高考理科数学二轮专项训练专题：05 数列

高考理科数学二轮专项训练专题：05 数列

专题05 数列 一、选择题 ‎1．(2018全国卷Ⅰ)记为等差数列的前项和，若，，则 A． B． C． D．‎ B【解析】通解 设等差数列的公差为，∵．‎ ‎∴，解得，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴．故选B．‎ 优解 设等差数列的公差为，∵，∴，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∵，∴，∴．故选B．‎ ‎2．记为等差数列的前项和．若，，则 的公差为 A．1 B．2 C．4 D．8‎ C【解析】解法一 由，得，‎ 由，得，‎ 设公差为，即，所以．选C．‎ 解法二 设公差为，则有解得，故选C．‎ ‎3．等差数列的首项为1，公差不为0．若，，成等比数列，则前6项的和为 A．24 B．3 C．3 D．8‎ A【解析】设的公差为（），由，得，‎ 所以，．选A． ‎ ‎4．已知等差数列前9项的和为27，，则 A．100 B．99 C．98 D．97‎ C【解析】设等差数列的公差为，因为为等差数列，且，所以．又，解得，所以，所以，选C．‎ ‎5．在等差数列中，若，则＝‎ A．－1 B．0 C．1 D．6‎ B【解析】由等差数列的性质得，选B．‎ ‎6．已知是等差数列，公差不为零，前项和是．若成等比数列，则 A． B． ‎ C． D．‎ B【解析】由成等比数列可得：，‎ 即，所以，所以．‎ 又．‎ ‎7．(2018北京) “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为 A． B． C． D．‎ D【解析】从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于，第一个单音的频率为，由等比数列的概念可知，这十三个单音的频率构成一个首项为，公比为的等比数列，记为，则第八个单音频率为，故选D．‎ ‎8．(2018浙江)已知，，，成等比数列，且．若，则 A．， B．，‎ C．， D．，‎ B【解析】解法一 因为()，所以 ‎，所以，又，所以等比数列的公比．‎ 若，则，‎ 而，所以，‎ 与矛盾，‎ 所以，所以，，‎ 所以，，故选B．‎ 解法二 因为，，‎ 所以，则，‎ 又，所以等比数列的公比．‎ 若，则，‎ 而，所以 与矛盾，‎ 所以，所以，，‎ 所以，，故选B．‎ ‎9．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 B【解析】设塔顶共有灯盏，根据题意各层等数构成以为首项，2为公比的等比数列，∴，解得．选B．‎ ‎10．等比数列满足，，则=‎ A．21 B．42 C．63 D．84‎ D【解析】由等比数列的性质得，，因此一定成等比数列．‎ ‎11．已知数列满足，则的前10项和等于 A． B． C． D．‎ ‎【解析】∵，∴是等比数列 ‎ 又，∴，∴，故选C．‎ ‎12．设，，在中，正数的个数是 A．25 B．50 C．75 D．100‎ D 【解析】由数列通项可知，当，时，，当，‎ ‎ 时，，因为，∴都是 正数；当，同理也都是正数，所以正数的个 数是100.‎ ‎13．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推．求满足如下条件的最小整数：且该数列的前项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是 A．440 B．330 C．220 D．110‎ A【解析】对数列进行分组如图 则该数列前组的项数和为 由题意可知，即，解得，‎ 即出现在第13组之后．又第组的和为前组的和为 ‎，‎ 设满足条件的的在第(,)组，且第项为第的第个数，第组的前项和为，要使该数列的前项和为2的整数幂，‎ 即与互为相反数，即，所以，‎ 由，所以，则，此时 对应满足的最小条件为，故选A．‎ ‎14．定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为0，项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数．若=4，则不同的“规范01数列”共有 ‎（A）18个 （B）16个 （C）14个 （D）12个 C【解析】由题意可得，，，，…，中有3个0、3个1，且满足对任意≤8，都有，，…，中0的个数不少于1的个数，利用列举法可得不同的“规范01数列”有00001111,00010111, 00011011,00011101,00100111, 00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,01010101，共14个．