2019届二轮复习求参数范围问题学案（全国通用）

2019届二轮复习求参数范围问题学案（全国通用）

专题04 求参数范围问题 一、与单调性有关的参数问题 此时参数可以位于函数中也可以位于区间内，常见的提问方式是函数在某个区间单调递减、单调递增、单调、不单调，研究这类问题的关键是把握原函数和导函数的关系，这里需要注意的一个问题：若函数单调，则恒为非正或非负，函数的极值点并不等同于导函数的零点，极值点的个数和导函数的根的个数也不能直接划等号。‎ 例1.已知函数在区间上单调递减，求的取值范围。‎ ‎【解析】先根据函数单调性作出函数的趋势图像，再安排存在参数的区间位置即可。学 ‎ 令，则或；令，则，作出趋势图像如下：‎ 函数在区间上单调递减，需满足 例2．已知函数在上是减函数，求实数的取值范围。‎ ‎【解析】转化为函数单调性与导函数的正负性的关系即可，‎ 在上是减函数，即在上恒成立 令，因为在上递减，则 所以 例3.已知函数，若函数在区间上为单调函数，求的取值范围。‎ ‎【解析】题目只是说明函数是单调函数，并未说明是单增还是单减，因此需要分两种情况讨论，将单调性 转化为参数恒成立问题即可。‎ ‎，‎ 例4.已知函数，其中，若函数在区间上不是单调函数，求的取值范围。‎ ‎【解析】这个问题相对复杂些，但是思路还算清晰，函数在上不是单调函数，意味着原函数在上 ‎ 存在极值点，因为三次函数极值点的个数可能是两个也可能没有，原题目中排出没有的情况，因此题目存 在两个极值点，但是这两个极值点有几个落在区间内这是个问题，可能只有一个极值点在，也可能两 个都在，此外极值点是导函数的根，题目即可转化为二次函数在区间内根的分布问题。‎ ‎，函数在区间上不是单调函数，则在内必定存在极值 点，此时不能单调递增，只能是保持一种增减增的状态，因此在内的极值点可能是一个也 可能是两个。‎ 若极值点在内只有一个，情况如下：‎ ‎（1）‎ 此时需要满足，此时无解 ‎（2）‎ ‎ . ‎ 此时只需要满足 若极值点在内有两个，图如下：学- ‎ 此时只需要满足 综上所述，‎ 二、与极值有关的参数范围问题 常见的问法是函数有无极值点，有几个极值点的问题，极值点是函数单调性发生改变的点，因此有极值点意味着函数不单调，没有极值点则意味着函数单调，有几个极值点意味着导函数有几个零点，但是导函数有几个零点不等同于函数有几个极值点。‎ ‎（导函数为零的点不一定为极值点，极值点一定为导函数为零的点）‎ 例5.已知函数，设在上有极值，求的取值范围。‎ ‎【解析】，，在 上有极值，则在上有零点，即在有根 ‎，故 例 6.若函数没有极值点，求的取值范围。‎ ‎【解析】，令，即 函数无极值点，则 例7.已知函数，函数的图像在处的切线的斜率为，且在区间 上不是单调函数，求的取值范围。‎ ‎【解析】由已知得，，，函数在区间上 . ‎ 不是单调函数，则导函数在区间上存在零点，根据二次函数根的分布列不等式 学 ‎ 三、与双参数有关的参数问题 在参数问题中参数的个数可能不止一个，另外在此类问题中变量的个数也可能不止一个，也可能会出现双变量的问题。‎ 题目中若含有双参数，其中一个一般是给出了区间，而让求另一个未给出的参数的取值范围，除了这个之外一般还会给出未知量的区间，一个参数一个未知量是以任意性和存在性方式给出，其实这种题目大多是参数恒成立或存在性问题的延伸，只不过需要求两次最值，因为多了一个参数，所以在难度上会适当的降低。‎ 解题的思路是将所求的参数单独分离，另一边包括另外一个参数和变量，此时可以将参数或变量中的一个当成自变量，另外一个当做常量即可，求出最值后可消去参数或自变量，再将问题转化为常规恒成立问题即可，但是如果所求的参数不能分离，可分离的是另一个参数，这样反而简单，直接利用任意性或存在性消去参数。‎ 例8.已知函数，若函数的图像在点处的切线 的倾斜角为，对于任意的，函数在区间上总不是单调函数，求的取值范围。‎ ‎【解析】由题意知，‎ 在区间上总不是单调函数，即在上存在零点 ‎，根据二次函数根的分布列不等式 ‎，对于，不等式在上恒成立，则 因为在上单调递减，及，故 综上所述，‎ 例9.设函数，当时，若不等式对所有的都成立，求实数的取值范围。学+ ‎