数学（理）卷·2017年天津市部分区高三下学期质量调查（一）（2017

数学（理）卷·2017年天津市部分区高三下学期质量调查（一）（2017

天津市部分区2017年高三量调查试卷（一）‎ 数学（理工类）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1、已知集合，则 A． B． C． D．‎ ‎2、若变量满足约束条件，则的最大值为 A．-1 B．0 C．1 D．2‎ ‎3、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为 A．4 B．6 C．8 D．10‎ ‎4、在中，的对边分别为，若，则 ‎ A．3 B． C． D．12‎ ‎5、已知存在最大值和最小值，则是的 A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6、已知抛物线的焦点F恰好为双曲线的一个焦点，且点F到双曲线的渐近线的距离是4，则双曲线的方程为 A． B． C． D．‎ ‎7、在中，是的中点，是上一点，且，则的值是 A． B． C． D．‎ ‎8、已知函数，若函数有三个零点，‎ 则实数的取值范围是 A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卷的横线上..‎ ‎9、已知是虚数单位，若复数，则 ‎ ‎10、的展开式中，的系数是 （用数字填写答案）‎ ‎11、某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ‎ ‎12、直线与曲线在第一象限围成的封闭图形 的图形的面积为 ‎ ‎13、在直线坐标系中，直线的参数方程为为参数，），曲线C的参数方程为为参数）设直线与曲线C交于A、B两点，当弦长最短时，直线的普通方程为 ‎ ‎14、已知是定义在R上的偶函数，且在区间 上单调递增，若实数满足，则的取值是 ‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎15、（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数.‎ ‎（1）求函数的最小正周期；‎ ‎ （2）当时，求函数的最大值和最小值.‎ ‎16、（本小题满分13分）‎ ‎ 某校高三年级准备矩形一次座谈会，其中三个班被邀请的学生数如下表所示：‎ ‎（1）若从这10名学生中随机选出2名学生发言，求这2名学生不属于同一班级的概率；‎ ‎ （2）若从这10名学生中随机选出3名学生发言，设X为来自高三（1）班的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望.‎ ‎17、（本小题满分13分）‎ ‎ 如图，五面体中，平面为直角梯形，‎ ‎ .‎ ‎（1）若E为AP的中点，求证：平面；‎ ‎ （2）求二面角的余弦值；‎ ‎ （3）若点Q在线段PA上，且BQ与平面ABCD所成的角为 ，求CQ的长.‎ ‎18、（本小题满分13分）‎ ‎ 已知正项数列满足，且，前9项和为81.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎ （2）若数列的前n项和为，记，求数列的前n项和 .‎ ‎21、（本小题满分14分）‎ ‎ 已知椭圆，且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为.‎ ‎（1）求椭圆C的离心率；‎ ‎ （2）若点在椭圆C上，不过原点的直线与椭圆C相交于A、B两点，与直线OM相较于点N，且N是线段AB的中点，求面积的最大值.‎ ‎20、（本小题满分14分）‎ ‎ 已知函数 .‎ ‎（1）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎ （2）求函数的单调区间；‎ ‎ （3）若函数有两个极值点，求证：.‎ 天津市部分区2017年高三质量调查试卷（一）‎ 数 学（理工类）‎ 一、选择题：‎ ‎（1）-（4）ABCC （5）-（8）ADDC 二、填空题： ‎ ‎（9）4 （10） （11） （12） （13） （14） ‎ 三、解答题:‎ ‎（15）（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ），..............2分 ，‎ ‎ .............................4分 所以周期. .......................................................................................................6分 ‎（Ⅱ）由(Ⅰ)知，‎ 因为，所以，...................................................................8分 所以，.................................................................................................10分 