 真； ‎ C. 假； D. 假； ‎ ‎【答案】B ‎【解析】当时，，故命题为真命题；‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ 故选：B ‎3. 各项为正的等比数列中, 与的等比中项为,则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ - 14 - / 14‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由题意可知 ‎ 考点：等比数列性质 ‎4. 方程表示椭圆的必要不充分条件是（　　）‎ A. m∈（﹣1，2） B. m∈（﹣4，2） C. m∈（﹣4，﹣1）∪（﹣1，2） D. m∈（﹣1，+∞）‎ ‎【答案】B ‎【解析】方程表示椭圆的充要条件是，即，因为，所以方程表示椭圆的必要不充分条件是；故选B.‎ ‎5. 实数满足，则的最小值是（ ）‎ A. -3 B. -4 C. 6 D. -6‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：满足的区域如图所示：设，当经过图中的时最小，由得，所以的最小值为，故选B.‎ 考点：简单的线性规划；恒成立问题.‎ - 14 - / 14‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值问题，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎6. 已知圆O：，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段（在y轴上），M在直线上且 ，则动点M的轨迹方程是( )‎ A. 4x2+16y2=1 B. 16x2+4y2=1 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设 ,则由得 ,因为 所以,即,选D.‎ ‎7. 如图，一货轮航行到处，测得灯塔在货轮的北偏东，与灯塔相距，随后货轮按北偏西的方向航行后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意， ，由正弦定理得，所以，速度为，故选B．‎ ‎8. 已知 是锐角三角形，若 ，则 的取值范围是（ ）‎ - 14 - / 14‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得，在中，由正弦定理可得 ，又因为 ，所以 ‎ ，又因为锐角三角形，所以所以故选A．‎ ‎9. 设直线与两坐标轴围成的三角形面积为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分别令x=0和y=0,得到直线nx+(n+1)y= (n∈N∗)与两坐标轴的交点：‎ ‎(,0),(0, )，则=⋅⋅==−然后分别代入1，2，…，2017，‎ 则有 .故答案为：A.‎ 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.‎ ‎10. 已知函数f（x）=|lgx|.若00， >0，且，若恒成立，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因，‎ 即，故，应填答案 ‎15. 关于x的方程在内有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．‎ ‎【答案】k∈[0,1）‎ ‎【解析】 ，‎ 又 ，∴ ， . ,即k∈[0,1）‎ 点睛：‎ 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．‎ ‎16. 对于数列，定义为的“优值”，现在已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的最大值为_____．‎ - 14 - / 14‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题设可知，则，以上两式两边相减可得，即，故，则，由题意，即，应填答案。‎ 点睛：解答本题关键是充分借助题设中新定义的“好值”的概念，借助题设条件得到，再运用数列通项之间的递推关系建立方程，即，从而求得，进而借助题设中的，建立不等式组，即，通过解不等式组使得问题获解。‎ 三、解答题（本大题共6题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17. 在中，角的对边分别为，且．‎ ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）若不等式的解集是，求的周长．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理将边角关系化为角的关系：，再根据两角和正弦公式及诱导公式得，即，最后根据三角形内角范围得角B的大小；（2）由二次方程根与对应二次不等式解集关系得a、c是方程的两根 ，由韦达定理得，‎ - 14 - / 14‎ ‎ ，最后利用余弦定理求b,即得的周长．‎ 试题解析：（1）由得, ‎ ‎ 即，得 ‎ ‎ 即， 得， 又 ，于是 ‎ ‎（2）依题意a、c是方程的两根 ， ‎ ‎ 由余弦定理得 ‎ ‎， 求的周长为．‎ 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：‎ 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.