2020届二轮复习随机变量及其分布列课时作业（全国通用）

2020届二轮复习随机变量及其分布列课时作业（全国通用）

随机变量及其分布列 【例1】 有六节电池，其中有2只没电，4只有电，每次随机抽取一个测试，不放回，直至分清楚有电没电为止，所要测试的次数为随机变量，求的分布列．‎ ‎【考点】离散型随机分布列的性质 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键词】无 ‎【解析】略 ‎【答案】容易知道．‎ ‎∵表示前2只测试均为次品，∴ ‎ ‎∵表示前两次中一好一坏，第三次为坏，∴ ‎ ‎∵表示前四只均为好，或前三只中一坏二好，第四个为坏，‎ ‎∴ ‎ ‎∵ 表示前四只三好一坏，第五只为坏或前四只三好一坏第五只为好 ‎∴ ‎ ‎∴ 分布列为 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 【例2】 若，，其中，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】离散型随机分布列的性质 ‎【难度】2星 ‎【题型】选择 ‎【关键词】无 ‎【解析】‎ ‎．‎ ‎【答案】C；‎ 【例1】 甲乙两名篮球运动员轮流投篮直至有人投中为止，设每次投篮甲投中的概率为，乙投中的概率为，而且每次不受其他次投篮结果的影响，甲投篮的次数为，若甲先投，则_________．‎ ‎【考点】离散型随机分布列的性质 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键词】无 ‎【解析】．‎ ‎【答案】；‎ 【例2】 袋中装有黑球和白球共个，从中任取个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止所需要的取球次数．‎ ‎⑴ 求袋中所有的白球的个数；‎ ‎⑵ 求随机变量的概率分布；‎ ‎⑶ 求甲取到白球的概率．‎ ‎【考点】离散型随机分布列的性质 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】⑴ 设袋中原有个白球，由题意知，‎ 可得或（舍去）即袋中原有个白球．‎ ‎⑵ 由题意，的可能取值为，‎ ‎，，，‎ ‎，．‎ 所以的分布列为：‎ ‎⑶ 因为甲先取，所以甲只有可能在第一次，第三次和第次取球，记“甲取到白球”为事件，‎ 则．‎ 【例1】 对于正整数，用表示关于的一元二次方程有实数根的有序数组的组数，其中（和可以相等）；对于随机选取的（和可以相等），记为关于的一元二次方程有实数根的概率．‎ ‎⑴求及；⑵求证：对任意正整数，有．‎ ‎【考点】离散型随机变量及其分布列 ‎【难度】5星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】2009年，江苏高考 ‎【解析】略 ‎【答案】⑴因为方程有实数根，所以，即．‎ ‎①当时，有，又，故总有，此时，有种取法，有种取法，所以共有组有序数组满足条件；‎ ‎②当时，满足的有个，‎ 故共有组有序数组满足条件．‎ 由①②可得，‎ 从而．‎ ‎⑵我们只需证明：‎ 对于随机选取的，方程无实数根的概率．‎ 若方程无实数根，则，即．由知．‎ 因此，满足的有序数组的组数小于，‎ 从而，方程无实数根的概率，‎ 所以．‎ 【例1】 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．‎ ‎⑴ 求甲答对试题数的分布列、数学期望与方差；‎ ‎⑵ 求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差 ‎【难度】4星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】⑴ 依题意，可能取的值为，．‎ 甲答对试题数的分布列如下：‎ 甲答对试题数的数学期望．‎ ‎；‎ ‎（注：服从参数为的超几何分布，故由公式得）‎ ‎⑵ 设甲、乙两人考试合格的事件分别为、，‎ 则，．‎ 因为事件、相互独立，‎ 法一：‎ ‎∴甲、乙两人考试均不合格的概率为．‎ ‎∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为．‎ 法二：‎ ‎∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为 ‎．‎ 【例2】 一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出个球，至少得到个白球的概率是．‎ ‎⑴若袋中共有个球，从袋中任意摸出个球，求得到白球的个数的数学期望；‎ ‎⑵求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于．并指出袋中哪种颜色的球个数最少．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差 ‎【难度】4星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】2018年，浙江高考 ‎【解析】略 ‎【答案】⑴设袋中白球的个数为，则“从袋中任意摸出两个球，‎ 至少得到一个白球”的概率为：‎ ‎，解得．即白球有5个．‎ 设从袋中任意摸出3个球，得到白球的个数为，则随机变量服从参数为的超几何分布．因此数学期望为：．‎ ‎⑵设袋中有个球，则由题意其中黑球个数为，因此．‎ 设从袋中任意摸出2个球，得到黑球的个数为，则服从参数为的超几何分布．因此．‎ 要证，只需证，即，‎ 只需证，该式化简后即为，这是成立的．‎ 因此从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于．‎ 又已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，所以白球比黑球多，从而红球的个数最少．‎ 【例1】 某篮球运动员在三分线投球的命中率是，他投球10次，恰好投进3个球的概率 ．（用数值表示）‎ ‎【考点】二项分布 ‎【难度】1星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，湖北高考 ‎【解析】．‎ ‎【答案】；‎ 【例1】 甲乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以的比分获胜的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】二项分布 ‎【难度】2星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】无 ‎【解析】甲获胜，表示只比赛了局，且第局为甲获胜，‎ 前面局中甲胜了两局，乙胜了一局，因此所求概率为．