【数学】2019届一轮复习人教A版 简单的三角恒等变换 学案

【数学】2019届一轮复习人教A版 简单的三角恒等变换 学案

第5讲　简单的三角恒等变换 板块一　知识梳理·自主学习 ‎[必备知识]‎ 考点1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 考点2　二倍角的正弦、余弦、正切公式 公式名 公式 二倍角的正弦 sin2α＝2sinαcosα 二倍角的余弦 cos2α＝cos2α－sin2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1‎ 二倍角的正切 tan2α＝ ‎[必会结论]‎ ‎1．降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.‎ ‎2．升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.‎ ‎3．公式变形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanα·tanβ)．‎ ‎4．辅助角公式：asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，‎ 其中sinφ＝，cosφ＝ .‎ ‎[考点自测]‎ ‎1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(　　)‎ ‎(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(　　)‎ ‎(3)在锐角△ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小不确定．(　　)‎ ‎(4)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．(　　)‎ ‎(5)存在角α，使得sin2α＝2sinα成立．(　　)‎ 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√‎ ‎2．[2018·江西九江模拟]计算sin－cos的值为(　　)‎ A．0 B．－ C．2 D. 答案　B 解析　sin－cos＝2＝2sin＝2sin＝－.故选B.‎ ‎3．[2017·山东高考]已知cosx＝，则cos2x＝(　　)‎ A．－ B. C．－ D. 答案　D 解析　cos2x＝2cos2x－1＝2×2－1＝.故选D.‎ ‎4．[2018·山西四校联考]已知sin＝，－＜α＜0，则cos的值是(　　)‎ A. B. C．－ D．1‎ 答案　C 解析　由已知得cosα＝，sinα＝－，cos＝cosα＋sinα＝－.‎ ‎5．[2017·江苏高考]若tan＝，则tanα＝________.‎ 答案　 解析　∵tan＝ ‎＝＝，‎ ‎∴6tanα－6＝1＋tanα(tanα≠－1)，∴tanα＝.‎ tanα＝tan ‎＝＝＝.‎ ‎6．[2017·全国卷Ⅱ]函数f(x)＝2cosx＋sinx的最大值为________．‎ 答案　 解析　f(x)＝2cosx＋sinx＝，‎ 设sinα＝，cosα＝，则f(x)＝sin(x＋α)，‎ ‎∴函数f(x)＝2cosx＋sinx的最大值为.‎ 板块二　典例探究·考向突破 考向　三角函数的化简求值 例　1　(1)[2018·衡水中学二调]－＝(　　)‎ A．4 B．2‎ C．－2 D．－4‎ 答案　D 解析　－＝－ ‎＝＝＝＝－4.‎ ‎(2)4cos50°－tan40°＝(　　)‎ A. B. C. D．2－1‎ 答案　C 解析　4cos50°－tan40°＝ ‎＝＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝.‎ 触类旁通 三角函数式化简的常用方法 ‎(1)异角化同角：善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，恰当选择三角公式，能求值的求出值，减少角的个数．‎ ‎(2)异名化同名：统一三角函数名称，利用诱导公式切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一．‎ ‎(3)异次化同次：统一三角函数的次数，一般利用降幂公式化高次为低次．‎ ‎【变式训练1】　(1)[2018·九江模拟]化简等于(　　)‎ A．－2 B．－ C．－1 D．1‎ 答案　C 解析　＝＝＝－1.‎ ‎(2)计算：tan20°＋4sin20°＝________.‎ 答案　 解析　原式＝＋4sin20°＝ ‎＝＝ ‎＝＝ ‎＝＝.‎ 考向　三角函数的条件求值 命题角度1　给值求值问题 例　2　(1)[2016·全国卷Ⅱ]若cos＝，则sin2α＝(　　)‎ A. B. C．－ D．－ 答案　D 解析　解法一：sin2α＝cos＝cos＝2cos2－1＝2×2－1＝－.故选D.‎ 解法二：cos＝(cosα＋sinα)＝⇒cosα＋sinα＝⇒1＋sin2α＝，∴sin2α＝－.故选D.‎ ‎(2)[2017·全国卷Ⅰ]已知α∈，tanα＝2，则cos＝________.‎ 答案　 解析　cos＝cosαcos＋sinαsin ‎＝(cosα＋sinα)．‎ 又由α∈，tanα＝2，知sinα＝，cosα＝，‎ ‎∴cos＝×＝.‎ 命题角度2　给值求角问题 例　3　(1)[2018·江苏徐州质检]已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β.‎ 解　∵0<β<α<，∴0<α－β<.‎ 又∵cos(α－β)＝，‎ ‎∴sin(α－β)＝＝.‎ ‎∵cosα＝，0<α<，∴sinα＝，‎ ‎∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝.‎ ‎∵0<β<，∴β＝.‎ ‎(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tanβ＝－，求2α－β的值．‎ 解　∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝>0，∴0<α<.‎ 又∵tan2α＝＝＝>0，‎ ‎∴0<2α<，‎ ‎∴tan(2α－β)＝＝＝1.‎ ‎∵tanβ＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，‎ ‎∴2α－β＝－.