数学理卷·2018届重庆市七中、十一中、十八中等六校高二上学期期末联考（2017-01）

数学理卷·2018届重庆市七中、十一中、十八中等六校高二上学期期末联考（2017-01）

‎2016—2017学年（上）期末考试 高2018级理科数学试题 考试说明：1.考试时间：120分钟 ‎ 2.试题总分：150分 ‎ 3.试卷页数：共4页 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的,把答案填涂在答题卡相应位置上）‎ ‎1、、均为实数，则是的（ ）‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2、直线的倾斜角为 ( ) ‎ A． B． C． D．‎ ‎3、已知抛物线过点，则它的准线方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4、下列判断错误的是 （ ）‎ A．“若，则方程有两个不同的实数根”是真命题.‎ B．命题“若，则”的逆否命题为：“若, 则”.‎ C．若命题：，， 则：，.‎ D．若为假命题，则，均为假命题.‎ ‎5、已知、为不同的直线，、为不同的平面，且，，则下列命题中假命题是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 ‎ C. 若，相交，则，相交 D. 若，相交，则，相交 ‎6、已知椭圆：的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交椭圆于、两点．若的周长为，则椭圆的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7、已知实数、满足，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8、《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高丈尺寸，容纳米斛（丈=尺，尺=寸，斛为容积单位，斛≈立方尺，≈），则圆柱底面圆的周长约为（　　）‎ A．丈尺 B．丈尺 C．丈尺 D．丈尺 ‎9、已知椭圆的焦距为，以原点为圆心，‎ 为半径作圆，过点作该圆的两条切线，若这两条切线互相垂直，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个侧面中 最大的侧面的面积为（ ）‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎11、已知椭圆的方程为，是其右顶点，是该椭圆在第一象限部分上的一点，且,若点是椭圆上的动点，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12、已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过且倾斜角为锐角的直线与抛物线交于、两点，若，则直线的斜率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二．填空题（本大题共小题，每小题分，共分，把答案填写在答题卡相应位置上）‎ ‎13、已知双曲线的一条渐近线的方程为，则 .‎ ‎14、若圆：与圆：外切，则 . ‎ ‎15、三棱锥中，平面，，,，则三棱锥的外接球的表面积为 . ‎ ‎16、过曲线：的左焦点作曲线：的切线，设切点为，延长交曲线：于点，其中、有一个共同的焦点，若，则曲线的离心率为 . ‎ 三．解答题（本大题共分）‎ ‎17、(本小题12分，（1）小问6分，（2）小问6分)‎ 已知以点为圆心的圆经过点和，线段的垂直平分线交圆于点和，且.‎ ‎(1) 求直线的方程； (2)求圆的方程．‎ ‎18、 (本小题12分，（1）小问6分，（2）小问6分)‎ 如图，平面，四边形为矩形，，‎ ‎，点是的中点，点在边上移动．‎ ‎（1）求三棱锥的体积；‎ ‎（2）证明：．‎ ‎19、(本小题12分，（1）小问6分，（2）小问6分)‎ 如图，在直三棱柱中，是的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，，，‎ 求平面与平面所成二面角的正弦值.‎ ‎20、(本小题12分，（1）小问6分，（2）小问6分)‎ 已知抛物线：的焦点为，直线交抛物线于，两点，是线段的中点，过作轴的垂线交抛物线于点．