2009年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学(北京卷)

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文档介绍

2009年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学(北京卷)

‎2009年普通高等学校招生全国统一考试 数学(文史类)(北京卷)‎ 本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第I卷1至2页,第Ⅱ卷3至9页,共150分。考试时间120分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷(选择题 共40分)‎ 注意事项:‎ ‎ 1.答第I卷前,考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写,用2B铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。‎ ‎ 2.每小题选出答案后,将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑,黑度以盖住框内字母为准,修改时用橡皮擦除干净。在试卷上作答无效。‎ 一、本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项。‎ ‎1.设集合,则 ( )‎ ‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题主要考查集合的基本运算以及简单的不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎∵,‎ ‎∴ ,故选A.‎ ‎2.已知向量,如果,那么 ‎ A.且与同向 B.且与反向 ‎ C.且与同向 D.且与反向 ‎【答案】D ‎.w【解析】.k.s.5.u.c本题主要考查向量的共线(平行)、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ ∵a,b,若,则cab,dab,‎ ‎ 显然,a与b不平行,排除A、B. ‎ ‎ 若,则cab,dab,‎ 即cd且c与d反向,排除C,故选D ‎3.若为有理数),则 ( )‎ A.33 B. ‎29 ‎ C.23 D.19‎ ‎【答案】B ‎.w【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ ∵‎ ‎ ,‎ ‎ 由已知,得,∴.故选B.‎ ‎.k.s.5.u.c 4.为了得到函数的图像,只需把函数的图像上所有的点( )‎ ‎ A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 ‎ B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 ‎ C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 ‎ D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 ‎【答案】C ‎.w【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ A.,‎ B.,‎ C.,‎ D..‎ 故应选C.‎ ‎5.用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 ( )‎ A.8 B.‎24 ‎ C.48 D.120‎ ‎【答案】C ‎.w【解析】本题主要考查排列组合知识以及分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎2和4排在末位时,共有种排法,‎ 其余三位数从余下的四个数中任取三个有种排法,‎ 于是由分步计数原理,符合题意的偶数共有(个).故选C.‎ ‎6.“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎.w【解析】本题主要考查.k本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断.‎ ‎ 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ 当时,,‎ 反之,当时,有,‎ ‎ 或,故应选A.‎ ‎7.若正四棱柱的底面边长为1,与底面ABCD成60°角,则到底面ABCD的距离为 ( )‎ A. B. ‎1 ‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎.w【解析】.k本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念. ‎ 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ 依题意,,如图,‎ ‎,故选D.‎ ‎8.设D是正及其内部的点构成的集合,点是的中心,若集合,则集合S表示的平面区域是 ( )‎ A. 三角形区域 B.四边形区域 C. 五边形区域 D.六边形区域 ‎【答案】D ‎【解析】本题主要考查集合与平面几何基础知识..5.u.c.o. 本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.‎ 大光明 如图,A、B、C、D、E、F为各边三等分点,答案是集合S为六边形ABCDEF,其中,‎ ‎ ‎ 即点P可以是点A.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 第Ⅱ卷(110分)‎ 注意事项:‎ ‎1.用铅笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。‎ ‎2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。‎ 题号 二 三 总分 ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 分数 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填写在题中横线上。‎ ‎9.若,则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题主要考查简单的三角函数的运算。 属于基础知识、基本运算的考查。‎ 由已知,在第三象限,∴,∴应填.‎ ‎ 10.若数列满足:,则 ;前8项的和 ‎ .(用数字作答)‎ ‎【答案】16 255‎ ‎.w【解析】本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题.m 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ ,‎ ‎ 易知,∴应填255.‎ ‎11.若实数满足则的最大值为 .‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】.s.5.u本题主要考查线性规划方面的基础知. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ 如图,当时,‎ 为最大值.‎ 故应填9.‎ ‎12.已知函数若,则 .‎ ‎.w.w.k.s.5【答案】‎ ‎.w【解析】5.u.c本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求的值. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ 由,无解,故应填.‎ ‎13.椭圆的焦点为,点P在椭圆上,若,则 ;的大小为 .‎ ‎【答案】‎ ‎.w【解析】u.c本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ ∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ 又,∴,‎ 又由余弦定理,得,‎ ‎∴,故应填.‎ ‎14.设A是整数集的一个非空子集,对于,如果且,那么称是A的一个“孤立元”,给定,由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有 个.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.‎ 什么是“孤立元”?依题意可知,必须是没有与相邻的元素,因而无“孤立元”是指在集合中有与相邻的元素.故所求的集合可分为如下两类:‎ 因此,符合题意的集合是:共6个.‎ 故应填6.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。‎ ‎15.(本小题共12分)‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求的最小正周期;‎ ‎(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值.‎ ‎【解析】本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最值等基础知识,主要考查基本运算能力.‎ ‎(Ⅰ)∵,‎ ‎∴函数的最小正周期为.‎ ‎(Ⅱ)由,∴,‎ ‎∴在区间上的最大值为1,最小值为.‎ ‎16.(本小题共14分)‎ 如图,四棱锥的底面是正方形,,点E在棱PB上.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面; ‎ ‎(Ⅱ)当且E为PB的中点时,求AE与平面PDB所成的角的大小.‎ ‎【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.‎ ‎(Ⅰ)∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴AC⊥BD,‎ ‎∵,‎ ‎∴PD⊥AC,‎ ‎∴AC⊥平面PDB,‎ ‎∴平面.‎ ‎(Ⅱ)设AC∩BD=O,连接OE,‎ 由(Ⅰ)知AC⊥平面PDB于O,‎ ‎∴∠AEO为AE与平面PDB所的角,‎ ‎∴O,E分别为DB、PB的中点,‎ ‎∴OE//PD,,‎ 又∵,‎ ‎∴OE⊥底面ABCD,OE⊥AO,‎ 在Rt△AOE中,,‎ ‎∴,即AE与平面PDB所成的角的大小为.‎ ‎【解法2】如图,以D为原点建立空间直角坐标系,‎ 设则,‎ ‎(Ⅰ)∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴AC⊥DP,AC⊥BD,‎ ‎∴AC⊥平面PDB,‎ ‎∴平面.‎ ‎(Ⅱ)当且E为PB的中点时,‎ ‎,‎ 设,则,连接OE,‎ 由(Ⅰ)知AC⊥平面PDB于O,‎ ‎∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角,‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴,即AE与平面PDB所成的角的大小为.‎ ‎17.(本小题共13分)‎ 某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,遇到红灯时停留的时间都是2min.‎ ‎(Ⅰ)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率;‎ ‎(Ⅱ)这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min的概率 ‎【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力.‎ ‎(Ⅰ)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A,因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”‎ ‎,所以事件A的概率为.‎ ‎(Ⅱ)设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min为事件B,这名学生在上学路上遇到次红灯的事件.‎ ‎ 则由题意,得,‎ ‎.‎ 由于事件B等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯”,‎ ‎∴事件B的概率为.‎ ‎18.(本小题共14分)‎ 设函数.‎ ‎(Ⅰ)若曲线在点处与直线相切,求的值;‎ ‎(Ⅱ)求函数的单调区间与极值点.‎ ‎【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力.‎ ‎(Ⅰ),‎ ‎∵曲线在点处与直线相切,‎ ‎∴‎ ‎(Ⅱ)∵,‎ 当时,,函数在上单调递增,此时函数没有极值点.‎ 当时,由,‎ 当时,,函数单调递增,‎ 当时,,函数单调递减,‎ 当时,,函数单调递增,‎ ‎∴此时是的极大值点,是的极小值点.‎ ‎19.(本小题共14分)‎ 已知双曲线的离心率为,右准线方程为。‎ ‎(Ⅰ)求双曲线C的方程;‎ ‎(Ⅱ)已知直线与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆上,求m的值 ‎【解析】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理、运算能力.‎ ‎(Ⅰ)由题意,得,解得,‎ ‎∴,∴所求双曲线的方程为.‎ ‎(Ⅱ)设A、B两点的坐标分别为,线段AB的中点为,‎ 由得(判别式),‎ ‎∴,‎ ‎∵点在圆上,‎ ‎∴,∴.‎ ‎20.(本小题共13分)‎ 设数列的通项公式为. 数列定义如下:对于正整数m ,是使得不等式成立的所有n中的最小值.‎ ‎(Ⅰ)若,求;‎ ‎(Ⅱ)若,求数列的前‎2m项和公式;‎ ‎(Ⅲ)是否存在p和q,使得?如果存在,求p和q 的取值范围;如果不存在,请说明理由.‎ ‎【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质,考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法.本题是数列与不等式综合的较难层次题.‎ ‎(Ⅰ)由题意,得,‎ 解,得. ‎ ‎∴成立的所有n中的最小正整数为7,即.‎ ‎(Ⅱ)由题意,得,‎ 对于正整数m,由,得.‎ 根据的定义可知 当时,;‎ 当时,.‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎ . ‎ ‎(Ⅲ)假设存在p和q满足条件,由不等式及得.‎ ‎∵,根据的定义可知,对于任意的正整数m 都有 ‎,‎ 即对任意的正整数m都成立.‎ 当(或)时,得(或),这与上述结论矛盾!‎ 当,即时,得,‎ 解得.(经检验符合题意)‎ ‎∴ 存在p和q,使得;p和q的取值范围分别是,.‎
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