‎ ‎【答案】A；‎ 【例2】 袋子和中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸出一个红球的概率是，从中摸出一个红球的概率为．‎ ‎⑴从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．‎ ‎①求恰好摸5次停止的概率；‎ ‎②记5次之内（含5次）摸到红球的次数为，求随机变量的分布．‎ ‎⑵若两个袋子中的球数之比为，将中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求的值．‎ ‎【考点】离散型随机变量及其分布列 ‎【难度】5星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】2018年，浙江高考 ‎【解析】略 ‎【答案】⑴恰好摸5次停止，则第5次摸到的是红球，‎ 前面4次独立重复试验摸到两次红球，所求概率为：‎ 随机变量的取值为．由次独立重复试验概率公式，得 ‎，，‎ ‎，．‎ ‎⑵设袋子中有个球，则袋子中有个球，且中红球数为，‎ 中红球数为，由，解得．‎ 【例1】 一个质地不均匀的硬币抛掷次，正面向上恰为次的可能性不为，而且与正面向上恰为次的概率相同．令既约分数为硬币在次抛掷中有次正面向上的概率，求．‎ ‎【考点】二项分布 ‎【难度】4星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】设正面向上的概率为，依题意：，‎ 解得：，‎ 硬币在次抛掷中有次正面向上的概率为，‎ 故．‎ 【例2】 某班级有人，设一年天中，恰有班上的（）个人过生日的天数为，求的期望值以及至少有两人过生日的天数的期望值．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差 ‎【难度】4星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】个人在哪天过生日可看成次独立重复试验，设某天过生日的人数为，‎ 则，因此，‎ 天每天有多少人过生日，又可看作次独立重复试验，因此．‎ 由二项分布的期望值公式知：‎ ‎．‎ 没有人过生日的天数期望值为．‎ 恰有一人过生日的天数期望值为．‎ 因此至少有两人过生日的天数的期望值为：．‎ 【例1】 某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数，其中的各位数中，，出现的概率为，出现的概率为．记，当程序运行一次时，‎ ‎⑴ 求的概率；‎ ‎⑵ 求的概率分布和期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差 ‎【难度】4星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】⑴ 已知，要使，只需后四位中出现个和个．‎ ‎∴；‎ ‎⑵ 的可能取值为．‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎．‎ ‎∴的概率分布为 ‎．‎ 【例2】 设的概率密度函数为，则下列结论错误的是（ ）‎ A． 　　　　　　　　　B．‎ C．的渐近线是　　　　　　　 D．‎ ‎【考点】正态分布 ‎【难度】2星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】C；‎ 【例1】 某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为，则下列命题中不正确的是（ ）‎ A．该市这次考试的数学平均成绩为分 B．分数在120分以上的人数与分数在分以下的人数相同 C．分数在110分以上的人数与分数在分以下的人数相同 D．该市这次考试的数学标准差为 ‎【考点】正态分布 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】无 ‎【解析】不难知道，由正态分布曲线的特点知答案为B．‎ ‎【答案】B；‎ 【例2】 设随机变量服从正态分布，，则下列结论正确的个数是．‎ ‎⑴‎ ‎⑵‎ ‎⑶‎ ‎⑷‎ ‎【考点】正态分布 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】⑴⑵⑷正确．‎ ‎【答案】3；‎ 【例3】 ‎（广东省揭阳市2018年高中毕业班高考调研测试）‎ 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，不得分的概率为（、、），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2018年，广东省揭阳市高中毕业班高考调研测试 ‎【解析】由已知得，即，‎ ‎∴，故选D．‎ ‎【答案】D；‎ 【例1】 投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为，复审的稿件能通过评审的概率为，各专家独立评审．‎ ‎⑴求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；‎ ‎⑵记表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求的分布列及期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差 ‎【难度】4星 ‎【题型】解答 ‎【关键词】2018年，全国高考 ‎【解析】略 ‎【答案】⑴记表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；‎ 表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；‎ 表示事件：稿件能通过复审专家的评审；‎ 表示事件：稿件被录用．‎ 则 ‎，，‎ ‎⑵，其分布列为：‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 期望 【例2】 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为．甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．‎ ‎⑴求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；‎ ‎⑵求中奖人数的分布列及数学期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差 ‎【难度】4星 ‎【题型】解答 ‎【关键词】2018年，四川高考 ‎【解析】略 ‎【答案】⑴显然甲、乙、丙三位同学是否中奖独立，‎ 所以甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是：‎ ‎⑵‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 【例1】 ‎（2018崇文二模）‎ 某学校高一年级开设了五门选修课．