2019高三数学(人教A版理)一轮课时分层训练45 空间向量及其运算

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2019高三数学(人教A版理)一轮课时分层训练45 空间向量及其运算

课时分层训练(四十五) 空间向量及其运算 ‎(对应学生用书第247页)‎ A组 基础达标 ‎(建议用时:30分钟)‎ 一、选择题 ‎1.在空间直角坐标系中,A(1,2,3),B(-2,-1,6),C(3,2,1),D(4,3,0),则直线AB与CD的位置关系是(  )‎ A.垂直       B.平行 C.异面 D.相交但不垂直 B [由题意得,=(-3,-3,3),=(1,1,-1),‎ ‎∴=-3,∴与共线,‎ 又与没有公共点.∴AB∥CD.]‎ ‎2.(2017·上饶期中)如图766,三棱锥OABC中,M,N分别是AB,OC的中点,设=a,=b,=c,用a,b,c表示,则=(  )‎ 图766‎ A.(-a+b+c)‎ B.(a+b-c)‎ C.(a-b+c)‎ D.(-a-b+c)‎ B [=+=(-)+=-+(-)=+-=(a+b-c).]‎ ‎3.(2017·武汉三中月考)在空间直角坐标系中,已知A(1,-2,1),B(2,2,2),点P在z轴上,且满足|PA|=|PB|,则P点坐标为(  )‎ A.(3,0,0) B.(0,3,0)‎ C.(0,0,3) D.(0,0,-3)‎ C [设P(0,0,z),‎ 则有 ‎=,‎ 解得z=3.故选C.]‎ ‎4.已知a=(1,0,1),b=(x,1,2),且a·b=3,则向量a与b的夹角为(  ) ‎ ‎【导学号:97190248】‎ A. B. C. D. D [∵a·b=x+2=3,∴x=1,‎ ‎∴b=(1,1,2).‎ ‎∴cos〈a,b〉===.‎ ‎∴a与b的夹角为,故选D.]‎ ‎5.如图767,在大小为45°的二面角AEFD中,四边形ABFE,CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是(  )‎ 图767‎ A. B. C.1 D. D [∵=++,‎ ‎∴||2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=1+1+1-=3-,故||=.]‎ 二、填空题 ‎6.已知a=(2,1,-3),b=(-1,2,3),c=(7,6,λ),若a,b,c三向量共面,则λ=________.‎ ‎-9 [由题意知c=xa+yb,‎ 即(7,6,λ)=x(2,1,-3)+y(-1,2,3),‎ ‎∴解得λ=-9.]‎ ‎7.如图768,已知P为矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD,点M在线段PC上,点N在线段PD上,且PM=2MC,PN=ND,若=x+y +z,则x+y+z=________.‎ 图768‎ ‎- [=-=- ‎=(-)-(+)‎ ‎=-+-(+)‎ ‎=--+,‎ 所以x+y+z=--+=-.]‎ ‎8.已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c,则c=________.‎ ‎(3,-2,2) [因为a∥b,所以==,‎ 解得x=2,y=-4,‎ 此时a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1),‎ 又因为b⊥c,所以b·c=0,‎ 即-6+8-z=0,解得z=2,于是c=(3,-2,2).]‎ 三、解答题 ‎9.已知空间中三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=,b=.‎ ‎(1)若|c|=3,且c∥,求向量c;‎ ‎(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值. 【导学号:97190249】‎ ‎[解] (1)∵c∥,=(-3,0,4)-(-1,1,2)‎ ‎=(-2,-1,2),‎ ‎∴c=m=m(-2,-1,2)=(-2m,-m,2m),‎ ‎∴|c|==3|m|=3,‎ ‎∴m=±1.‎ ‎∴c=(-2,-1,2)或(2,1,-2).‎ ‎(2)∵a=(1,1,0),b=(-1,0,2).‎ ‎∴a·b=(1,1,0)·(-1,0,2)=-1.‎ 又∵|a|==,‎ ‎|b|==,‎ ‎∴cos〈a,b〉===-,‎ 故向量a与向量b的夹角的余弦值为-.‎ ‎10.已知a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).‎ ‎(1)求|2a+b|;‎ ‎(2)在直线AB上,是否存在一点E,使得⊥b?(O为原点)‎ ‎[解] (1)2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5),故|2a+b|==5.‎ ‎(2)令=t(t∈R),‎ 所以=+=+t ‎=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)‎ ‎=(-3+t,-1-t,4-2t),‎ 若⊥b,则·b=0,‎ 所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=.因此存在点E,使得⊥b,此时E点的坐标为.‎ B组 能力提升 ‎(建议用时:15分钟)‎ ‎11.A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足·=0,·=0,·=0,M为BC中点,则△AMD是(  )‎ A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不确定 C [∵M为BC中点,∴=(+),‎ ‎∴·=(+)· ‎=·+·=0.‎ ‎∴AM⊥AD,△AMD为直角三角形.]‎ ‎12.已知V为矩形ABCD所在平面外一点,且VA=VB=VC=VD,=,=,=.则VA与平面PMN的位置关系是________. ‎ ‎【导学号:97190250】‎ 平行 [如图,设=a,=b,=c,则=a+c-b,由题意知=b-c,=-=a-b+c.‎ 因此=+,‎ ‎∴,,共面.‎ 又∵VA⊄平面PMN,∴VA∥平面PMN.]‎ ‎13.如图769,在直三棱柱ABCA′B′C′中,AC=BC=AA′,∠ACB=90°,D,E分别为AB,BB′的中点.‎ 图769‎ ‎(1)求证:CE⊥A′D;‎ ‎(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值.‎ ‎[解] (1)证明:设=a,=b,=c,‎ 根据题意得,|a|=|b|=|c|,‎ 且a·b=b·c=c·a=0,‎ ‎∴=b+c,=-c+b-a.‎ ‎∴·=-c2+b2=0.‎ ‎∴⊥,即CE⊥A′D.‎ ‎(2)∵=-a+c,||=|a|,||=|a|.‎ ·=(-a+c)·=c2=|a|2,‎ ‎∴cos〈,〉==.‎ 即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.‎
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