2021版高考数学一轮复习单元评估检测五苏教版

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单元评估检测(五)(第九章)‎ 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.直线ax+y+7=0与4x+ay-3=0平行,则a为 (　　)‎ A.2 B.2或-2‎ C.-2 D.-‎ ‎【解析】选B.由直线ax+y+7=0与4x+ay-3=0平行,可得=≠,解得a=±2.‎ ‎2.若直线mx+ny=4与圆O:x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数为 (　　)‎ A.0 B.1‎ C.2 D.0或1‎ ‎【解析】选C.因为直线mx+ny=4与圆O:‎ x2+y2=4没有交点,所以>2,‎ 所以m2+n2<4,‎ 所以+<1,所以点P(m,n)在椭圆内,则过点P的直线与椭圆有2个交点.‎ ‎3.(2020·南通模拟)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为x2+y2≤1,若将军从点A(2,0)处出发,河岸线所在直线方程为x+y=3,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马”的最短总路程为 (　　)‎ A.-1 B.2-1‎ C.2 D.‎ - 19 -‎ ‎【解析】选A.设点A关于直线x+y=3的对称点A′(a,b),AA′的中点为,kAA′=,‎ 故 解得 要使从点A到军营总路程最短,‎ 即为点A′到军营最短的距离,“将军饮马”的最短总路程为-1=-1.‎ ‎4.设双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x2+2相切,则该双曲线的离心率等于(　　)‎ A. B‎.2 ‎ C. D.3‎ ‎【解析】选D.双曲线-=1的一条渐近线方程为y=x,由方程组,消去y,‎ 得x2-x+2=0有唯一解,‎ 所以Δ=-8=0,‎ 所以=2,e===3.‎ - 19 -‎ ‎5.已知椭圆+=1(00)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹,加上A1,A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线,以下四个结论中正确的结论为 (　　)‎ A.当m=-1时,曲线C是一个圆 B.当m=-2时,曲线C的离心率为 C.当m=2时,曲线C的渐近线方程为y=±x D.当m∈(-∞,-1)∪(0,+∞)时,曲线C的焦点坐标分别为和 - 19 -‎ ‎【解析】选ABD.设动点为M(x,y),‎ 当x≠0时,由条件可得·=·=m,即y2-mx2=a2(x≠0),又A1(0,-a),A2(0,a)的坐标满足y2-mx2=a2.‎ 所以当m=-1时,曲线C的方程为y2+x2=a2,C是圆心在原点的圆,故A正确;‎ 当m=-2时,曲线C的方程为+=1,C是焦点在y轴上的椭圆,c==a,离心率为,故B正确;‎ 当m=2时,曲线C的方程为-=1,表示焦点在y轴上的双曲线,其渐近线方程为y=‎ ‎±x=±x,故C错误;‎ 当m∈(-∞,-1)时,曲线C的方程为+=1,表示焦点在y轴上的椭圆,由c==a,‎ 可知焦点坐标分别为和 - 19 -‎ ‎;‎ 当m∈(0,+∞)时,C是焦点在y轴上的双曲线,方程为-=1,由c==a,‎ 可知焦点坐标分别为和,故D正确.‎ ‎11.已知点P是双曲线E:-=1的右支上一点,F1,F2为双曲线E的左、右焦点,△PF‎1F2的面积为20,则下列说法正确的为 (　　)‎ A.点P的横坐标为 ‎ B.△PF‎1F2的周长为 C.∠F1PF2小于 ‎ D.△PF‎1F2的内切圆半径为 ‎【解析】选ABCD.设△F1PF2的内心为I,连接IP,IF1,IF2,双曲线E:-=1中a=4,b=3,c=5,‎ 不妨设P(m,n),m>0,n>0,‎ 由△PF‎1F2的面积为20,可得|F‎1F2|n=cn=5n=20,即n=4,‎ - 19 -‎ 由-=1,可得m=,故A正确;‎ 由P,且F1(-5,0),F2(5,0),‎ 可得=,=,则tan∠F1PF2==∈(0,),则∠F1PF2<,故C正确;‎ 由|PF1|+|PF2|=+=+=,则△PF‎1F2的周长为+10=,故B正确;‎ 设△PF‎1F2的内切圆半径为r,可得r(|PF1|+|PF2|+|F‎1F2|)=·|F‎1F2|·4,‎ 可得r=40,解得r=,故D正确.‎ ‎12.已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e1,椭圆C1的上顶点为M,且·=0.双曲线C2和椭圆C1有相同焦点,且双曲线C2的离心率为e2,P为曲线C1与C2的一个公共点,若∠F1PF2=,则正确的是 (　　)‎ A.