数学卷·2018届福建省宁德市部分一级达标中学高二下学期期中数学试卷（文科）（解析版）

数学卷·2018届福建省宁德市部分一级达标中学高二下学期期中数学试卷（文科）（解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年福建省宁德市部分一级达标中学高二（下）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．复数z=（1﹣i）（4﹣i）的共轭复数的虚部为（　　）‎ A．﹣5i B．5i C．﹣5 D．5‎ ‎2．下边是高中数学常用逻辑用语的知识结构图，则（1）、（2）处依次为（　　）‎ A．命题及其关系、或 B．命题的否定、或 C．命题及其关系、并 D．命题的否定、并 ‎3．下面四个推理中，属于演绎推理的是（　　）‎ A．观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72015的末两位数字为43‎ B．观察（x2）′=2x，（x4）′=4x3，（cosx）′=﹣sinx，可得偶函数的导函数为奇函数 C．在平面上，若两个正三角形的边长比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似的，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积之比为1：8‎ D．已知碱金属都能与水发生还原反应，钠为碱金属，所以钠能与水发生反应 ‎4．函数f（x）=ex﹣4x的递减区间为（　　）‎ A．（0，ln4） B．（0，4） C．（﹣∞，ln4） D．（ln4，+∞）‎ ‎5．设命题p：∃x0∈（0，+∞），lnx0=﹣1．命题q：若m＞1，则椭圆+y2=1的焦距为2，那么，下列命题为真命题的是（　　）‎ A．￢q B．（￢p）∨（￢q） C．p∧q D．p∧（￢q）‎ ‎6．已知函数f′（x）的图象如图所示，其中f′（x）是f（x）的导函数，则f（x）的极值点的个数为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎7．若双曲线﹣=1的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x ‎8．若a，b，c∈R且c﹣a=2，则“2a+b＞1”是“a，b，c这3个数的平均数大于1”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎9．有下列一列数：，1，1，1，（　　），，，，，…，按照规律，括号中的数应为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．设数列{an}的前n项和为Sn，a4=7且4Sn=n（an+an+1），则a5等于（　　）‎ A．8 B．9 C．10 D．11‎ ‎11．已知函数f（x）=（2x﹣1）ex，a=f（1），b=f（﹣），c=f（﹣ln2），d=f（﹣），则（　　）‎ A．a＞b＞c＞d B．b＞a＞c＞d C．d＞a＞b＞c D．a＞d＞c＞b ‎12．已知F为双曲线C：﹣=1左焦点，过抛物线y2=20x的焦点的直线交双曲线C的右支于P，Q两点，若线段PQ的长等于双曲线C虚轴长的3倍，则△PQF的周长为（　　）‎ A．40 B．42 C．44 D．52‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．用线性回归模型求得甲、乙、丙3组不同的数据的线性相关系数分别为0.81，﹣0.98，0.63，其中　 　（填甲、乙、丙中的一个）组数据的线性相关性最强．‎ ‎14．复数在复平面内对应的点位于第　 　象限．‎ ‎15．P为抛物线x2=﹣4y上一点，A（2，0），则P到此抛物线的准线的距离与P到点A的距离之和的最小值为　 　．‎ ‎16．若函数f（x）=x3﹣3x+5﹣a（a∈R）在上有2个零点，则a的取值范围是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎17．在平面直角坐标系中，曲线C的方程为（x﹣2）2+y2=1，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求曲线C的极坐标方程；‎ ‎（2）若P为曲线M：ρ=﹣2cosθ上任意一点，Q为曲线C上任意一点，求|PQ|的最小值．‎ ‎18．某学校课题组为了研究学生的数学成绩与学生细心程度的关系，在本校随机调查了100名学生进行研究．研究结果表明：在数学成绩及格的60名学生中有45人比较细心，另15人比较粗心；在数学成绩不及格的40名学生中有10人比较细心，另30人比较粗心．‎ ‎（1）试根据上述数据完成2×2列联表；‎ 数学成绩及格 数学成绩不及格 合计 比较细心 ‎　 　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ 比较粗心 ‎　 　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ 合计 ‎　 　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ ‎（2）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为学生的数学成绩与细心程度有关系．‎ 参考数据：独立检验随机变量K2的临界值参考表：‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（其中n=a+b+c+d）‎ ‎19．