数学文卷·2018届安徽省蚌埠市高三上学期第一次教学质量检查考试（2018

数学文卷·2018届安徽省蚌埠市高三上学期第一次教学质量检查考试（2018

蚌埠市 2018 届高三年级第一次教学质量检查考试 数学（文史类） 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合 ， ，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 2．若复数 满足 ，则 （ ） A．1 B．2 C． D． 3．离心率为 的双曲线的方程是 （ ） A． B． C． D． 4．若 满足约束条件 则 的最小值为（ ） A．-3 B．0 C．-4 D．1 5．函数 的大致图象为（ ） A． B． C． D． 6．“直线 不相交”是“直线 为异面直线”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知 是抛物线 的焦点， 是 上一点， 是坐标原点， 的延长线 { }1,2,3A = { }2 2 0B x x x m= − + = {1}=BA  B = { }1 { }1, 2− { }1,3 { }3,1− z ( )1 2 5i z i− = z = 3 5 13 2 2 2 19 4 x y− = 2 2 117 4 x y− = 2 2 14 9 y x− = 2 2 117 4 y x− = ,x y 0, 2 0, 0, x y x y y − ≥  + − ≤  ≥ 2 5z x y= − ( )f x ,a b ,a b F 2: 16C y x= M C O FM 交 轴于点 .若 ，则 点的纵坐标为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数 ，其中 表示不小于 的最小整数，则关于 的性质 表述正确的是（ ） A．定义域为 B．在定义域内为增函数 C．周期函数 D．在定义域内为减函数 9．已知 ，下列程序框图设计的是求 的值， 在“”中应填的执行语句是（ ） A． B． C． D． 10．如图，格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积可能 为（ ） A． B． C． D． 11．已知 ，设直线 是曲线 的一条切线，则（ ） A． 且 B． 且 C． 且 D． 且 12．已知 ，顺次连接函数 与 的任意三个相邻的交点都构成一 y N 2FN OM= M 4 2 8 2− 4 2± 8 2± ( ) { }( )lgf x x x= − { }x x ( )f x ( ) ( ),0 0,−∞ +∞ ( ) 2017 20162018 2017 2 1f x x x x= + + + + ( )0f x 2018n i= − 2017n i= − 2018n i= + 2017n i= + 4 3 π + 2π + 42 3 π + 2 2π + ,k b∈R :l y kx b= + xy e x= + 1k < 1b ≤ 1k < 1b ≥ 1k > 1b ≤ 1k > 1b ≥ 0ω > siny xω= cosy xω= 个等边三角形，则 （ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13．已知 ， 是两个不同的平面向量，满足： ，则 ． 14．已知函数 图象关于原点对称.则实数 的值为 ． 15．将 2 本相同的语文书和 2 本相同数学书随机排成一排，则相同科目的书不相邻的概率 为 ． 16．在 中，角 的对边分别为 ，且满足条件 ， ，则 的周长为 ． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤．） 17． 已知数列 满足 ，且 . （1）求证：数列 是等差数列； （2）若 ，求数列 的前 项和 . 18． 如图，在多面体 中， 是等边三角形， 是等腰直角三角形， ，平面 平面 ， 平面 ，点 为 的中点. （1）求证： 平面 ； （2）若 ，求三棱锥 的体积. ω = π 6 2 π 4 3 π 3π ( )2,1a = ( )2,b x= ( ) ( )2a b a b+ ⊥ −    x = ( ) ( )2lg 1 4f x x ax= + + a ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2 2 2 1b c a bc+ − = = 4cos cos 1 0B C⋅ − = ABC∆ { }na 1 1 2a = 1 2 2 n n n aa a+ = + 1 na       1n n nb a a += ⋅ { }nb n nS ABCDM BCD∆ CMD∆ 90CMD∠ = ° CMD ⊥ BCD AB ⊥ BCD O CD OM ∥ ABD 2AB BC= = M ABD− 19． 