‎ 二、填空题 ‎15．(2018北京)设是等差数列，且，，则的通项公式为___．‎ ‎【解析】解法一 设的公差为，首项为，则，‎ 解得，所以．‎ 解法二 ，所以．故，故．‎ ‎16．(2018上海)记等差数列的前几项和为，若，，则= ．‎ ‎【解析】设等差数列的公差为，，‎ ‎∴，∴．‎ ‎17．等差数列的前项和为，，，则 ．‎ ‎【解析】设等差数列的首项为，公差为，则，解得，，‎ ‎∴，所以，‎ 所以． ‎ ‎18．在等差数列中，若，则 ．‎ ‎10 【解析】 由得，所以，‎ 故．‎ ‎19．设等比数列满足，，则 = _______．‎ ‎【解析】设的首项为，公比为，所以，‎ 解得 ，则． ‎ ‎20．等比数列的各项均为实数，其前项的和为，已知，，则= ．‎ ‎32【解析】设的公比为，由题意，由，所以，由，得，所以 ‎21．若等差数列和等比数列满足，，则=_____．‎ ‎1【解析】设的公差为，的公比为，由题意，‎ 所以，，所以．‎ ‎22．设等比数列满足，，则的最大值为 .‎ ‎【解析】设的公比为，由，得，‎ 则，，，，所以．‎ ‎23．设数列的前项和为．若，，，则= ，= ．‎ ‎ 【解析】由于，解得，由，‎ 所以，所以是以为首项，3为公比的等比数列，‎ 所以，所以．‎ ‎24．(2018全国卷Ⅰ)记为数列的前项和，若，则_____．‎ ‎【解析】通解 因为，所以当时，，解得；‎ 当时，，解得；‎ 当时，，解得；‎ 当时，，解得；‎ 当时，，解得；‎ 当时，，解得．‎ 所以．‎ 优解 因为，所以当时，，解得，‎ 当时，，所以，‎ 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以，‎ 所以．‎ ‎25．等差数列的前项和为，，，则 ．‎ ‎【解析】设等差数列的首项为，公差为，则，‎ 解得，，‎ ‎∴，所以，‎ 所以．‎ ‎26．(2018江苏)已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为 ．‎ ‎27【解析】所有的正奇数和()按照从小到大的顺序排列构成，在数列 中，前面有16个正奇数，即，．当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；……；当时，= 441 +62= 503<，不符合题意；当时，=484 +62=546>=540，符合题意．故使得成立的的最小值为27．‎ ‎27．中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为 ．‎ ‎5【解析】设数列的首项为，则，所以，故该数列的首项为．‎ ‎28．数列满足，=2，则=_________．‎ ‎【解析】将代入，可求得；再将代入，可求得；再将代入得；由此可知数列是一个周期数列，且周期为3，所以 ‎．‎ 三、解答题 ‎29．（2018全国卷Ⅱ）记为等差数列的前项和，已知，．‎ ‎(1)求的通项公式；‎ ‎(2)求，并求的最小值．‎ ‎【解析】(1)设的公差为d，由题意得．‎ 由得d=2．‎ 所以的通项公式为．‎ ‎(2)由(1)得．‎ 所以当时，取得最小值，最小值为−16．‎ ‎30．设和是两个等差数列，记，‎ 其中表示这个数中最大的数．‎ ‎（Ⅰ）若，，求的值，并证明是等差数列；‎ ‎（Ⅱ）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列．‎ ‎【解析】（Ⅰ）易知，，且，，‎ 所以 ‎，‎ ‎．‎ 下面证明：对任意且，都有．‎ 当且时，‎ ‎∵且 ‎∴．‎ 因此对任意且，，则．‎ 又∵，‎ 故对均成立，从而是等差数列 ‎（Ⅱ）设数列和的公差分别为，下面我们考虑的取值．‎ 对，，，‎ 考虑其中任意项且，‎ 下面分，，三种情况进行讨论．‎ ‎（1）若，则 ‎①若，则 则对于给定的正整数而言，‎ 此时，故是等差数列 ‎②，则 则对于给定的正整数而言，‎ 此时，故是等差数列 此时取，则是等差数列，命题成立．‎ ‎（2）若，则此时为一个关于的一次项系数为负数的一次函数．‎ 故必存在，使得当时，‎ 则当时，‎ 因此，当时，．‎ 此时，故从第项开始为等差数列，命题成立．‎ ‎（3），则此时为一个关于的一次项系数为正数的一次函数．‎ 故必存在，使得当时，‎ 则当时，‎ 因此当时，．