2018届高三数学一轮复习： 第2章 第5节 指数函数

2018届高三数学一轮复习： 第2章 第5节 指数函数

第五节　指数函数 ‎[考纲传真]　1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，，的指数函数的图象.3.体会指数函数是一类重要的函数模型．‎ ‎1．根式的性质 ‎(1)()n＝a.‎ ‎(2)当n为奇数时，＝a.‎ ‎(3)当n为偶数时，＝|a|＝ ‎(4)负数的偶次方根无意义．‎ ‎(5)零的任何次方根都等于零．‎ ‎2．有理指数幂 ‎(1)分数指数幂 ‎①正分数指数幂：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；‎ ‎②负分数指数幂：a－＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；‎ ‎③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．‎ ‎(2)有理数指数幂的运算性质 ‎①ar·as＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；‎ ‎②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；‎ ‎③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．‎ ‎3．指数函数的图象与性质 ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)＝－4.(　　)‎ ‎(2)(－1)＝(－1)＝.(　　)‎ ‎(3)函数y＝2x－1是指数函数．(　　)‎ ‎(4)函数y＝ax2＋1(a＞1)的值域是(0，＋∞)．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2．化简[(－2)6]－(－1)0的结果为(　　)‎ A．－9　　　　　　　　 B.7‎ C．－10 D.9‎ B　[原式＝(26)－1＝8－1＝7.]　‎ ‎3．函数y＝ax－a(a＞0，且a≠1)的图象可能是(　　)‎ ‎ ‎ ‎【导学号：01772044】‎ A　　 　　　　　B　　　　　　C　　　　　　　　D C　[法一：令y＝ax－a＝0，得x＝1，即函数图象必过定点(1,0)，符合条件的只有选项C.‎ 法二：当a＞1时，y＝ax－a是由y＝ax向下平移a个单位，且过(1,0)，A，B，D都不合适；‎ 当0＜a＜1时，y＝ax－a是由y＝ax向下平移a个单位，因为0＜a＜1，故排除选项D.]‎ ‎4．(教材改编)已知‎0.2m＜0.2n，则m________n(填“＞”或“＜”)．‎ ‎＞　[设f(x)＝0.2x，f(x)为减函数，‎ 由已知f(m)＜f(n)，∴m＞n.]‎ ‎5．指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是________．‎ ‎ (1,2)　[由题意知0＜2－a＜1，解得1＜a＜2.]‎ 指数幂的运算 ‎　化简求值：‎ ‎ ‎ ‎ [规律方法]　1.指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：‎ ‎(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；‎ ‎(2)运算的先后顺序．‎ ‎2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．‎ ‎3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．‎ ‎[变式训练1]　化简求值：‎ ‎ ‎ ‎[解]　(1)原式＝－72＋－1‎ ‎＝－49＋－1＝－45. 6分 指数函数的图象及应用 ‎　(1)(2017·郑州模拟)定义运算ab＝则函数f(x)＝12x的图象是(　　)‎ ‎(2)若曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，求b的取值范围．‎ ‎(1)A　[因为当x≤0时，2x≤1；‎ 当x＞0时，2x＞1.‎ 则f(x)＝12x＝故选A.]‎ ‎(2)曲线y＝|2x－1|与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，8分 则b的取值范围是(0,1).12分 ‎[规律方法]　指数函数图象的画法(判断)及应用 ‎(1)画(判断)指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.‎ ‎(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．‎ ‎(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解. ‎ 图251‎ ‎[变式训练2]　(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图251，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)‎ ‎【导学号：01772045】‎ A．a＞1，b＜0‎ B．a＞1，b＞0‎ C．0＜a＜1，b＞0‎ D．0＜a＜1，b＜0‎ ‎(2)方程 2x＝2－x的解的个数是________．‎ ‎(1)D　(2)1　[(1)由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1，函数f(x)＝ax－b的图象是在y＝ax的基础上向左平移得到的，所以b＜0.‎ ‎(2)方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图)．‎ 由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．]‎ 指数函数的性质及应用 ‎☞角度1　比较指数式的大小 ‎ ‎ ‎(2)(2016·浙江高考)已知函数f(x)满足：f(x)≥|x|且f(x)≥2x，x∈R.(　　)‎ A．若f(a)≤|b|，则a≤b B．若f(a)≤2b，则a≤b C．若f(a)≥|b|，则a≥b D．若f(a)≥2b，则a≥b ‎(1)A　(2)B　‎ ‎∵y＝x在第一象限内为增函数，又5＞4＞3，∴c＞a＞b.‎ ‎(2)∵f(x)≥|x|，∴f(a)≥|a|.若f(a)≤|b|，则|a|≤|b|，A项错误．若f(a)≥|b|且f(a)≥|a|，无法推出a≥b，故C项错误．∵f(x)≥2x，∴f(a)≥‎2a.若f(a)≤2b，则2b≥‎2a，故b≥a，B项正确．若f(a)≥2b且f(a)≥‎2a，无法推出a≥b，故D项错误．故选B.]‎ ‎☞角度2　解简单的指数方程或不等式 ‎　(2015·江苏高考)不等式2x2－x＜4的解集为______．‎ ‎{x|－1＜x＜2}　[∵2x2－x＜4，∴2x2－x＜22，‎ ‎∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，∴－1＜x＜2.]‎ ‎☞角度3　探究指数型函数的性质 ‎　已知函数f(x)＝a.‎ ‎(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)若f(x)有最大值3，求a的值；‎ ‎(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．‎ ‎[解]　(1)当a＝－1时，f(x)＝，‎ 令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，‎ 则g(x)在区间(－∞，－2)上单调递增，2分 在区间[－2，＋∞)上单调递减，又函数y＝x在R上是减函数，‎ 因此f(x)的单调递增区间是[－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2).4分 ‎(2)由f(x)有最大值3知，ax2－4x＋3有最小值－1，则有解得a＝1. 8分 ‎(3)由f(x)的值域是(0，＋∞)知，ax2－4x＋3的值域为R，则必有a＝0. 12分 ‎[规律方法]　1.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“‎1”‎等中间量比较大小．‎ ‎2．解简单的指数方程或不等式可先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解．‎ ‎3．探究指数型函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致．‎ 易错警示：在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论．‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1．根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．‎ ‎2．判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．指数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分0＜a＜1和a＞1两种情况分类讨论．‎ ‎2．对与复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域．‎ ‎3．对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．‎