河南省洛阳市第一高级中学2019-2020学年高二上学期12月月考数学试题

河南省洛阳市第一高级中学2019-2020学年高二上学期12月月考数学试题

洛阳一高2019-2020学年第一学期高二年级12月月考数学试卷 ‎ 一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合A={x|x<1}，B={x|}，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎∵集合 ‎∴‎ ‎∵集合 ‎∴，‎ 故选A ‎2.平面内有两定点及动点，设命题甲：“与是定值”，命题乙：“点的轨迹是以为焦点的椭圆”，那么命题甲是命题乙的（ ）‎ A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由于命题：若“+是定值” ，则“点是以为焦点的椭圆上的点”不一定成立，如虽然是定值，则点的轨迹是以端点的线段，即点不在以为焦点的椭圆上，所以甲不是乙的充分条件；若“点的轨迹是以为焦点的椭圆”，则“+是定值”必成立，所以甲是乙的必要条件。综上甲是乙的必要不充分条件，应选答案B。‎ ‎3.命题“,”的否定是（ ）‎ A. , B. ,‎ C. , D. ,‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．‎ ‎【详解】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，‎ 即,，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．‎ ‎4.已知，，则是的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义，进行判断，即可得到答案.‎ ‎【详解】由题意，若，则，则，所以，则成立，‎ 当时，满足，但不一定成立，‎ 所以是的充分不必要条件，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定问题，其中解答中结合不等式的关系和不等式的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.‎ ‎5.双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.‎ 详解：‎ 因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.‎ 点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.‎ ‎6.如果方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别讨论方程表示焦点在x轴上和y轴上的双曲线，列出不等式，解出它们，再求并集即可．‎ ‎【详解】解：①当方程表示焦点在x轴上的双曲线，‎ 则为1，‎ 所以，‎ 解得﹣2＜m＜﹣1，‎ 则m的取值范围为：（﹣2，﹣1）；‎ ‎②当方程表示焦点在y轴上的双曲线，‎ 则为1，‎ 所以，‎ 无解．‎ 综上所述，则m的取值范围为：（﹣2，﹣1）．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线的标准方程，考查不等式的解法，是基本知识的考查．‎ ‎7.已知，是椭圆上的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若是正三角形，则这个椭圆的离心率是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由△ABF2是正三角形可知，即，由此推导出这个椭圆的离心率．‎ ‎【详解】，是椭圆上的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若是正三角形，可得，即，，即，‎ ‎，‎ 即：，‎ 解得．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的基本性质及其应用，解题要注意公式的合理选取．‎ ‎8.已知、为双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，∠P=，则 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 本试题主要考查双曲线的定义，考查余弦定理的应用．由双曲线的定义得①,又,由余弦定理②，由①2-②得，故选B．‎ ‎9.焦点在x轴上的椭圆的离心率e=，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则的最大值为（ ）‎ A. 4 B. 6 C. 8 D. 10‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆焦点在x轴，得，由离心率公式求出c，再求出，利用坐标法求出为二次函数，配方法，利用x的范围求出最值．‎ ‎【详解】椭圆焦点在x轴，所以，‎ 由离心率，所以， ‎ 设 则，，‎ 则，因为，代入化简得 ‎==，又，‎ 当时，的最大值为4．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】考查椭圆的定义，离心率公式，向量坐标运算，配方法求最值，属于中档题．‎ ‎10.设A、B分别为双曲线（a>0，b>0）的左、右顶点，P是双曲线上不同于A、B的一点，直线AP、BP的斜率分别为m、n，则当取最小值时，双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：先根据点的关系确定mn，再根据基本不等式确定最小值，最后根据最小值取法确定双曲线的离心率.‎ 详解：设，则 ，‎ 因此 当且仅当时取等号，此时 选D.‎ 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ ‎11.已知双曲线 的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且 则双曲线的方程为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】分析：由题意首先求得A,B的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b的值，之后利用离心率求解a的值即可确定双曲线方程.‎ 详解：设双曲线的右焦点坐标为（c>0），则，‎ 由可得：，‎ 不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为，‎ 据此可得：，，‎ 则，则，‎ 双曲线的离心率：，‎ 据此可得：，则双曲线的方程为.‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.‎ ‎12.已知F1（-c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且=c2，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】设，‎ 所以，选C.‎ 二、填空题:本题共4个小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.若“”是真命题，则实数的最小值为 .‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ 若“”是真命题，则大于或等于函数在的最大值 因为函数在上为增函数，所以，函数在上的最大值为1，‎ 所以，，即实数的最小值为1.‎ 所以答案应填:1.‎ 考点：1、命题；2、正切函数的性质.‎ ‎14.已知命题p1：函数y＝ln(x＋)，是奇函数，p2：函数y＝为偶函数，则下列四个命题：‎ ‎①p1∨p2；②p1∧p2；③(p1)∨p2；④p1∧(p2)．‎ 其中，真命题是________．(填序号)‎ ‎【答案】①④‎ ‎【解析】‎ 由函数的奇偶性可得命题p1为真命题，命题p2为假命题，再由命题的真假值表可得②③为假，①④为真．‎ ‎15.一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出两个圆的圆心与半径，设出动圆的圆心与半径，判断动圆的圆心轨迹，推出结果即可．