人教A版文科数学课时试题及解析（13）变化率与导数、导数的运算

人教A版文科数学课时试题及解析（13）变化率与导数、导数的运算

课时作业(十三)　[第13讲　变化率与导数、导数的运算]‎ ‎ [时间：35分钟　　分值：80分]‎ 图K13－1‎ ‎1．如图K13－1，函数y＝f(x)在A、B两点间的平均变化率是(　　)‎ A．2‎ B．1‎ C．－2‎ D．－1‎ ‎2．f(x)＝，则f′(8)等于(　　)‎ A．0 B．‎2 C. D．－1‎ ‎3． 设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝(　　)‎ A．e2 B．ln‎2 C. D．e ‎4． 函数f(x)＝excosx的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角的度数为(　　)‎ A．0 B. C．1 D. ‎5．已知物体的运动方程是s＝t3－6t2＋32t(t表示时间，s表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是(　　)‎ A．2秒或4秒 B．2秒或16秒 C．8秒或16秒 D．4秒或8秒 ‎6． 曲线y＝－在点M处的切线的斜率为(　　)‎ A．－ B. C．－ D. ‎7．下列图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数f′(x)的图象，则f(－1)＝(　　)‎ 图K13－2‎ A. B．－ C. D．－或 ‎8． 若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝(　　)‎ A．－1 B．－‎2 C．2 D．0‎ ‎9．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为________．‎ ‎10．若曲线f(x)＝ax3＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．‎ ‎11．给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数：①f(x)＝x2＋2x；②f(x)＝sinx＋cosx；③f(x)＝lnx－x；④f(x)＝－xex在上是凸函数的是________．(填序号)‎ ‎12．(13分)已知函数f(x)＝lnx－ax＋－1(a∈R)．当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程．‎ ‎13．(12分)设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．‎ 课时作业(十三)‎ ‎【基础热身】‎ ‎1．D　[解析] f(1)＝3，f(3)＝1，因此＝－1.‎ ‎2．C　[解析] f(x)＝x，f′(x)＝x－＝，f′(8)＝＝.‎ ‎3．D　[解析] f′(x)＝x′lnx＋x(lnx)′＝lnx＋1，‎ ‎∴f′(x0)＝lnx0＋1＝2，∴lnx0＝1，∴x0＝e.‎ ‎4．B　[解析] 由题意得f′(x)＝(excosx)′＝(ex)′cosx＋ex(cosx)′＝excosx＋ex(－sinx)＝ex(cosx－sinx)，则函数f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率k＝f′(0)＝e0＝1，故切线的倾斜角为，故选B.‎ ‎【能力提升】‎ ‎5．D　[解析] 瞬时速度v＝s′＝t2－12t＋32，令v＝0可得t＝4或8.　‎ ‎6．B　[解析] 对y＝－求导得到 y′＝＝，‎ 当x＝时y′＝＝.‎ ‎7．B　[解析] f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1＝(x＋a)2－1，‎ ‎∴y＝f′(x)是开口向上，以x＝－a为对称轴，(－a，－1)为顶点的抛物线．∴(3)是对应y＝f′(x)的图象．∵由图象知f′(0)＝0，对称轴x＝－a>0.∴a2－1＝0，a<0，‎ ‎∴a＝－1，∴y＝f(x)＝x3－x2＋1，∴f(－1)＝－.‎ ‎8．B　[解析] 由题意知f′(x)＝4ax3＋2bx，若f′(1)＝2，即f′(1)＝‎4a＋2b＝2，从题中可知f′(x)为奇函数，故f′(－1)＝－f′(1)＝－‎4a－2b＝－2，故选B.‎ ‎9．4x－y－3＝0　[解析] 设切点坐标为(x0，y0)，则4x＝4，∴x0＝1，y0＝1，即切点坐标为(1,1)，切线的斜率k＝4，∴l的方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.‎ ‎10．(－∞，0)　[解析] 由题意可知f′(x)＝3ax2＋，又因为曲线存在垂直于y轴的切线，所以3ax2＋＝0⇒a＝－(x＞0)⇒a∈(－∞，0)．‎ ‎11．②③④　[解析] 对于①f′(x)＝2x＋2，f″(x)＝2>0，因此①不是凸函数；对于②f′(x)＝cosx－sinx，f″(x)＝－sinx－cosx，∵x∈，∴sinx>0，cosx>0，‎ ‎∴f″(x)<0，因此②是凸函数；对于③，f′(x)＝－1，f″(x)＝－<0，因此③是凸函数；对于④，f′(x)＝－ex－xex，f″(x)＝－ex－ex－xex＝－(x＋2)ex<0，因此④是凸函数．‎ ‎12．[解答] 当a＝－1时，f(x)＝lnx＋x＋－1，x∈(0，＋∞)．‎ 所以f′(x)＝，x∈(0，＋∞)，‎ 因此f′(2)＝1，‎ 即曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为1.‎ 又f(2)＝ln2＋2，‎ 所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(ln2＋2)＝x－2，即x－y＋ln2＝0.‎ ‎【难点突破】‎ ‎13．[解答] (1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.‎ 当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，‎ 于是解得故f(x)＝x－.‎ ‎(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，即y－＝(x－x0)．‎ 令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.‎ 令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．‎ 所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为S＝|2x0|＝6.‎ 故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.‎