2009年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（北京卷）

2009年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（北京卷）

‎2009年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文史类）（北京卷）‎ 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷（选择题 共40分）‎ 注意事项：‎ ‎ 1．答第I卷前，考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写，用2B铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。‎ ‎ 2．每小题选出答案后，将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑，黑度以盖住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。在试卷上作答无效。‎ 一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。‎ ‎1．设集合，则 （ ）‎ ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题主要考查集合的基本运算以及简单的不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎∵，‎ ‎∴ ，故选A.‎ ‎2．已知向量，如果，那么 ‎ A．且与同向 B．且与反向 ‎ C．且与同向 D．且与反向 ‎【答案】D ‎.w【解析】.k.s.5.u.c本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ ∵a，b，若，则cab，dab，‎ ‎ 显然，a与b不平行，排除A、B. ‎ ‎ 若，则cab，dab，‎ 即cd且c与d反向，排除C，故选D ‎3．若为有理数），则 （ ）‎ A．33 B． ‎29 ‎ C．23 D．19‎ ‎【答案】B ‎.w【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ ∵‎ ‎ ，‎ ‎ 由已知，得，∴.故选B.‎ ‎.k.s.5.u.c 4．为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（ ）‎ ‎ A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 ‎ B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 ‎ C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 ‎ D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 ‎【答案】C ‎.w【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ A．，‎ B．，‎ C．，‎ D．.‎ 故应选C.‎ ‎5．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ）‎ A．8 B．‎24 ‎ C．48 D．120‎ ‎【答案】C ‎.w【解析】本题主要考查排列组合知识以及分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎2和4排在末位时，共有种排法，‎ 其余三位数从余下的四个数中任取三个有种排法，‎ 于是由分步计数原理，符合题意的偶数共有（个）.故选C.‎ ‎6．“”是“”的 A． 充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎.w【解析】本题主要考查.k本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断.‎ ‎ 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ 当时，，‎ 反之，当时，有，‎ ‎ 或，故应选A.‎ ‎7．若正四棱柱的底面边长为1，与底面ABCD成60°角，则到底面ABCD的距离为 ( )‎ A． B． ‎1 ‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎.w【解析】.k本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念. ‎ 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ 依题意，，如图，‎ ‎，故选D.‎ ‎8．设D是正及其内部的点构成的集合，点是的中心，若集合，则集合S表示的平面区域是 ( )‎ A． 三角形区域 B．四边形区域 C． 五边形区域 D．六边形区域 ‎【答案】D ‎【解析】本题主要考查集合与平面几何基础知识..5.u.c.o. 本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.‎ 大光明 如图，A、B、C、D、E、F为各边三等分点，答案是集合S为六边形ABCDEF，其中，‎ ‎ ‎ 即点P可以是点A.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 第Ⅱ卷（110分）‎ 注意事项：‎ ‎1．用铅笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。‎ ‎2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。‎ 题号 二 三 总分 ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 分数 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填写在题中横线上。‎ ‎9．若，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题主要考查简单的三角函数的运算。 属于基础知识、基本运算的考查。‎ 由已知，在第三象限，∴，∴应填.‎ ‎ 10．若数列满足：，则 ；前8项的和 ‎ .（用数字作答）‎ ‎【答案】16 255‎ ‎.w【解析】本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题.m 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ ，‎ ‎ 易知，∴应填255.‎ ‎11．若实数满足则的最大值为 .‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】.s.5.u本题主要考查线性规划方面的基础知. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ 如图，当时，‎ 为最大值.‎ 故应填9.‎ ‎12．已知函数若，则 .‎ ‎.w.w.k.s.5【答案】‎ ‎.w【解析】5.u.c本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求的值. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ 由，无解，故应填.‎ ‎13．椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则 ；的大小为 .‎ ‎【答案】‎ ‎.w【解析】u.c本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ ∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又，∴，‎ 又由余弦定理，得，‎ ‎∴，故应填.‎ ‎14．设A是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么称是A的一个“孤立元”，给定，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.‎ 什么是“孤立元”？依题意可知，必须是没有与相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与相邻的元素.故所求的集合可分为如下两类：‎ 因此，符合题意的集合是：共6个.‎ 故应填6.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎15．（本小题共12分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.‎ ‎【解析】本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最值等基础知识，主要考查基本运算能力．‎ ‎（Ⅰ）∵，‎ ‎∴函数的最小正周期为.‎ ‎（Ⅱ）由，∴，‎ ‎∴在区间上的最大值为1，最小值为.‎ ‎16．（本小题共14分）‎ 如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面； ‎ ‎（Ⅱ）当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.‎ ‎【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．‎ ‎（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AC⊥BD，‎ ‎∵，‎ ‎∴PD⊥AC，‎ ‎∴AC⊥平面PDB，‎ ‎∴平面.‎ ‎（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，‎ 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，‎ ‎∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，‎ ‎∴O，E分别为DB、PB的中点，‎ ‎∴OE//PD，，‎ 又∵，‎ ‎∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，‎ 在Rt△AOE中，，‎ ‎∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.‎ ‎【解法2】如图，以D为原点建立空间直角坐标系，‎ 设则，‎ ‎（Ⅰ）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴AC⊥DP，AC⊥BD，‎ ‎∴AC⊥平面PDB，‎ ‎∴平面.‎ ‎（Ⅱ）当且E为PB的中点时，‎ ‎，‎ 设，则，连接OE，‎ 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，‎ ‎∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.‎ ‎17．（本小题共13分）‎ 某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min.‎ ‎（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；‎ ‎（Ⅱ）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min的概率 ‎【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力.‎ ‎（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”‎ ‎，所以事件A的概率为.‎ ‎（Ⅱ）设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min为事件B，这名学生在上学路上遇到次红灯的事件.‎ ‎ 则由题意，得，‎ ‎.‎ 由于事件B等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯”，‎ ‎∴事件B的概率为.‎ ‎18．（本小题共14分）‎ 设函数.‎ ‎（Ⅰ）若曲线在点处与直线相切，求的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数的单调区间与极值点.‎ ‎【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．‎ ‎（Ⅰ）,‎ ‎∵曲线在点处与直线相切，‎ ‎∴‎ ‎（Ⅱ）∵,‎ 当时，，函数在上单调递增，此时函数没有极值点.‎ 当时，由，‎ 当时，，函数单调递增，‎ 当时，，函数单调递减，‎ 当时，，函数单调递增，‎ ‎∴此时是的极大值点，是的极小值点.‎ ‎19．（本小题共14分）‎ 已知双曲线的离心率为，右准线方程为。‎ ‎（Ⅰ）求双曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求m的值 ‎【解析】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．‎ ‎（Ⅰ）由题意，得，解得，‎ ‎∴，∴所求双曲线的方程为.‎ ‎（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为，线段AB的中点为，‎ 由得（判别式）,‎ ‎∴,‎ ‎∵点在圆上，‎ ‎∴，∴.‎ ‎20．（本小题共13分）‎ 设数列的通项公式为. 数列定义如下：对于正整数m ，是使得不等式成立的所有n中的最小值.‎ ‎（Ⅰ）若，求；‎ ‎（Ⅱ）若，求数列的前‎2m项和公式；‎ ‎（Ⅲ）是否存在p和q，使得？如果存在，求p和q 的取值范围；如果不存在，请说明理由.‎ ‎【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题.‎ ‎（Ⅰ）由题意，得，‎ 解，得. ‎ ‎∴成立的所有n中的最小正整数为7，即.‎ ‎（Ⅱ）由题意，得，‎ 对于正整数m，由，得.‎ 根据的定义可知 当时，；‎ 当时，.‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎ . ‎ ‎（Ⅲ）假设存在p和q满足条件，由不等式及得.‎ ‎∵,根据的定义可知，对于任意的正整数m 都有 ‎，‎ 即对任意的正整数m都成立.‎ 当（或）时，得（或），这与上述结论矛盾！‎ 当，即时，得，‎ 解得.（经检验符合题意）‎ ‎∴ 存在p和q，使得；p和q的取值范围分别是，.‎