‎ ‎【详解】圆x2+y2+6x+5＝0的圆心为A（﹣3，0），半径为2；‎ 圆x2+y2﹣6x﹣91＝0的圆心为B（3，0），半径为10；‎ 设动圆圆心为M（x，y），半径为x；‎ 则MA＝2+r，MB＝10﹣r；‎ 于是MA+MB＝12＞AB＝6‎ 所以，动圆圆心M的轨迹是以A（﹣3，0），B（3，0）为焦点，长轴长为12的椭圆．‎ a＝6，c＝3，b2＝a2﹣c2＝27；‎ 所以M的轨迹方程为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查椭圆定义的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．‎ ‎16.已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为，当点在双曲线右支上，点在圆上运动时，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由双曲线渐近线求出，记双曲线的右焦点为，利用，得，再由两点之间线段最短求出的最小值，然后得出答案.‎ ‎【详解】解：由双曲线方程，得，所以渐近线方程为 比较方程，得 所以双曲线方程为，点 记双曲线的右焦点为，且点在双曲线右支上，所以 所以 由两点之间线段最短，得最小为 因为点在圆上运动 所以最小为点F到圆心的距离减去半径2‎ 所以 所以的最小值为7‎ 故答案为：7.‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线的定义与方程，双曲线的渐近线，平面中线段和最小问题，利用双曲线定义进行线段转化是解本题的关键，属于中档题.‎ 三、解答题:本大题共6个小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.命题：方程表示焦点在轴上的双曲线：命题：若存在，使得成立.‎ ‎（1）如果命题是真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）如果“”为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由方程表示焦点在轴上的双曲线，得到，即可求解；‎ ‎（2）由（1）中命题为真命题时，得到，再求得命题为真命题，得到，结合“”为假命题，“”为真命题，得、两个命题一真一假，分类讨论，即可求解.‎ ‎【详解】（1）由题意，方程表示焦点在轴上的双曲线，‎ 则满足，解得，‎ 即命题为真命题时，实数的取值范围是. ‎ ‎（2）若命题为真命题，则在有解，解得，‎ 又由“”为假命题，“”为真命题，则、两个命题一真一假，‎ 若真假，则，解得；‎ 若假真，则，解得，‎ 综上，实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，以及利用复合命题的真假求解参数的范围，其中解答中正确求解命题，合理利用复合命题的真假，分类讨论是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎18.已知椭圆的长轴长为，短轴长为．‎ ‎(1)求椭圆方程；‎ ‎(2)过作弦且弦被平分，求此弦所在的直线方程及弦长．‎ ‎【答案】(1)；(2) ，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据椭圆的性质列方程组解出a，b，c即可；‎ ‎（2）设以点P（2，1）为中点的弦与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法求出k，然后求出直线方程，联立解方程组，求出A，B，再求出|AB|．‎ ‎【详解】(1)由椭圆长轴长为，短轴长为，‎ 得，所以， ‎ 所以椭圆方程为． ‎ ‎(2)设以点为中点的弦与椭圆交于，则.‎ 在椭圆上，所以，， ‎ 两式相减可得，‎ 所以的斜率为， ‎ ‎∴点为中点的弦所在直线方程为. ‎ 由，得，所以或，‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的方程，直线方程的求法，弦长公式，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．‎ ‎19.在中,角所对的边分别是且 ‎（1）求边的长；‎ ‎（2）若点是边上的一点，且的面积为求的正弦值.‎ ‎【答案】(1)2;(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由可得，‎ 化简可得，由等腰三角形的性质可得结果；（2）由三角形面积得，在中，由余弦定理得，在中，由正弦定理得.‎ 试题解析：（1）‎ ‎ ‎ ‎（2）‎ 解得 在中，由余弦定理得 在中，由正弦定理得.‎ ‎20.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点F2的直线l交双曲线于A，B两点，F1为左焦点．‎ ‎(1)求双曲线的方程；‎ ‎(2)若△F1AB的面积等于6，求直线l的方程．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎(1)依题意，b＝，＝2a＝1，c＝2，∴双曲线的方程为：x2－＝1.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，F2(2，0)，直线l：y＝k(x－2)，‎ 由消元得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0，‎ k≠±时，x1＋x2＝，x1x2＝，y1－y2＝k(x1－x2)，‎ ‎△F1AB的面积S＝＝＝‎ ‎2|k|·＝12|k|·＝6k4＋8k2－9＝0，k2＝1，k＝±1，所以直线l方程为y＝±(x－2)．‎ ‎21.已知函数，是数列的前项和，点在曲线上.‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)若，，且是数列的前项和. 试问是否存在最大值？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(1) ；(2) 存，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用递推关系式求数列的通项公式，注意首项的验证；‎ ‎（2）由（1）可得，利用错位相减法求和后求得，再利用得到单调性。从而求得的最大值.‎ ‎【详解】(1)因为在曲线上，且，‎ 所以. ‎ 当时，. ‎ 当时,适合上式，‎ 所以；‎ ‎(2)因为, ① ‎ 所以, ② ‎ ‎, ③‎ ‎②－③得 ‎ ‎.‎ 整理得 ④ ‎ 所以.‎ 因为，所以，‎ 所以，即， ‎ 所以……，‎ 所以存在最大值.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的性质、数列递推关系、错位相减求和方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎22.已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设，，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点的直线与椭圆交于，两点，求的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ） ‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题意知，‎ 所以．‎ 即．‎ 又因为，‎ 所以，．‎ 故椭圆的方程为．‎ ‎（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为．‎ 由得． ①‎ 设点，，则．‎ 直线的方程为．‎ 令，得．‎ 将，代入，‎ 整理，得． ②‎ 由①得，代入②‎ 整理，得．‎ 所以直线与轴相交于定点．‎ ‎（Ⅲ）当过点直线的斜率存在时，设直线的方程为，且 ‎，在椭圆上．‎ 由得．‎ 易知．‎ 所以，，．‎ 则．‎ 因为，所以．‎ 所以．‎ 当过点直线的斜率不存在时，其方程为．‎ 解得：，．‎ 此时．‎ 所以的取值范围是 ‎ ‎