为了培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须参加且只能选修一门课程．假设某班甲、乙、丙三名学生对这五门课程的选择是等可能的．‎ ‎⑴求甲、乙、丙三名学生参加五门选修课的所有选法种数；‎ ‎⑵求甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生选修同一门课程的概率；‎ ‎⑶设随机变量为甲、乙、丙这三名学生参加课程的人数，求的分布列与数学期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差 ‎【难度】4星 ‎【题型】解答 ‎【关键词】2018年，北京崇文2模 ‎【解析】略 ‎【答案】⑴甲、乙、丙三名学生每人选择五门选修课的方法数是5种，‎ 故共有（种）．‎ ‎⑵三名学生选择三门不同选修课程的概率为：．‎ ‎∴三名学生中至少有两人选修同一门课程的概率为：．‎ ‎⑶由题意：．‎ ‎； ；‎ ‎； ．‎ 的分布列为 数学期望．‎ 【例2】 口袋里装有大小相同的个红球和 个白球，甲、乙两人依规则从袋中有放回摸球，每次摸出一个球，规则如下：若一方摸出一个红球，则此人继续下一次摸球；若一方摸出一个白球，则由对方接替下一次摸球，且每次摸球彼此相互独立，并由甲进行第一次摸球；求在前三次摸球中，甲摸得红球的次数的分布列及数学期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】记“甲摸球一次摸出红球”为事件，“乙摸球一次摸出红球”为事件，‎ 则，且、相互独立．‎ 依题意，的可能取值为，其中 ‎，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎∴．‎ 【例1】 从集合的所有非空子集中，等可能地取出一个．‎ ‎⑴ 记性质：集合中的所有元素之和为，求所取出的非空子集满足性质的概率；‎ ‎⑵ 记所取出的非空子集的元素个数为，求的分布列和数学期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差 ‎【难度】4星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】2009年，福建高考 ‎【解析】略 ‎【答案】⑴ 记“所取出的非空子集满足性质”为事件．‎ 基本事件总数；‎ 事件包含的基本事件是，，；‎ 事件包含的基本事件数．‎ ‎∴．‎ ‎⑵ 依题意，的所有可能取值为．‎ 又，，，‎ ‎，，‎ 故的分布列为：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 从而．‎ 【例1】 连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第次得到的点数为，若存在正整数，使，则称为你的幸运数字．‎ ‎⑴求你的幸运数字为的概率；‎ ‎⑵若，则你的得分为分；若，则你的得分为分；若，则你的得分为分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字则记分．求得分的分布列和数学期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差 ‎【难度】4星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】⑴ 设“连续抛掷次骰子，和为”为事件，则它包含事件、，‎ 其中：四次中恰好两次为，两次为；‎ ‎：四次中恰好一次为，三次为．‎ ‎、为互斥事件，则的概率为．‎ ‎⑵ ，，‎ ‎，，‎ ‎∴的分布列为 ‎∴．‎ 【例2】 猎人在距离处射击一只野兔，其命中率为．如果第一次射击未命中，则猎人进行第二次射击，但距离为；如果第二次又未命中，则猎人进行第三次射击，但在射击瞬间距离野兔为．已知猎人命中率与距离的平方成反比，求猎人命中野兔的概率．‎ ‎【考点】条件概率 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】记三次射击“射中”分别为、、．其中．又由题意有 ‎，∴；，∴．‎ ‎∴命中野兔的概率为 ‎．‎ 【例1】 一袋中装有10个球，其中3个黑球，7个白球，先后两次从袋中各取一球（不放回）‎ ‎⑴已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率；‎ ‎⑵已知第二次取出的是黑球，求第一次取出的也是黑球的概率；‎ ‎⑶已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的是白球的概率．‎ ‎【考点】条件概率 ‎【难度】4星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】设A表示事件“第一次取出的是黑球”，B表示事件“第二次取出的是黑球”，‎ C表示事件“第二次取出的是白球”则．．‎ ‎⑴问题即求条件概率，，所以．‎ ‎⑵．‎ ‎⑶问题即求概率，，‎ 所以，‎ 从结果可以看出．‎ 【例2】 一辆飞机场的交通车载有25名乘客途经9个站，每位乘客都等可能在这9站中任意一站下车（且不受其他乘客下车与否的影响），交通车只在有乘客下车时才停车，求交通车在第站停车的概率以及在第站不停车的条件下在第站停车的概率，并判断“第站停车”与“第站停车”两个事件是否独立．‎ ‎【考点】事件的独立性 ‎【难度】5星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】不妨记事件：交通车在第站停车（）‎ 我们考虑事件的对立情形，即所有25名乘客都在其余的8个站下车，‎ 其概率为．于是．‎ 在第站不停车的条件下在第站停车的概率 而，‎ 代入有 由，说明事件与不独立，于是事件与不独立．‎ 【例1】 由以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下效果：被诊断者有癌症，试验反应为阳性的概率为0．95；被诊断者没有癌症，试验反应为阴性的概率为0．95现对自然人群进行普查，设被试验的人群中患有癌症的概率为0．005，求：已知试验反应为阳性，该被诊断者确有癌症的概率． ‎【考点】条件概率 ‎【难度】4星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】设表示“患有癌症”，表示“没有癌症”，表示“试验反应为阳性”‎ ‎，则由条件得 ‎，，，‎ 由此 于是有 ‎．‎