2018-2019学年广东省深圳市高级中学高二上学期期中考试 数学(理) Word版

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2018-2019学年广东省深圳市高级中学高二上学期期中考试 数学(理) Word版

深圳市高级中学2018-2019学年第一学期期中测试 高二理科数学 命题人:范 铯 审题人:冯亚莉 本试卷由两部分组成。‎ 第一部分:高二数学第一学期前的基础知识和能力考查,共47分;‎ 选择题包含第3题、第4题、第5题、第7题、第11题共25分;‎ 填空题包含第14题、第15题共10分;‎ 解答题包含第19题共12分;‎ 第二部分:高二数学第一学期的基础知识和能力考查,共103分;‎ 选择题包含第1题、第2题、第6题、第8题、第9题、第10题、第12题共35分;‎ 填空题包含第13题、第16题共10分;‎ 解答题包含第17题、第18题、第20题、第21题、第22题,共58分。‎ 全卷共22题,共计150分。考试时间为120分钟。‎ 注意事项:‎ ‎1、答第一卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。‎ ‎2、每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动用橡皮擦干净后,再涂其它答案,不能答在试题卷上。‎ ‎3、考试结束,监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。‎ 一.选择题:共12小题,每小题5分,共60分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项。‎ ‎1. 已知为实数,则“”是“”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎2.若方程表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围为 A.    B.   C.    D.‎ ‎3.已知向量 , 则 A.300 B.450 C. 600 D.1200‎ ‎4.已知实数,则的大小关系为 A. B. C. D.‎ ‎5.若变量满足约束条件 ,则的取值范围是 A.     B.   C.    D.‎ ‎6.设直线与圆相交于,两点,且弦的长为,则实数 的值是 A. B. C. D.‎ ‎7.函数的图像向右平移个单位后得到的图像关于原点对称,则的 最小值是 A. B. C. D.‎ ‎8.已知在平行六面体中,过顶点A的三条棱所在直线两两夹角均为,且三条棱长均为1,则此平行六面体的对角线的长为 A. B. C. D.‎ ‎9.已知是双曲线的右焦点,若点 关于双曲线的一条渐近线对称的点恰好 落在双曲线的左支上,则双曲线的离心率为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.已知直三棱柱中,底面边长和侧棱长都相等,则异面直线与所成的角的 余弦值为 A. B. C. D.‎ ‎11.在中,角的对边分别为,,且,则面积的最大值为 A. B. C. D.‎ ‎12.已知是椭圆的右焦点,点在椭圆上,‎ 线段与圆相切于点(其中为椭圆的半焦距),‎ 且,则椭圆的离心率为 A. B. C. D.‎ 二.填空题:共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.已知三点,,共线,那么__________‎ ‎14.等差数列的公差为,若,,成等比数列,则数列的前项 __ . ‎ ‎15.在中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知,,则 ‎= ‎ ‎16.已知抛物线的焦点为,准线为,过点的直线交拋物线于两点,过点作准线的垂线,垂足为,当点坐标为时, 为正三角形,则此时的面积为 ‎ __ ‎ 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 已知命题:方程表示焦点在轴上的椭圆;命题:方程表示离心率的双曲线。若为真命题,为假命题,求实数的取值范围。‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 如图,四棱锥中,底面是边长为的菱形,,,.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面平面;‎ ‎(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.且.‎ ‎(Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若,,求△ABC的面积S.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知在平面直角坐标系中,经过点且斜率为的直线,与椭圆有两个不同的交点和.‎ ‎(Ⅰ)求的取值范围;‎ ‎(Ⅱ) 设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为,是否存在常数,使得向量与 共线?