‎ 触类旁通 三角函数的条件求值技巧 ‎(1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．‎ ‎(2)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．‎ 考向　三角恒等变换的综合应用 例　4　[2017·浙江高考]已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sinxcosx(x∈R)．‎ ‎(1)求f的值；‎ ‎(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．‎ 解　(1)由sin＝，cos＝－，‎ 得f＝2－2－2××，‎ 所以f＝2.‎ ‎(2)由cos2x＝cos2x－sin2x与sin2x＝2sinxcosx得 f(x)＝－cos2x－sin2x＝－2sin，‎ 所以f(x)的最小正周期是π.‎ 由正弦函数的性质得＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，‎ 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，‎ 所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．‎ 触类旁通 三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用 ‎(1)图象变换问题 先根据两角和差公式、倍角公式把函数表达式变换为正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)＋t或余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)＋t的形式，再进行图象变换．‎ ‎(2)函数性质问题 求函数周期、最值、单调区间的方法步骤：‎ ‎①利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的形式；‎ ‎②利用公式T＝(ω>0)求周期；‎ ‎③根据自变量的范围确定ωx＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值；‎ ‎④根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的单调区间．‎ ‎【变式训练2】　已知函数f(x)＝cos2x＋cos2，x∈R.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)在上的最大值和最小值．‎ 解　(1)f(x)＝cos2x＋cos2 ‎＝＋ ‎＝sin2x＋cos2x＋1‎ ‎＝sin＋1，‎ 则函数f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)函数f(x)在上单调递增，在上单调递减．‎ ‎∵f＝，f＝＋1，f＝1＋，‎ ‎∴f(x)min＝，f(x)max＝＋1.‎ 核心规律 重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的拆分要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．‎ 满分策略 ‎1.运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．‎ ‎2.三角变换的应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为最简形式y＝Asin(ωx＋φ)再研究性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题.‎ 板块三　启智培优·破译高考 规范答题系列2——逆向思维构造辅助角公式解题 ‎[2017·北京高考]已知函数f(x)＝cos－2sinxcosx.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求证：当x∈时，f(x)≥－.‎ 解题视点　(1)根据三角恒等变换公式将函数解析式化简为“一角一函数”的形式，(2)证明f(x)≥－时注意x的取值范围．‎ 解　(1)f(x)＝cos2x＋sin2x－sin2x ‎＝sin2x＋cos2x ‎＝sin，‎ 所以f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)证明：因为－≤x≤，‎ 所以－≤2x＋≤.‎ 所以sin≥sin＝－，‎ 所以当x∈时，f(x)≥－.‎ ‎[答题模板]　第一步：将f(x)化为asinx＋bcosx的形式；‎ 第二步：构造f(x)＝ ；‎ 第三步：和差公式逆用f(x)＝sin(x＋φ)(其中φ为辅助角)；‎ 第四步：利用f(x)＝sin(x＋φ)研究三角函数的性质；‎ 第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和解题规范．‎ ‎①化简时公式的准确应用是灵魂；②研究三角函数性质时注意整体思想的应用．‎ 跟踪训练 已知函数f(x)＝2sinxsin.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；‎ ‎(2)当x∈时，求函数f(x)的值域．‎ 解　(1)f(x)＝2sinx＝×＋sin2x＝sin＋.所以函数f(x)的最小正周期为T＝π.由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，‎ 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，‎ 所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z.‎ ‎(2)当x∈时，2x－∈，sin∈，f(x)∈.‎ 故f(x)的值域为.‎ 板块四　模拟演练·提能增分 ‎[A级　基础达标]‎ ‎1．[2017·全国卷Ⅲ]已知sinα－cosα＝，则sin2α＝(　　)‎ A．－ B．－ C. D. 答案　A 解析　∵sinα－cosα＝，∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－sin2α＝，∴sin2α＝－.