（1）证明：若实数a，b，c成等比数列，n为正整数，则an，bn，cn也成等比数列；‎ ‎（2）设z1，z2均为复数，若z1=1+i，z2=2﹣i，则；若z1=3﹣4i，z2=4+3i，则|z1•z2|=5×5=25；若 ‎，，则|z1•z2|=1×1=1．通过这三个小结论，请归纳出一个结论，并加以证明．‎ ‎20．已知函数f（x）=x3+x，g（x）=f（x）﹣ax（a∈R）．‎ ‎（1）当a=4时，求函数g（x）的极大值；‎ ‎（2）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l的方程；‎ ‎（3）若函数g（x）在上无极值，且g（x）在上的最大值为3，求a的值．‎ ‎21．设椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且直线x=1与椭圆相交所得弦长为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若在y轴上的截距为4的直线l与椭圆分别交于A，B两点，O为坐标原点，且直线OA，OB的斜率之和等于2，求直线AB的斜率．‎ ‎22．已知函数φ（x）=lnx﹣ax（a∈R）．‎ ‎（1）讨论φ（x）的单调性；‎ ‎（2）设f（x）=φ（x）﹣x3，当x＞0时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年福建省宁德市部分一级达标中学高二（下）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．复数z=（1﹣i）（4﹣i）的共轭复数的虚部为（　　）‎ A．﹣5i B．5i C．﹣5 D．5‎ ‎【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求得的答案．‎ ‎【解答】解：∵z=（1﹣i）（4﹣i）=3﹣5i，‎ ‎∴，‎ 则复数z=（1﹣i）（4﹣i）的共轭复数的虚部为5．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．下边是高中数学常用逻辑用语的知识结构图，则（1）、（2）处依次为（　　）‎ A．命题及其关系、或 B．命题的否定、或 C．命题及其关系、并 D．命题的否定、并 ‎【考点】EJ：结构图．‎ ‎【分析】命题的否定在全称量词与存在量词这一节中，简单的逻辑联结词包括或、且、非，可得结论．‎ ‎【解答】解：命题的否定在全称量词与存在量词这一节中，简单的逻辑联结词包括或、且、非，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎3．下面四个推理中，属于演绎推理的是（　　）‎ A．观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72015的末两位数字为43‎ B．观察（x2）′=2x，（x4）′=4x3，（cosx）′=﹣sinx，可得偶函数的导函数为奇函数 C．在平面上，若两个正三角形的边长比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似的，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积之比为1：8‎ D．已知碱金属都能与水发生还原反应，钠为碱金属，所以钠能与水发生反应 ‎【考点】F7：进行简单的演绎推理．‎ ‎【分析】分别判断各选项，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：选项A、B都是归纳推理，选项C为类比推理，选项D为演绎推理．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎4．函数f（x）=ex﹣4x的递减区间为（　　）‎ A．（0，ln4） B．（0，4） C．（﹣∞，ln4） D．（ln4，+∞）‎ ‎【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．‎ ‎【解答】解：f′（x）=ex﹣4，‎ 令f′（x）＜0，解得：x＜ln4，‎ 故函数在（﹣∞，ln4）递减；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．设命题p：∃x0∈（0，+∞），lnx0=﹣1．命题q：若m＞1，则椭圆+y2=1的焦距为2，那么，下列命题为真命题的是（　　）‎ A．￢q B．（￢p）∨（￢q） C．p∧q D．p∧（￢q）‎ ‎【考点】2E：复合命题的真假．‎ ‎【分析】命题p：取x0=，则lnx0=﹣1．即可判断出真假．命题q：利用椭圆的标准方程及其性质即可判断出真假．再利用复合命题真假的判定方法即可判断出真假．‎ ‎【解答】解：命题p：取x0=，则lnx0=﹣1．因此p是真命题．‎ 命题q：若m＞1，则椭圆+y2=1的焦距为2，是真命题．‎ 那么，下列命题为真命题的是p∧q．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．已知函数f′（x）的图象如图所示，其中f′（x）是f（x）的导函数，则f（x）的极值点的个数为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【考点】3O：函数的图象．‎ ‎【分析】根据极值点的定义和f′（x）的图象得出结论．