某图书公司有一款图书的历史收益率（收益率=利润÷每本收入）的频率分布直方图如 图所示： （1）试估计平均收益率；（用区间中点值代替每一组的数值） （2）根据经验，若每本图书的收入在 20 元的基础上每增加 元，对应的销量 （万份）与 （元）有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如下 5 组 与 的对应数据： 据此计算出的回归方程为 ①求参数 的估计值； ②若把回归方程 当作 与 的线性关系， 取何值时，此产品获得最大收益， 并求出该最大收益. 20． 已知椭圆 经过点 ，离心率 . （1）求 的方程； （2）设直线 经过点 且与 相交于 两点（异于点 ），记直线 的斜率为 ， 直线 的斜率为 ，证明： 为定值. 21． 已知函数 （1）若 ，求函数 的极值； （2）当 时，若 在区间 上的最小值为-2，求 的取值范围. x y x x y ˆ 10.0y bx= − b ˆ 10.0y bx= − y x x ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > ( )0,1P 3 2e = C l ( )2, 1Q − C ,A B P PA 1k PB 2k 1 2k k+ ( ) ( )2 2 lnf x ax a x x= − + + 1a = ( )f x 0a > ( )f x [ ]1,e a 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 的极坐标方程为 ， 的参数方程为 （ 为参 数）. （1）将曲线 与 的方程化为直角坐标系下的普通方程； （2）若 与 相交于 两点，求 . 23．选修 4-5：不等式选讲 已知 . （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若函数 与 的图象恒有公共点，求实数 的取值范围. 1C 2sin 4cosρ θ θ= 2C 23 2 23 2 x t y t  = −  = + t 1C 2C 1C 2C ,A B AB ( ) ( )1 1f x a x x= − + + − 2a = ( ) 0f x ≥ ( ) 2 2 1g x x x a= − − + ( )y f x= a 蚌埠市 2018 届高三年级第一次教学质量检查考试 数学（文史类）参考答案及评分标准 一、选择题 1-5:ADCAD 6-10:BCCAA 11、12：CB 二、填空题 13． 14． 15． 16．3 三、解答题 17．解：（1）∵ ，∴ ，∴ ， ∴数列 是等差数列. （2）由（1）知 ，所以 ， ∴ ， 18．解：（1）∵ 是等腰直角三角形， ，点 为 的中点，∴ ． ∵平面 平面 ， 平面 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ． ∵ 平面 ，∴ ． ∵ 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ． 1 2 − 2± 1 3 1 2 2 n n n aa a+ = + 1 21 2 n n n a a a+ += 1 1 1 1 2n na a+ − = 1 na       ( ) 1 1 1 1 31 2 2n nna a += + − × = 2 3na n = + ( )( ) 4 1 143 4 3 4nb n n n n  = = × − + + + +  1 1 1 1 1 14 4 5 5 6 3 4nS n n       = × − + − + + −      + +       1 14 4 4 4 n n n  = × − = + +  CMD∆ 90CMD∠ = ° O CD OM CD⊥ CMD ⊥ BCD CMD  BCD CD= OM ⊂ CMD OM ⊥ BCD AB ⊥ BCD OM AB∥ AB ⊂ ABD OM ⊄ ABD OM ∥ ABD （2）由（１）知 平面 ， ∴点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离． ∵ ， 是等边三角形，点 为 的中点 ∴ ∴ 19．解：（1）区间中值依次为：0.05，0.15，0.25，0.35，0.45，0.55 取值的估计概率依次为：0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05 平均收益率为 （2）① ， 将 代入 ，得 ②设每本图书的收入是 元，则销量为 则图书总收入为 （万元） ， 当 时，图书公司总收入最大为 360 万元，预计获利为 万元. 20．解：（1）因为椭圆 ，经过点 ，所以 ． 又 ，所以 ，解得 ． 