‎ 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.‎ 第三步：求结果.‎ ‎18. 已知命题：方程表示椭圆，命题：，.‎ ‎（1）若命题为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若为真，为真，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1） （2） ‎ - 14 - / 14‎ ‎【解析】试题分析：（1）命题为真，就是对应不等式有解，m=0时恒成立，时结合二次函数图像列条件解得实数的取值范围；本题也可利用参变分离法求解 （2）先根据椭圆标准方程分母符号得的取值范围，再根据为真，为真，得为假，解不等式得实数的取值范围.‎ 试题解析：（Ⅰ）∵命题为真，‎ 当 时，；当 时，不等式恒成立.综上， .‎ ‎（Ⅱ）若为真，则 ，.∵若为真，为真，∴为假∴ ‎ ‎19. 在中，点为边上一点，且为的中点，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求及的长．‎ ‎【答案】（1） （2）AD=2，‎ ‎【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用两角和的正弦公式求解；(2)依据题设运用正弦定理余弦定理建立方程进行探求.‎ 试题解析：‎ ‎（1）在中，因为，，所以，‎ 即，所以，‎ 即．‎ ‎（2）由正弦定理，得，‎ - 14 - / 14‎ 依题意得，在中，由余弦定理得，‎ 即，所以，解得（负值舍去）．‎ 考点：两角和的正弦及正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用．‎ ‎20. 已知函数，函数在上的零点按从小到大的顺序构成数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）（2） ‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据二倍角公式以及同角三角函数关系化简函数得，再解三角方程得，即得数列是首项，公差的等差数列，根据等差数列通项公式求得数列的通项公式；（2）化简为，利用裂项相消法求数列的前项和．‎ 试题解析：（Ⅰ） ，‎ 由及得 ，数列是首项，公差的等差数列，所以．‎ ‎（Ⅱ） ，‎ ‎ ．‎ - 14 - / 14‎ 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.‎ ‎21. 某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成．已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（比例系数为0.5），其他费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时．‎ ‎（1）请将从甲地到乙地的运输成本（元）表示为航行速度（海里/小时）的函数；‎ ‎（2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？‎ ‎【答案】（1） （2）40‎ ‎【解析】试题分析：（1）运输成本由燃料费用和其他费用组成．每小时的燃料费用为, 其他费用为每小时800元，一共花费小时，注意列定义域，（2）根据基本不等式求最值，注意等于号取法.‎ 试题解析：解：（1）由题意，每小时的燃料费用为，从甲地到乙地所用的时间为小时，则从甲地到乙地的运输成本，‎ 故所求的函数为 ．‎ ‎（2）由（1）得 ，‎ - 14 - / 14‎ 当且仅当，即时取等号．‎ 故当货轮航行速度为40海里/小时时，能使该货轮运输成本最少．‎ ‎22. 已知正项数列的前项和为，数列满足，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列的前项和为，求证：对任意正整数，都有成立；‎ ‎（3）数列满足，它的前项和为，若存在正整数，使得不等式成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1） （2）见解析（3） ‎ ‎【解析】试题分析：（1），当时，，两式相减求得；（2），利用放缩法和裂项求和法求得；（3）是一个等差数列乘以一个等比数列，所以利用错位相减法求得，原不等式转化为，当为偶数时，，右边是一个减函数，最小值为，所以；当为奇数时，，右边是一个增函数，最大值为，所以．‎ 试题解析：‎ ‎（1），当时，，‎ 两式相减得：，所以．‎ 因为数列为正项数列，故，也即，‎ 所以数列为以1为首项1为公差的等差数列，故通项公式为，．‎ - 14 - / 14‎ ‎（2） ‎ ‎，所以对任意正整数，都有成立．‎ ‎（3）易知，则，①‎ ‎，②‎ ‎①-②可得：．‎ 故，所以不等式成立，‎ 若为偶数，则，所以．‎ 设，则在单调递减，‎ 故当时，，所以；‎ 若为奇数，则，所以．‎ 设，则在单调递增，‎ 故当时，，所以．综上所述，的取值范围或．‎ 考点：数列基本概念，数列求和，数列与不等式．‎ ‎【方法点晴】本题考查数列基本概念，数列求和，数列与不等式等知识，对函数的单调性的讨论是第三问的难点和突破口．第一问是已知求，用，注意：当时，若适合，则的情况可并入时的通项；当时，若不适合，则用分段函数的形式表示．第二问考查了放缩法和裂项求和法．第三问考查了分类讨论的思想．‎ - 14 - / 14‎