‎ ‎【解答】解：若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）=0，且f′（x）在x0两侧异号，‎ 由f′（x）的图象可知f′（x）=0共有4解，‎ 其中只有两个零点的左右两侧导数值异号，‎ 故f（x）有2个极值点．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎7．若双曲线﹣=1的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x ‎【考点】KC：双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】利用双曲线的离心率列出方程，求出m，然后求解双曲线的渐近线方程即可．‎ ‎【解答】解：双曲线﹣=1的离心率为，e==，可得，解得m=，∴ =，‎ 则此双曲线的渐近线方程为：y=±x．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．若a，b，c∈R且c﹣a=2，则“2a+b＞1”是“a，b，c这3个数的平均数大于1”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】利用平均数的定义、不等式的性质、简易逻辑的判定方法即可得出结论．‎ ‎【解答】解：若a，b，c这3个数的平均数大于1，则，‎ a+b+a+2＞3，‎ ‎∴2a+b＞1，反之，亦成立，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．有下列一列数：，1，1，1，（　　），，，，，…，按照规律，括号中的数应为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】82：数列的函数特性．‎ ‎【分析】由题意可得：分子为连续的奇数，分母为连续的质数，即可得出．‎ ‎【解答】解：，，，，（　　），，，，，…，由题意可得：分子为连续的奇数，分母为连续的质数，故括号中的数应该为，‎ 故选：B ‎　‎ ‎10．设数列{an}的前n项和为Sn，a4=7且4Sn=n（an+an+1），则a5等于（　　）‎ A．8 B．9 C．10 D．11‎ ‎【考点】8H：数列递推式．‎ ‎【分析】利用已知条件逐步求解即可．‎ ‎【解答】解：4Sn=n（an+an+1），可得4S2=2（a2+a3），4S1=a1+a2，a2=3a1，a3=5a1，从而36a1=3（5a1+7），a1=1，‎ a2=3，a3=5，a4=7，4S4=4（a4+a5），解得a5=9．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．已知函数f（x）=（2x﹣1）ex，a=f（1），b=f（﹣），c=f（﹣ln2），d=f（﹣），则（　　）‎ A．a＞b＞c＞d B．b＞a＞c＞d C．d＞a＞b＞c D．a＞d＞c＞b ‎【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】求出函数的导数，利用导函数的符号判断函数的单调性，然后判断函数值的大小．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=（2x﹣1）ex，可得f′（x）=（2x+1）ex，‎ 当x＜﹣时，f′（x）＜0，函数是减函数，‎ ‎∵ln＜ln2＜lne，∴ ，‎ ‎∴，‎ ‎∴f（﹣）＞f（﹣ln2）＞f（﹣），‎ ‎∵f（1）＞0，f（）＜0，‎ ‎∴a＞b＞c＞d．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．已知F为双曲线C：﹣=1左焦点，过抛物线y2=20x的焦点的直线交双曲线C的右支于P，Q两点，若线段PQ的长等于双曲线C虚轴长的3倍，则△PQF的周长为（　　）‎ A．40 B．42 C．44 D．52‎ ‎【考点】KC：双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据题意画出双曲线图象，然后根据双曲线的定义“到两定点的距离之差为定值2a“解决，求出周长即可．‎ ‎【解答】解：根据题意，双曲线C：﹣=1的左焦点F（﹣5，0），所以点A（5，0）是双曲线的右焦点，‎ 虚轴长为：8；a=4，‎ 双曲线图象如图：|PQ|=|QA|+PA|=6b=18，‎ ‎|PF|﹣|AP|=2a=8 ①‎ ‎|QF|﹣|QA|=2a=8 ②‎ 得：|PF|+|QF|=16+|PA|+|QA|=34，‎ ‎∴周长为：|PF|+|QF|+|PQ|=52，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．用线性回归模型求得甲、乙、丙3组不同的数据的线性相关系数分别为0.81，﹣0.98，0.63，其中　乙　（填甲、乙、丙中的一个）组数据的线性相关性最强．‎ ‎【考点】BH：两个变量的线性相关．‎ ‎【分析】根据两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2越接近于1，这个模型的拟合效果越好，由此得出答案．‎ ‎【解答】解：两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2越接近于1，‎ 这个模型的拟合效果就越好，‎ 在甲、乙、丙中，所给的数值中0.98是相关指数最大的值，‎ 即乙的拟合效果最好．‎ 故答案为：乙．‎ ‎　‎ ‎14．复数在复平面内对应的点位于第　四　象限．