‎ 此时 令，，‎ 下面证明对任意正数，存在正整数，使得当时，．‎ ‎①若，则取（表示不等于的最大整数）‎ 当时，‎ 此时命题成立．若，则取 当时 此时命题成立．因此，对任意正数，使得当时，．‎ 综合以上三种情况，命题得证．‎ ‎31．已知数列 的前n项和，是等差数列，且 ‎ ‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令 求数列的前n项和Tn.‎ ‎【解析】(Ⅰ)因为数列的前项和，‎ 所以，当时，‎ ‎，‎ 又对也成立，所以．‎ 又因为是等差数列，设公差为，则．‎ 当时，；当时，，‎ 解得，所以数列的通项公式为．‎ ‎(Ⅱ)由，‎ 于是，‎ 两边同乘以２，得，‎ 两式相减，得 ‎．‎ ‎32．已知是各项均为正数的等差数列，公差为，对任意的，是和的等差中项．‎ ‎(Ⅰ)设，求证：数列是等差数列；‎ ‎(Ⅱ)设 ，求证：‎ ‎【解析】(Ⅰ)由题意得，有，‎ 因此，所以数列是等差数列．‎ ‎(Ⅱ) ‎ ‎．‎ 所以．‎ ‎33．（2018全国卷Ⅲ）等比数列中，，．‎ ‎(1)求的通项公式；‎ ‎(2)记为的前项和．若，求．‎ ‎【解析】(1)设的公比为，由题设得．‎ 由已知得，解得（舍去），或．‎ 故或．‎ ‎(2)若，则．由得，此方程没有正整数解．‎ 若，则．由得，解得．‎ 综上，．‎ ‎34．已知是各项均为正数的等比数列，且，．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系中，依次连接点，，…，得到折线…，求由该折线与直线，，所围成的区域的面积．‎ ‎【解析】(Ⅰ)设数列的公比为，由已知．‎ 由题意得，所以，‎ 因为,所以，因此数列的通项公式为 ‎（Ⅱ）过…，向轴作垂线，垂足分别为…，,‎ 由(Ⅰ)得记梯形的面积为．‎ 由题意，所以…+‎ ‎=…+ ①‎ 又…+ ②‎ ‎①②得 ‎= 所以 ‎35．已知数列的前项和，其中．‎ ‎（Ⅰ）证明是等比数列，并求其通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，求．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题意得，故，，.‎ 由，得，即．‎ 由，且得，所以.‎ 因此是首项为，公比为的等比数列，于是．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，由得，‎ 即，解得．‎ ‎36．（2018浙江）已知等比数列的公比，且，是，的等差中项．数列满足，数列的前项和为．‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)求数列的通项公式．‎ ‎【解析】(1)由是，的等差中项得，‎ 所以，‎ 解得．‎ 由得，‎ 因为，所以．‎ ‎(2)设，数列前项和为．‎ 由，解得．‎ 由(1)可知，‎ 所以，‎ 故，，‎ ‎．‎ 设，，‎ 所以，‎ 因此，，‎ 又，所以．‎ ‎37．(2018天津)设是等比数列，公比大于0，其前项和为，是等差数列．已知，，，．‎ ‎(1)求和的通项公式；‎ ‎(2)设数列的前项和为，‎ ‎(i)求；‎ ‎(ii)证明．‎ ‎【解析】(1)设等比数列的公比为q．由可得．‎ 因为，可得，故．‎ 设等差数列的公差为d，由，可得由，‎ 可得 从而 故 ‎ 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为 ‎(2)(i)由(1)，有，‎ 故．‎ ‎(ii)证明：因为 ‎，‎ 所以，‎ ‎．‎ ‎38．对于给定的正整数，若数列满足 对任意正整数总成立，则称数列是“数列”．‎ ‎（1）证明：等差数列是“数列”；‎ ‎（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列．‎ ‎【解析】证明:（1）因为是等差数列，设其公差为，则，‎ 从而，当时，‎ ‎，‎ 所以，‎ 因此等差数列是“数列”.‎ ‎（2）数列既是“数列”，又是“数列”，因此，‎ 当时，，①‎ 当时，.②‎ 由①知，，③‎ ‎，④‎ 将③④代入②，得，其中，‎ 所以是等差数列，设其公差为.‎ 在①中，取，则，所以，‎ 在①中，取，则，所以，‎ 所以数列是等差数列.‎ ‎39．为等差数列的前n项和，且，．记，其中表示不超过x的最大整数，如，．‎ ‎（Ⅰ）求，，；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和．