故而可得椭圆的标准方程为： ． （2）若直线 的斜率不存在，则直线 的方程为 ， 此时直线与椭圆相切，不符合题意． OM ∥ ABD M ABD O ABD 2AB BC= = BCD O CD 1 1 3 2 2 4BOD BCDS S∆ ∆= = ⋅ ⋅ 2 3 348 2BC = ⋅ = M ABD O ABD A OBDV V V− − −= = 1 1 3 323 3 2 3BODS AB∆= ⋅ = ⋅ ⋅ = 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.25 0.35 0.30× + × + × + × 0.45 0.10 0.55 0.05 0.275+ × + × = 25 30 38 45 52 190 385 5x + + + += = = 7.5 7.1 6.0 5.6 4.8 31 6.25 5y + + + += = = ( )38,6.2 10y bx= − 10.0 6.2 0.1038b −= = 20 x+ 10 0.1y x= − ( ) ( )( )20 10 0.1f x x x= + − ( ) ( )22200 8 0.1 360 0.1 40f x x x x= + − = − − 40x = 360 0.275 99× = ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > ( )0,1P 1b = 3 2e = 3 2 c a = 2a = 2 2 14 x y+ = AB l 2x = 设直线 的方程为 ，即 ， 联立 ，得 ． 设 ， ，则 所以 为定值，且定值为-1． 21．解：（1） ， ，定义域为 ， 又 . 当 或 时 ；当 时 ∴函数 的极大值为 函数 的极小值为 . （2）函数 的定义域为 ， 且 ， 令 ，得 或 ， 当 ，即 时， 在 上单调递增， ∴ 在 上的最小值是 ，符号题意； 当 时， 在 上的最小值是 ，不合题意； AB ( )1 2y k x+ = − 2 1y kx k= − − 2 2 2 1 14 y kx k x y = − − + = ( ) ( )2 2 21 4 8 2 1 16 16 0k x k k x k k+ − + + + = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2 1 2 1 2 1 1y yk k x x − −+ = + = ( ) ( )2 1 1 2 1 2 2 2 2 2x kx k x kx k x x − − + − − ( )( )1 2 1 2 1 2 2 2 2kx x k x x x x − + += = ( )( )1 2 1 2 2 22 k x xk x x + +− ( ) ( ) ( ) 2 2 8 2 12 16 1 k k kk k k + ⋅ += − =+ ( )2 2 1 1k k− + = − 1 2k k+ 1a = ( ) 2 3 lnf x x x x= − + ( )0,+∞ ( ) 12 3f x x x ′ = − + = ( )( )2 2 1 12 3 1 x xx x x x − −− + = 1x > 10 2x< < ( ) 0f x′ > 1 12 x< < ( ) 0f x′ < ( )f x 1 5 ln 22 4f   = − −   ( )f x ( )1 2f = − ( ) ( )2 2 lnf x ax a x x= − + + ( )0,+∞ ( ) ( ) 12 2f x ax a x ′ = − + + = ( ) ( )( )22 2 1 2 1 1ax a x x ax x x − + + − −= ( ) 0f x′ = 1 2x = 1x a = 10 1a < ≤ 1a ≥ ( )f x [ ]1,e ( )f x [ ]1,e ( )1 2f = − 11 ea < < ( )f x [ ]1,e ( )1 1 2f fa   < = −   当 时， 在 上单调递减， ∴ 在 上的最小值是 ，不合题意 故 的取值范围为 . 22．解：（1）曲线 的普通方程为 ， 曲线 的普通方程为 （2）将 的参数方程代入 的方程 ， 得 ，得： 解得 ， ∴ ． 23．解：（1）当 时， ， 由 得， ； （2） ， 该二次函数在 处取得最小值 ， 因为函数 ，在 处取得最大值 故要使函数 与 的图象恒有公共点， 只需要 ，即 ． 1 ea ≥ ( )f x [ ]1,e ( )f x [ ]1,e ( ) ( )1 2f e f< = − a [ )1,+∞ 1C 2 4y x= 2C 6 0x y+ − = 2C 1C 2 4y x= 2 2 23 4 32 2t t    + = −          2 10 2 6 0t t+ − = 1 2 10 2t t+ = − 1 2 6t t⋅ = − ( )2 1 2 1 2 1 24 4 14AB t t t t t t= − = + − = 2a = ( ) 2 2 , 1 0, 1 1 2 2 , 1 x x f x x x x + < − = − ≤ ≤  − > ( ) 0f x ≥ 1 1x− ≤ ≤ ( ) ( )22 2 1 1g x x x a x a= − − + = − − 1x = a− ( ) 2 , 1, 2, 1 1, 2 , 1, a x x f x a x a x x + < − = − − ≤ ≤  − > 1x = 2a − ( )t g x= ( )y f x= 2a a− ≥ − 1a ≥