‎ ‎【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．‎ ‎【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．‎ ‎【解答】解： ===1﹣i在复平面内对应的点（1，﹣1）位于第四象限．‎ 故答案为：四．‎ ‎　‎ ‎15．P为抛物线x2=﹣4y上一点，A（2，0），则P到此抛物线的准线的距离与P到点A的距离之和的最小值为　3　．‎ ‎【考点】K8：抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】利用抛物线的定义结合不等式求解即可．‎ ‎【解答】解：因为P为抛物线x2=﹣4y上一点，A（2，0）在抛物线的外侧，由抛物线的定义可得：P到准线的距离d等于到焦点的距离，则P到此抛物线的准线的距离与P到点A的距离之和为：d+|PA|=|PF|+|PA|≥|AF|=3，‎ 所求的最小值为3．‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎16．若函数f（x）=x3﹣3x+5﹣a（a∈R）在上有2个零点，则a的取值范围是　　．‎ ‎【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值以及端点值，根据函数的零点求出a的范围即可．‎ ‎【解答】解：若函数f（x）=x3﹣3x+5﹣a，‎ 则f′（x）=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1），‎ 令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，‎ 令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1，‎ 故f（x）在（﹣3，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，在（1，）递增，‎ 故f（x）极大值=f（﹣1）=7﹣a，f（x）极小值=f（1）=3﹣a，‎ 而f（﹣3）=﹣13﹣a，f（）=﹣a，‎ 故或，‎ 解得：a∈，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎17．在平面直角坐标系中，曲线C的方程为（x﹣2）2+y2=1，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求曲线C的极坐标方程；‎ ‎（2）若P为曲线M：ρ=﹣2cosθ上任意一点，Q为曲线C上任意一点，求|PQ|的最小值．‎ ‎【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】（1）曲线C的方程为（x﹣2）2+y2=1，展开化为：x2+y2﹣4x+3=0．圆心C（2，0），半径R=1．把互化公式代入可得极坐标方程．‎ ‎（2）曲线M：ρ=﹣2cosθ，即ρ2=﹣2ρcosθ，化为直角坐标：（x+1）2+y2=1，可得圆心M（﹣1，0），半径r=1．可得|PQ|的最小值=|MC|﹣r﹣R．‎ ‎【解答】解：（1）曲线C的方程为（x﹣2）2+y2=1，展开化为：x2+y2﹣4x+3=0．圆心C（2，0），半径R=1．‎ 把互化公式代入可得极坐标方程：ρ2﹣4ρcosθ+3=0．‎ ‎（2）曲线M：ρ=﹣2cosθ，即ρ2=﹣2ρcosθ，化为直角坐标：x2+y2=﹣2x，可得（x+1）2+y2=1，可得圆心M（﹣1，0），半径r=1．‎ ‎|MC|==3．‎ ‎∴|PQ|的最小值=|MC|﹣r﹣R=1．‎ ‎　‎ ‎18．某学校课题组为了研究学生的数学成绩与学生细心程度的关系，在本校随机调查了100名学生进行研究．研究结果表明：在数学成绩及格的60名学生中有45人比较细心，另15人比较粗心；在数学成绩不及格的40名学生中有10人比较细心，另30人比较粗心．‎ ‎（1）试根据上述数据完成2×2列联表；‎ 数学成绩及格 数学成绩不及格 合计 比较细心 ‎　45　‎ ‎　10　‎ ‎　55　‎ 比较粗心 ‎　15　‎ ‎　30　‎ ‎　45　‎ 合计 ‎　60　‎ ‎　40　‎ ‎　100　‎ ‎（2）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为学生的数学成绩与细心程度有关系．‎ 参考数据：独立检验随机变量K2的临界值参考表：‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（其中n=a+b+c+d）‎ ‎【考点】BO：独立性检验的应用．‎ ‎【分析】（1）根据题意填写2×2列联表即可；‎ ‎（2）根据2×2列联表求得K2的观测值，‎ 对照临界值表即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）填写2×2列联表如下；‎ 数学成绩及格 数学成绩不及格 合计 比较细心 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 比较粗心 ‎15‎ ‎30‎ ‎45‎ 合计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ ‎（2）根据2×2列联表可以求得K2的观测值 ‎=；‎ 所以能在范错误的概率不超过0.001的前提下认为学生的数学成绩与细心程度有关系．‎ ‎　‎ ‎19．