如果存在,求值;如果不存在,请说明理由.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 如图,在四棱锥中,底面为菱形,平面,, ,分别是的中点.‎ ‎(Ⅰ)证明: ;‎ ‎(Ⅱ)设为线段上的动点,若线段长的 最小值为,求二面角的余弦值.‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ 已知点是圆:上任意一点,点与圆心关于原点对称.线段的中垂线与 交于点.‎ ‎(Ⅰ)求动点的轨迹方程;‎ ‎(Ⅱ)设点,若直线轴且与曲线交于另一点,直线与直线交于点,‎ 证明:点恒在曲线上,并求面积的最大值.‎ 深圳市高级中学2018-2019学年第一学期期中测试 高二理科数学 答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B D A A C D B D C C B A 二.填空题: 13.1; 14. ; 15.; 16.‎ 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 已知命题:方程表示焦点在轴上的椭圆;命题:方程表示离心率的双曲线。若为真命题,为假命题,求实数的取值范围。‎ 解:若命题为真命题,则:,解得:‎ 若命题为真命题,则:,解得:‎ 若为真命题,为假命题,则和有且只有1个为真命题。‎ 若为真命题,为假命题,则:,无解.‎ 若为假命题,为真命题,则:,解得:.‎ 综上所述,实数的取值范围为 ‎18.(本小题满分12分)‎ 如图,四棱锥中,底面是边长为的菱形,,,.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面平面;‎ ‎(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.‎ ‎ 解:(1)取中点,连接、、,‎ ‎∵四边形是边长为的菱形,∴.‎ ‎∵,∴是等边三角形.‎ ‎∴,. ‎ ‎∵,∴.‎ ‎∵,∴.∴.‎ ‎∵,∴平面.‎ ‎∵平面,∴平面平面.‎ ‎(2)∵,∴.‎ 由(1)知,平面平面,∴平面,‎ ‎∴直线两两垂直.以为原点建立空间直角坐标系,如图,‎ 则.‎ ‎∴. ‎ 设平面的法向量为,‎ 由,得,取,得,‎ 设平面的法向量为,由,得,取,‎ 得, ……10分 ∴,‎ 由图可知二面角为锐二面角,∴二面角的的余弦值为. ‎ ‎19. (本小题满分12分)‎ 已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.且.‎ ‎(Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若,,求△ABC的面积S.‎ 解:(Ⅰ)由正弦定理得:‎ 则 整理得,又 ‎∴,即 ‎(Ⅱ)由余弦定理可知,‎ 由(Ⅰ)可知,‎ 再由,解得,,‎ ‎∴‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知在平面直角坐标系中,经过点且斜率为的直线,与椭圆有两个不同的交点和.‎ ‎(I)求的取值范围;‎ ‎(II)设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为,是否存在常数,使得向量与 共线?如果存在,求值;如果不存在,请说明理由.‎ 解:(Ⅰ)由已知条件,直线的方程为,代入椭圆方程得.‎ 整理得   ①‎ 直线与椭圆有两个不同的交点和等价于,‎ 解得或.即的取值范围为.‎ ‎(Ⅱ)设,则,‎ 由方程①,.   ②‎ 又.    ③‎ 而.‎ 所以与共线等价于,‎ 将②③代入上式,解得.‎ 由(Ⅰ)知或,故没有符合题意的常数.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 如图,在四棱锥中,底面为菱形,平面,, ,分别是的中点.‎ ‎(1)证明: ;‎ ‎(2)设为线段上的动点,若线段长的 最小值为,求二面角的余弦值.‎ ‎(1)证明:底面为菱形,,‎ ‎ 三角形ABC为等边三角形 ‎ 是BC的中点 ‎ ,即.‎ ‎ 平面,平面 ‎ (2)‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ 已知点是圆:上任意一点,点与圆心关于原点对称.线段的中垂线与 交于点.‎ ‎(1)求动点的轨迹方程;‎ ‎(2)设点,若直线轴且与曲线交于另一点,直线与直线交于点,‎ 证明:点恒在曲线上,并求面积的最大值.‎ 解:(1)由题意得,点坐标为,因为为中垂线上的点,所以,‎ 又,所以,‎ 由椭圆的定义知动点的轨迹为椭圆,和为两个焦点,且,. ‎ 所以动点的轨迹方程:.‎ ‎(2)证明:设点坐标为,则点的坐标为,且,‎ 所以直线:,即,‎ 直线:,即;‎ 联立方程组,解得,,则:.‎ 所以点恒在椭圆上.‎ 设直线:,,,‎ 则,消去整理得,‎ 所以,,‎ 所以,‎ 从而,‎ 令,则函数在上单调递增,故,‎ 所以,即当时,面积取得最大值,且最大值为.‎
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