故选A.‎ ‎2．[2017·山东高考]函数y＝sin2x＋cos2x的最小正周期为 ‎(　　)‎ A. B. C．π D．2π 答案　C 解析　y＝sin2x＋cos2x＝2sin，T＝＝π.故选C.‎ ‎3．[2018·武汉模拟]计算tan15°＋的值为(　　)‎ A. B．‎2 C．4 D．2 答案　C 解析　tan15°＋＝＋＝＝＝4.故选C.‎ ‎4．[2018·重庆质检]计算sin20°cos110°＋cos160°sin70°的值为(　　)‎ A．0 B．‎1 C．－1 D. 答案　C 解析　原式＝sin20°cos(180°－70°)＋cos(180°－20°)·sin70°＝－sin20°cos70°－cos20°sin70°＝－(sin20°·cos70°＋cos20°sin70°)＝－sin90°＝－1.故选C.‎ ‎5．在△ABC中，tanA＋tanB＋＝tanAtanB，则C等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　由已知得tanA＋tanB＝－(1－tanAtanB)，‎ ‎∴＝－，即tan(A＋B)＝－.‎ 又tanC＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝，0＜C＜π，∴C＝.‎ ‎6．[2018·大连模拟]若＝，则tan2α等于________．‎ 答案　 解析　＝，等式左边分子、分母同除以cosα，得＝，解得tanα＝－3，则tan2α＝＝.‎ ‎7．已知sinα＝cos2α，α∈，则tanα＝________.‎ 答案　－ 解析　sinα＝1－2sin2α，∴2sin2α＋sinα－1＝0.‎ ‎∴(2sinα－1)(sinα＋1)＝0，∵α∈，‎ ‎∴2sinα－1＝0.∴sinα＝，cosα＝－.‎ ‎∴tanα＝－.‎ ‎8．[2017·全国卷Ⅱ]函数f(x)＝sin2x＋cosx－的最大值是 ‎________．‎ 答案　1‎ 解析　f(x)＝1－cos2x＋cosx－＝－2＋1.‎ ‎∵x∈，∴cosx∈[0,1]，‎ ‎∴当cosx＝时，f(x)取得最大值，最大值为1.‎ ‎9．已知f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R)．‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期及在上的最大值和最小值；‎ ‎(2)若f(x0)＝，x0∈，求cos的值．‎ 解　(1)∵f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1‎ ‎＝sin2x＋cos2x ‎＝2sin，‎ ‎∴函数f(x)的最小正周期为T＝π，‎ ‎∵x∈，∴2x＋∈，‎ ‎∴f(x)max＝f＝2，‎ f(x)min＝f＝－1.‎ ‎(2)由(1)可知f(x0)＝2sin＝，‎ 即sin＝，‎ 又∵x0∈，∴2x0＋∈，‎ ‎∴cos＜0，‎ 即cos＝－＝－.‎ ‎10．[2018·宝鸡模拟]已知α为锐角，cos＝.‎ ‎(1)求tan的值；(2)求sin的值．‎ 解　(1)因为α∈，所以α＋∈，‎ 所以sin＝＝，‎ 所以tan＝＝2.‎ ‎(2)因为sin＝sin ‎＝2sincos＝，‎ cos＝cos＝2cos2－1＝－，‎ 所以sin＝sin ‎＝sincos－cossin ‎＝.‎ ‎[B级　知能提升]‎ ‎1．[2018·天水模拟]若θ∈，sin2θ＝，则sinθ等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　因为θ∈，所以2θ∈，cos2θ≤0，所以cos2θ＝－＝－.又因为cos2θ＝1－2sin2θ＝－，所以sin2θ＝，sinθ＝.故选D.‎ ‎2．[2017·全国卷Ⅲ]函数f(x)＝sin＋cos的最大值为(　　)‎ A. B．‎1 C. D. 答案　A 解析　∵f(x)＝sin＋cos ‎＝＋cosx＋sinx ‎＝sinx＋cosx＋cosx＋sinx ‎＝sinx＋cosx＝sin，‎ ‎∴当x＝＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值.故选A.‎ ∵＋＝，‎ ‎∴f(x)＝sin＋cos ‎＝sin＋cos ‎＝sin＋sin ‎＝sin≤.‎ ‎∴f(x)max＝.故选A.‎ ‎3．[2016·全国卷Ⅰ]已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.‎ 答案　－ 解析　因为θ是第四象限角，且sin＝，所以θ＋为第一象限角，所以cos＝，所以tan＝＝‎ ＝－＝－.‎ ‎4．已知函数f(x)＝2－2sin2.‎ ‎(1)若f(x)＝，求sin2x的值；‎ ‎(2)求函数F(x)＝f(x)·f(－x)＋f2(x)的最大值与单调递增区间．‎ 解　(1)由题意知f(x)＝1＋sinx－(1－cosx)＝sinx＋cosx，‎ 又∵f(x)＝，∴sinx＋cosx＝，‎ ‎∴sin2x＋1＝，∴sin2x＝.‎ ‎(2)F(x)＝(sinx＋cosx)·[sin(－x)＋cos(－x)]＋(sinx＋cosx)2‎ ‎＝cos2x－sin2x＋1＋sin2x ‎＝cos2x＋sin2x＋1‎ ‎＝sin＋1，‎ 当sin＝1时，F(x)取得最大值，‎ 即F(x)max＝＋1.‎ 令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，‎ ‎∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，‎ 从而函数F(x)的最大值为＋1，单调递增区间为 (k∈Z)．‎ ‎5．[2018·四川检测]已知函数f(x)＝cosx·sin－cos2x＋‎ ，x∈R.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值．‎ 解　(1)由已知，有 f(x)＝cosx·－cos2x＋ ‎＝sinx·cosx－cos2x＋ ‎＝sin2x－(1＋cos2x)＋ ‎＝sin2x－cos2x＝sin.‎ 所以f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)由x∈得2x－∈，‎ 则sin∈，‎ 即函数f(x)＝sin∈.‎ 所以函数f(x)在闭区间上的最大值为，最小值为－.‎