（1）证明：若实数a，b，c成等比数列，n为正整数，则an，bn，cn也成等比数列；‎ ‎（2）设z1，z2均为复数，若z1=1+i，z2=2﹣i，则；若z1=3﹣4i，z2=4+3i，则|z1•z2|=5×5=25；若，，则|z1•z2|=1×‎ ‎1=1．通过这三个小结论，请归纳出一个结论，并加以证明．‎ ‎【考点】F1：归纳推理；8D：等比关系的确定．‎ ‎【分析】（1）利用等比数列的定义证明即可；‎ ‎（2）利用复数的运算法则，即可得出．‎ ‎【解答】（1）证明：∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，‎ ‎∴an•cn=（ac）n=（b2）n=（bn）2，∴an，bn，cn也成等比数列．…‎ ‎（2）解：归纳得到的结论为|z1•z2|=|z1|•|z2|．…‎ 下面给出证明：设z1=a+bi，z2=c+di，则z1•z2=ac﹣bd+（ad+bc）i，‎ ‎∴，‎ 又，∴|z1•z2|=|z1|•|z2|．…‎ ‎　‎ ‎20．已知函数f（x）=x3+x，g（x）=f（x）﹣ax（a∈R）．‎ ‎（1）当a=4时，求函数g（x）的极大值；‎ ‎（2）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l的方程；‎ ‎（3）若函数g（x）在上无极值，且g（x）在上的最大值为3，求a的值．‎ ‎【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）求出g（x），求出导函数，根据导函数得出函数的极值即可；‎ ‎（2）求出导函数，根据导函数和切线方程的关系求解即可；‎ ‎（3）求出g'（x）=3x2+1﹣a，函数g（x）在上无极值，得出1﹣a≥0或4﹣a≤0，分类讨论即可．‎ ‎【解答】解：（1）g（x）=x3﹣3x，‎ ‎∴g'（x）=3x2﹣3，‎ 当﹣1＜x＜1时，g'（x）＜0，当x＜﹣1或s＞1时，g'（x）＞0，‎ ‎∴g（x）的极大值为g（﹣1）=2；‎ ‎（2）f'（x）=3x2+1，f'（1）=4，f（1）=2，‎ ‎∴切线l的方程为y﹣2=4（x﹣1），即y=4x﹣2；‎ ‎（3）g'（x）=3x2+1﹣a，‎ 当1﹣a≥0时，g'（x）≥0，g（x）递增；‎ ‎∴最大值为g（1）=2﹣a=3，a=﹣1；‎ 当4﹣a≤0时，g'（x）≤0，g（x）递减；‎ ‎∴最大值为g（0）=0≠3，‎ 综上a=﹣1．‎ ‎　‎ ‎21．设椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且直线x=1与椭圆相交所得弦长为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若在y轴上的截距为4的直线l与椭圆分别交于A，B两点，O为坐标原点，且直线OA，OB的斜率之和等于2，求直线AB的斜率．‎ ‎【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；K3：椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）利用椭圆的离心率求得a2=4b2，由题意过点（1，），代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；‎ ‎（2）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，由kOA+kOB=0，即可求得k的值．‎ ‎【解答】解：（1）题意可知：椭圆经过点（1，），椭圆的离心率e==，则a2=4b2，‎ 将（1，），代入椭圆方程：，解得：b2=1，a2=4，‎ ‎∴椭圆的标准方程：；‎ ‎（2）设直线lAB：y=kx+4，A（x1，y1），B（x2，y2），‎ ‎，整理得：（1+4k2）x2+32kx+60=0，‎ 由△=（32k）2﹣240（1+4k2）＞0，解得k＞或k＜﹣，‎ 由韦达定理可知x1+x2=﹣，x1•x2=，‎ kOA+kOB=+==2k+4×=2k+4×（﹣），‎ ‎∵直线OA，OB的斜率之和等于2，即2k+4×（﹣）=2，解得k=﹣15，‎ ‎∴直线AB的斜率﹣15．‎ ‎　‎ ‎22．已知函数φ（x）=lnx﹣ax（a∈R）．‎ ‎（1）讨论φ（x）的单调性；‎ ‎（2）设f（x）=φ（x）﹣x3，当x＞0时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．‎ ‎【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；‎ ‎（2）问题转化为a＞﹣x2对x∈（0，+∞）恒成立，设g（x）=﹣x2（x＞0），求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可．‎ ‎【解答】解：（1）φ′（x）=，（x＞0），‎ a≤0时，φ′（x）＞0恒成立，‎ 则φ（x）在（0，+∞）递增，‎ a＞0时，令φ′（x）＞0，解得：0＜x＜，‎ 则φ（x）在（0，）递增，‎ 令φ′（x）＜0，解得：x＞，‎ 则φ（x）在（，+∞）递减；‎ ‎（2）x＞0时，f（x）＜0恒成立，则lnx﹣ax﹣x3＜0，‎ 即a＞﹣x2对x∈（0，+∞）恒成立，‎ 设g（x）=﹣x2（x＞0），‎ g′（x）=，‎ 设h（x）=1﹣lnx﹣x3（x＞0），‎ h′（x）=﹣﹣3x2＜0，‎ 故h（x）在（0，+∞）递减，‎ 又h（1）=0，则0＜x＜1时，h（x）＞0，g′（x）＞0，‎ x＞1时，h（x）＜0，g′（x）＜0，‎ 故g（x）max=g（1）=﹣，‎ 故a＞﹣．‎