=2 B.e1·e2=‎ - 19 -‎ C.+= D.-=1‎ ‎【解析】选BD.如图所示,设双曲线的标准方程为-=1(a1,b1>0),半焦距为c.‎ 因为椭圆C1的上顶点为M,且·=0.所以∠F1MF2=,‎ 所以b=c,所以a2=‎2c2.所以e1==.‎ 不妨设点P在第一象限,设|PF1|=m,|PF2|=n.所以m+n=‎2a,m-n=‎2a1.‎ 所以mn==a2-.‎ 在△PF‎1F2中,由余弦定理可得‎4c2=m2+n2-2mncos=(m+n)2-3mn=‎4a2-3(a2-).所以‎4c2=a2+3.‎ 两边同除以c2,得4=+,解得e2=.‎ 所以e1·e2=·=,-=1,=,+=2.‎ 三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13.已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=6,P为C的准线上一点,则△ABP的面积为________. ‎ ‎【解析】设抛物线C的方程为y2=2px,‎ 则|AB|=2p=6,‎ - 19 -‎ 所以p=3,所以S△ABP=|AB|×p=9.‎ 答案:9‎ ‎14.已知圆C经过坐标原点和点(4,0),若直线y=1与圆C相切,则圆C的方程是________. ‎ ‎【解析】设圆的圆心坐标为(a,b),半径为r,‎ 因为圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,所以 解得a=2,b=-,r=,‎ 所求圆的方程为:(x-2)2+=.‎ 答案:(x-2)2+=‎ ‎15.已知焦点在x轴上的椭圆+=1,点P在椭圆上,过点P作两条直线与椭圆分别交于A,B两点,若椭圆的右焦点F恰是△PAB的重心,则直线AB的方程为____________.  ‎ ‎【解析】将点P代入椭圆的方程可得b2=16,‎ 所以椭圆的方程为+=1,c2=25-16=9,F(3,0),‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的斜率为k,‎ - 19 -‎ 由⇒‎ 由A,B在椭圆上可得 ‎⇒+×k=0⇒k=,‎ 又AB的中点坐标为,‎ 所求的直线方程为20x-15y-68=0.‎ 答案:20x-15y-68=0‎ ‎16.(2020·山东新高考模拟)直线l过抛物线C:‎ y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),且与C交于A,B两点,则p=________,+‎ ‎=__________.(本题第一空2分,第二空3分.) ‎ ‎【解析】由题意知=1,从而p=2,所以抛物线方程为y2=4x.‎ 方法一:将x=1代入,解得|AF|=|BF|=2,从而+=1.‎ - 19 -‎ 方法二:设AB的方程为y=k(x-1),联立整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则 从而+=+===1.‎ 方法三:利用书中结论:+==1,即可得出结果.‎ 答案:2　1‎ 四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(10分)已知直线l:y=x+m(m∈R)与直线l′关于x轴对称.‎ ‎(1)若直线l与圆(x-2)2+y2=8相切于点P,求m的值和P点的坐标.‎ ‎(2)直线l′过抛物线C:x2=4y的焦点,且与抛物线C交于A,B两点,求|AB|的值.‎ ‎【解析】(1)由点到直线的距离公式得:d==2,解得m=2或m=-6,‎ 当m=2时P(0,2),当m=-6时P(4,-2).‎ ‎(2)因为直线的方程为y=x+m,所以l′的方程为y=-x-m,焦点(0,1),m=-1,‎ 将直线y=-x+1代入抛物线x2=4y,整理得x2+4x-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=-4,y1+y2=-(x1+x2)+2=6,‎ ‎|AB|=y1+y2+2=8.‎ ‎18.(12分)已知圆G:x2+y2-2x-y=0经过椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F及上顶点B.过椭圆外一点M(m,0)(m>a)作倾斜角为的直线l交椭圆于C,D两点.‎ ‎(1)求椭圆的方程.‎ ‎(2)若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部,求m的取值范围.‎ ‎【解析】(1)因为圆G:‎ - 19 -‎ x2+y2-2x-y=0经过点F,B,‎ 所以F(2,0),B(0,),‎ 所以c=2,b=,‎ 所以a2=b2+c2=6,椭圆的方程为+=1.‎ ‎(2)由题意知直线l的方程为y=-(x-m),m>,‎ 由 消去y,整理得2x2-2mx+m2-6=0.