故当时，函数的最大值为；当时，函数的最小值为. .......................................................................................................................................13分 ‎（16）（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）从名学生随机选出名的方法数为，选出人中不属于同一班级的方法数为 …………………4分 设名学生不属于同一班级的事件为 所以. ………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）可能的取值为 ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎. ………………………………10分 所以的分布列为 所以 ‎……………………………………13分 ‎(17)（本小题满分13分）‎ ‎（Ⅰ）证明：取的中点，连接 ‎∵分别是，的中点，‎ ‎∴且；…………………………1分 ‎∵，，‎ ‎∴且； ‎ ‎∴． …………………………3分 又平面，平面，‎ ‎∴平面．…………………………4分 ‎（Ⅱ）（方法一） 以为坐标原点，所在直线分别为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则 ‎ ‎,‎ ‎ .……………………………6分 设平面PAB的一个法向量为，则从而 令，得. …………………………7分 同理可求平面ABD的一个法向量为. …………………………8分 ‎.‎ 平面ABD和平面ABC为同一个平面，‎ 所以二面角的余弦值为． …………………………10分 ‎（方法二） 以为坐标原点，所在直线分别为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 不妨设，则,‎ ‎ ……………………6分 设平面PAB的一个法向量为，则，，令，得，即. …………………………7分 易求平面ABC的一个法向量为. …………………………8分 ‎.‎ 所以二面角的余弦值为． …………………………10分 ‎（Ⅲ）（方法一）建系同(II)（方法一），设由(II)知平面ABCD的一个法向量为，；…………………………11分 若与平面所成的角为，则 解得，所以.…………………13分 ‎（方法二）建系同(II)（方法二），设,‎ 则 由(II)知平面ABCD的一个法向量为.…………………………11分 若与平面所成的角为，则.‎ 解得，则，从而………13分 ‎（18）（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）由，得 ‎，‎ 整理得，所以为等差数列，…………… 2分 由，前9项和为81，得；…………… 4分 当时，，即；‎ 当时，…………………………………①，‎ ‎…………………………………②‎ ‎①②，得，‎ 所以（n≥2）‎ 满足，所以…………… 7分 ‎（Ⅱ）…………… 8分 ‎，‎ 又， …………… 9分 以上两式作差，得.‎ 所以,‎ ‎ 因此，.……………………………… 13分 ‎（19）（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）由题意,得，…………………………………1分 则，结合，得，‎ 即，……………………………………………………2分 亦即，结合，解得.‎ 所以椭圆的离心率为.………………………………………………4分 ‎（Ⅱ）由(Ⅰ)得，则.‎ 将代入椭圆方程，解得.‎ 所以椭圆方程为.………………………………………………6分 易得直线的方程为.‎ 当直线的斜率不存在时，的中点不在直线上，故直线的斜率存在.‎ 设直线的方程为，与联立消得 ‎,‎ 所以.‎ 设,则,.……………………8分 由，得的中点,‎ 因为在直线上，所以，解得. ……………10分 所以，得,且，‎ ‎.‎ 又原点到直线的距离， ………………………………12分 所以 ‎.‎ 当且仅当时等号成立，符合,且.‎ 所以面积的最大值为. ………………………………14分 ‎（20）（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）当时，，，‎ 则，，‎ 所以所求切线方程为，即.‎ ‎（Ⅱ）由，得.‎ 令，则.‎ ‎①当，即时，恒成立，则，‎ 所以在上是减函数.‎ ‎②当，即时，，则，‎ 所以在上是减函数.‎ ‎③当，即或.‎ ‎(i)当时，是开口向上且过点的抛物线，对称轴方程为，则恒成立，从而，‎ 所以在上是减函数.‎ ‎(ii)当时，是开口向上且过点的抛物线，对称轴方程为，则函数有两个零点，列表如下：‎ ‎ ‎ 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数 综上，当时，的减区间是；‎ 当时，的增区间是，减区间是，.‎ ‎（Ⅲ）根据（Ⅱ），当时,有两个极值点，‎ 则是方程的两个根，‎ 从而.‎ 由韦达定理，得.‎ 又，所以.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎.‎ 令，，‎ 则.‎ 当时，；当时，，‎ 则在上是增函数，在上是减函数，‎ 从而，‎ 于是.‎