‎ ‎【解析】（Ⅰ）设的公差为，，‎ ‎∴，∴，∴．‎ ‎∴，，．‎ ‎（Ⅱ）记的前项和为，则 ‎．‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，．‎ ‎∴．‎ ‎40．(2018江苏)设是首项为，公差为的等差数列，是首项为，公比为的等比数列．‎ ‎(1)设，若对均成立，求的取值范围；‎ ‎(2)若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．‎ ‎【解析】(1)由条件知：,．‎ 因为对=1，2，3，4均成立，‎ 即对=1，2，3，4均成立，‎ 即11，13，35，79，得．‎ 因此，的取值范围为．‎ ‎(2)由条件知：,．‎ 若存在，使得(=2，3，···，+1)成立，‎ 即(=2，3，···，+1)，‎ 即当时，满足．‎ 因为，则，‎ 从而，，对均成立．‎ 因此，取=0时，对均成立．‎ 下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）．‎ ‎①当时，，‎ 当时，有，从而．‎ 因此，当时，数列单调递增，‎ 故数列的最大值为．‎ ‎②设，当时，，‎ 所以单调递减，从而．‎ 当时，，‎ 因此，当时，数列单调递减，‎ 故数列的最小值为．‎ 因此，的取值范围为．‎ ‎41．已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，,，．‎ ‎（Ⅰ）求和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前n项和．‎ ‎【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.‎ 由已知，得，而，所以.‎ 又因为，解得.所以，.‎ 由，可得 ①.‎ 由，可得 ②，‎ 联立①②，解得，，由此可得.‎ 所以，数列的通项公式为，数列的通项公式为.‎ ‎（Ⅱ）设数列的前项和为，‎ 由，，有，‎ 故，‎ ‎，‎ 上述两式相减，得 ‎ ‎ 得.‎ 所以，数列的前项和为.‎ ‎42．已知数列满足：，．‎ 证明：当时 ‎（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）；‎ ‎（Ⅲ）．‎ ‎【解析】（Ⅰ）用数学归纳法证明：当时，假设时，，‎ 那么时，若，则，矛盾，故．‎ 因此所以因此 ‎（Ⅱ）由得 记函数 函数在上单调递增，所以=0，‎ 因此 故 ‎（Ⅲ）因为 所以得由得 所以 故 综上， ．‎ ‎43．已知数列{}的首项为1，为数列{}的前n项和， ，其中q>0， .‎ ‎（I）若 成等差数列，求的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)设双曲线的离心率为，且，证明：．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由已知， ‎ 两式相减得到.‎ 又由得到，故对所有都成立.‎ 所以，数列是首项为1，公比为q的等比数列.从而.‎ 由成等比数列，可得，即，‎ 则，由已知,，故 .所以.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，.‎ 所以双曲线的离心率 .‎ 由解得.因为，所以.‎ 于是，故.‎ ‎44．已知等差数列满足.‎ ‎（1）求数列的通项公式及前项和；‎ ‎（2）记数列的前项和为，若，求的最小值.‎ ‎【答案】（1），；（2）100‎ ‎【解析】（1）设等差数列的公差为.依题意有 解得 所以. ‎ ‎（2）因为 所以.‎ 因为，即， 所以.所以的最小值为 ‎45．已知数列的前项和为，，，.‎ ‎（1）证明：数列为等比数列；‎ ‎（2）已知曲线若为椭圆，求的值；‎ ‎（3）若，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）或；（3）.‎ ‎【解析】（1）对任意的，，则且，‎ 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列；‎ ‎（2）由（1）可得，.‎ 当时，，‎ 也适合上式，所以，.‎ 由于曲线是椭圆，则，即，‎ ‎，解得或；‎ ‎（3），‎ ‎，①‎ ‎，②‎ ‎①②得，‎ 因此，.‎ ‎46．已知数列满足，，，2，.‎ 求数列的通项；‎ 设，求．‎ ‎【答案】； .【解析】‎ 解：，，2，，‎ ‎，，3，‎ 得，，‎ 当n为奇数，，当n为偶数，‎ 所以；‎ ‎，‎ ‎．‎