‎ 由Δ=‎4m2‎-8(m2-6)>0,‎ 解得-2,所以b>0)的左右顶点,直线BP交C于点Q,△ABP是等腰直角三角形,且=.‎ ‎(1)求C的方程.‎ ‎(2)设过点P的动直线l与C相交于M,N两点,O为坐标原点.当∠MON为直角时,求直线l的斜率.‎ ‎【解析】(1)由题意知,a=2,B(2,0),‎ 设Q(x0,y0),由=,得x0=,y0=,‎ 代入椭圆方程,解得b2=1. ‎ 所以椭圆方程为+y2=1. ‎ ‎(2)由题意可知,直线l的斜率存在,‎ 设l的方程为y=kx+2,M(x1,y1),N(x2,y2),‎ - 19 -‎ 则整理得:(1+4k2)x2+16kx+12=0, ‎ 由直线l与C有两个不同的交点,则Δ>0,‎ 即(16k)2-4×12×(1+4k2)>0,解得k2>. ‎ 由根与系数的关系可知:‎ x1+x2=-,x1x2=. ‎ 当∠MON为直角时,kOM·kON=-1,‎ 即x1x2+y1y2=0,‎ 则x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)‎ ‎=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4‎ ‎=(1+k2)+2k+4‎ ‎=0,解得k2=4,即k=±2.‎ 综上可知直线l的斜率k=±2时,∠MON为直角.‎ ‎20.(12分)已知抛物线y2=ax的焦点为F(1,0)(如图),A(x1,y1)、B(1,y2)、C(x3,y3)(0≤y1b>0)的短轴长为4,离心率为. ‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程.‎ ‎(2)设椭圆C的左,右焦点分别为F1,F2左,右顶点分别为A,B,点M,N为椭圆C上位于x轴上方的两点,且F‎1M∥F2N,记直线AM,BN的斜率分别为k1,k2,若3k1+2k2=0,求直线F‎1M的方程.‎ ‎【解析】(1)由题意,得2b=4,=.‎ 又a2-c2=b2,所以a=3,b=2,c=1. ‎ 所以椭圆C的标准方程为+=1. ‎ ‎(2)由(1),可知A(-3,0),B(3,0),F1(-1,0),F2(1,0).‎ 据题意,设直线F‎1M的方程为x=my-1,‎ 记直线F‎1M与椭圆的另一交点为M′,‎ 设M(x1,y1)(y1>0),M′(x2,y2).‎ - 19 -‎ 因为F‎1M∥F2N,根据对称性,得N(-x2,-y2).‎ 联立 消去x,得(‎8m2‎+9)y2-16my-64=0,其判别式Δ>0,‎ 所以y1+y2=,y1y2=-,①‎ 由3k1+2k2=0,得+=0,‎ 即5my1y2+6y1+4y2=0.　②‎ 由①②,解得y1=,y2=,‎ 因为y1>0,所以m>0.‎ 所以y1y2==.‎ 所以m=.‎ 所以直线F‎1M的方程为x=y-1,‎ 即2x-y+2=0.‎ ‎22.(12分)椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距是8,长轴长是短轴长的3倍,任作斜率为的直线l与椭圆C交于A、B两点(如图所示),且点P(3,)在直线l的左上方.‎ ‎(1)求椭圆C的方程.‎ ‎(2)若|AB|=2,求△PAB的面积.‎ ‎(3)证明:△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上.‎ - 19 -‎ ‎【解析】(1)由题意可得‎2c=8,即c=4,又a=3b,a2-b2=c2=32,‎ 所以a=6,b=2,‎ 所以椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(2)设直线l的方程为y=x+t,代入椭圆方程可得2x2+6tx+9t2-36=0,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-3t,x1x2=,‎ 所以|AB|==2,解得t=2或-2.‎ 由题意可知t<0,故直线AB的方程为y=x-2,即x-3y-6=0,所以P(3,)到直线AB的距离d==.‎ 所以△PAB的面积为S=|AB|·d=×2×=6.‎ ‎(3)设直线l的方程为y=x+m,代入椭圆方程可得2x2+6mx+‎9m2‎-36=0,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-‎3m,x1x2=,‎ - 19 -‎ 所以kPA+kPB=+=,‎ 因为(y1-)(x2-3)+(y2-)(x1-3)=(x2-3)+‎ ‎(x1-3)‎ ‎=x1x2+(m-2)(x1+x2)-6m+12‎ ‎=·-(m-2)·‎3m-6m+12‎ ‎=0,‎ 所以kPA+kPB=0,‎ 所以∠APB的平分线平行于y轴,‎ 所以△PAB的内切圆圆心在定直线x=3上.‎ - 19 -‎