数学理卷·2018届天津市部分区（武清区等）高三上学期期末考试（2018

数学理卷·2018届天津市部分区（武清区等）高三上学期期末考试（2018

天津市部分区2017-2018学年度第一学期期末考试 高三数学（理）‎ 第Ⅰ卷（共40分）‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 ‎3.设变量满足约束条件，则目标函数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.阅读如图所示的程序框图，若输入的分别为1，2，运行相应的程序，则输出的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.已知双曲线的一个焦点为，‎ 且双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的方程为（ ）‎ A． B． ‎ C. 或 D．或 ‎6.在中，内角的对边分别为，已知，且，，则等于（ ）‎ A． B． C. 2 D．‎ ‎7.如图，平面四边形中，，，点在对角线上，，则的值为（ ）‎ A． 17 B．13 C. 5 D．1‎ ‎8.已知函数（其中是自然对数的底数），若当时，恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共110分）‎ 二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）‎ ‎9.已知为虚数单位，则 ．‎ ‎10.在的展开式中的系数为 ．（用数字作答）‎ ‎11.一个四棱柱的三视图如图所示，该四棱柱的体积为 ．‎ ‎12.已知曲线与直线在第一象限内围成的封闭图形的面积为4，则 ．‎ ‎13.在平面直角坐标系中，已知抛物线（为参数）的焦点为，动点在抛物线上，动点在圆（为参数）上，则的最小值为 ．‎ ‎14.已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎15.已知函数，.‎ ‎（1）求的最小正周期；‎ ‎（2）求在区间上的最大值与最小值.‎ ‎16.某大学现有6名包含在内的男志愿者和4名包含在内的女志愿者，这10名志愿者要参加第十三届全运会支援服务工作，从这些人中随机抽取5人参加田赛服务工作，另外5人参加径赛服务工作.‎ ‎（1）求参加田赛服务工作的志愿者中包含但不包含的概率；‎ ‎（2）设表示参加径赛服务工作的女志愿者人数，求随机变量的分布列与数学期望.‎ ‎17. 在如图所示的几何体中，，，，‎ ‎，，二面角的大小为.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求平面与平面所成的角（锐角）的大小；‎ ‎（3）若为的中点，求直线与平面所成的角的大小. ‎ ‎18. 已知是等比数列，满足，且成等差数列.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项和为 ， ，求正整数的值，使得对任意均有.‎ ‎19. 设椭圆的左焦点为，离心率为，为圆的圆心.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围.‎ ‎20. 已知函数，.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当时，令，其导函数为，设是函数的两个零点，判断是否为的零点？并说明理由.‎ 天津市部分区2017～2018学年度第一学期期末考试 高三数学（理）参考答案 一、选择题:‎ ‎1－8CABDC CDB 二、填空题：‎ ‎9． 10． 11． 12． 13．3 14． ‎ 三、解答题：‎ ‎（15）解：（Ⅰ）‎ ‎ ‎ 所以，所以的最小正周期为． ‎ ‎（Ⅱ）由，得， ‎ 所以当，即时，函数单调递增；‎ 当，即时，函数单调递减； ‎ 且当，即时，，此时；‎ 当，即时，，此时;‎ 当，即时，，此时; ‎ 所以当时，取得最小值；当时，取得最大值 ‎ ‎（16）解：（I）记参加田赛服务工作的志愿者中包含但不包含的事件为，‎ 则基本事件的总数为， ‎ 事件包含基本事件的个数为， ‎ 则. ‎ ‎(II)由题意知可取的值为：. ‎ 则 ‎ ‎ ‎ 因此的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎ ‎ 的数学期望是 ‎ = ‎ ‎（17）解：方法一：（I）因为，则，，‎ 所以为二面角的平面角，即， ‎ 在中，，，，‎ 所以，所以，即，‎ 由，，且，可知平面，‎ 又平面，所以， ‎ 又因为，平面，平面，‎ 所以平面． ‎ ‎（II）由平面得，，又，即，，‎ 两两垂直，‎ 则以，，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．‎ 由（I）知， 则，，，‎ 由得， ‎ 依题意，，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则，即，不妨设，可得， ‎ 由平面可知平面的一个法向量为 设平面与平面所成的角（锐角）为，‎ 所以，于是， ‎ 所以平面与平面所成的角（锐角）为． ‎ ‎（III）若为的中点，则由（II）可得，所以， ‎ 依题意平面，可知平面的一个法向量为， ‎ 设直线与平面所成角为，则 ‎，所以直线与平面所成角的大小． ‎ 方法二：（I）因为，则，，‎ 所以为二面角的平面角，即， ‎ 在中，，，，‎ 所以，所以，即， ‎ 由，，且，可知平面，‎ 又平面，所以， ‎ 又因为，平面，平面，‎ 所以平面． ‎ ‎（Ⅱ）令的延长线的交点为，连。则平面平面，‎ ‎∴二面角即平面与平面所成的角（锐角） ‎ ‎∵∥，，∴是的中位线，∴，‎ ‎∴为正三角形。 ‎ 令的中点为，连。易知，且 ‎ 在直角中，，‎ 在直角中，，∴，∴， ‎ ‎∴是二面角的平面角。 ‎ 在直角中，，∴‎ ‎∴平面与平面所成的角（锐角）为 ‎ ‎（Ⅲ）∵，∥，∴，即。‎ 又∵是正的边的中点，∴，‎ ‎∵是平面内的两条相交直线∴平面。‎ ‎∴是直线与平面所成的角。显然。‎ ‎∵∥，∴直线与平面所成的角为 ‎ ‎（18）解：（Ⅰ）设数列的公比为，则由条件得：， ‎ 又，则，‎ 因为，解得：， ‎ 故. ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得：， ‎ 则 ① ‎ ‎ ② ‎ ‎①- ②得：‎ ‎ ‎ 所以 ‎ 则，则 ‎ 由 得：当时，； ‎ 当时，；‎ 所以对任意，且均有，故 ‎（19）解：（Ⅰ）由题意知，则， ‎ 圆的标准方程为，从而椭圆的左焦点为，即，‎ 所以，又，得． ‎ 所以椭圆的方程为：. ‎ ‎（Ⅱ）可知椭圆右焦点． ‎ ‎（ⅰ）当l与x轴垂直时，此时不存在，直线l：，直线，‎ 可得：，，四边形面积为12. ‎ ‎（ⅱ）当l与x轴平行时，此时，直线，直线，‎ 可得：，，四边形面积为. ‎ ‎（iii）当l与x轴不垂直时，设l的方程为，并设，.‎ 由得. ‎ 显然，且， . ‎ 所以. ‎ 过且与l垂直的直线，则圆心到的距离为，‎ 所以. ‎ 故四边形面积：.‎ 可得当l与x轴不垂直时，四边形面积的取值范围为(12,). ‎ 综上，四边形面积的取值范围为． ‎ ‎20.解：（Ⅰ）依题意知函数的定义域为，且. ‎ ‎（1）当时， ，所以在上单调递增. ‎ ‎（2）当时，由得：， ‎ 则当时；当时.‎ 所以在单调递增，在上单调递减. ‎ ‎（Ⅱ）不是导函数的零点. ‎ 证明如下：由（Ⅰ）知函数. ‎ ‎∵，是函数的两个零点，不妨设，‎ ‎∴，两式相减得：‎ 即： ‎ 又.‎ 则 ‎ ‎. ‎ 设，∵，∴，‎ 令，. ‎ 又，∴，∴在上是増函数，‎ 则，即当时，，‎ 从而，‎ 又所以，‎ 故，所以不是导函数的零点. ‎