‎ ‎（1）若直线过焦点，求抛物线的方程；‎ ‎（2）若，求的值．　‎ ‎21、(本小题12分，（1）小问6分，（2）小问6分)‎ 如图，在四棱锥中，，，平面，点在上，．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若直线与平面所成的角的正弦值为，‎ 求二面角的平面角的余弦值．‎ ‎22、(本小题10分，（1）小问3分，（2）小问7分)‎ 已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线被圆：截得的弦长为，且与椭圆交于、两点，求面积的最大值．‎ ‎2016—2017学年（上）期末考试 高2018级理科数学试题参考答案 一．选择题：BDADD；ACBAC；BC ‎12、解：易知，作轴于点，‎ 作垂直准线于点，有，‎ 由，可得，‎ 所以。‎ 二．填空题：13、3； 14、 ； 15、； 16、‎ ‎16、解：设双曲线的右焦点，作抛物线的准线于点，‎ 则易得：，，‎ 由～,得以,∴，‎ ‎∴，∴，∴。‎ 三．解答题（本大题共分）‎ ‎17、(本小题12分，（1）小问6分，（2）小问6分)‎ 解：(1)∵直线的斜率，的中点坐标为．．．．．．．．．．．．4分 ‎∴直线的方程为 .．．．．．．．．．．．6分 ‎(2)设圆心，则由点在上，得.①‎ 又∵直径，∴，∴.②．．．．．．．．．8分 由①②解得或，∴圆心或．．．．．．．．．．．．10分 ‎∴圆的方程为或.．．．．．．．．．．．12分 ‎18、 (本小题12分，（1）小问6分，（2）小问6分) ‎ 解：（1）∵平面，四边形为矩形，‎ ‎∴，∴．．．．．．．．．6分 ‎（2）法（1）∵平面，∴，又∵且点是的中点，∴，又，，，‎ ‎∴平面，．．．．．．．．．．．9分 又平面，∴，由，，，‎ ‎∴平面，平面，∴．．．．．．．．．．．．12分 法（2）如图建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，．．．．．．．．．．．8分 ‎∴， ∵点在边上，设，‎ 则 ，，．．．．．．．．．．．10分 ‎∴，∴．．．．．．．．．．．．12分 ‎19、(本小题12分，（1）小问6分，（2）小问6分)‎ 解.（1）证明：如图，连接，交于点，则点是和的中点，连接，则，．．．．．．．．．．．4分 ‎∵平面，平面，∴平面．．．．．．．．．．．6分 ‎（2）解：如图建立空间直角坐标系，则，，，，，则，，‎ 设平面的法向量为，则，‎ 得，取，得，，得，．．．．．．．．．．．9分 易得平面的一个法向量为，故．．．．11分 故平面与平面所成二面角的正弦值为．．．．．．．．．．12分 ‎20、(本小题12分，（1）小问6分，（2）小问6分)‎ 解：（1）∵直线与轴的交点为，．．．．．2分 ‎∴，∴抛物线的方程为．．．．．．．．．．．．．6分 ‎（2）由 得：，‎ 设，，则,，．．．．．．．．．．．8分 ‎∴，∵，则，，．．．．．．．．．．．10分 ‎，‎ ‎，‎ 代入得，解得或（舍去）‎ ‎∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 ‎21、(本小题12分，（1）小问6分，（2）小问6分)‎ 解：（1）法一取中点，连接，则且，‎ ‎∴四边形是平行四边形，∴‎ ‎∵直角△和直角△中，‎ ‎∴直角△～直角△，易知，‎ ‎∴ ．．．．．．．．．．．2分 ‎∵平面，平面，∴，．．．．．．．．．．．4分 ‎∵，∴平面 ，∴平面平面.．．．．．．．．．．．6分 法二：∵平面 又∵，故可如图建立空间直角坐标系，‎ 设，则，，，‎ ‎．．．．．2分 ‎∴，， ‎ ‎∴，，∴，，∵‎ ‎∴平面.．．．．．．．．．．．4分 ‎∴平面平面．．．．．．．．．．．6分 ‎（2）由（1），平面的一个法向量是，‎ 设直线与平面所成的角为，‎ ‎∴，∴，即．．．．．．8分 设平面的一个法向量为，，‎ 由，，∴，令，则．．．．．．10分 ‎∴ ，显然二面角的平面角是锐角，‎ ‎∴二面角的平面角的余弦值为．．．．．．12分 ‎22、(本小题10分，（1）小问3分，（2）小问7分)‎ 解：（1）设，由已知得，，得，又，得，∴，‎ 故椭圆的方程为．．．．．．．3分 ‎（2）记点到直线的距离为，则，‎ ‎①当直线与轴平行时，直线的方程为，易求，‎ ‎∴．．．．．．．4分 ‎②当直线与轴不平行时，设直线的方程为，，，‎ 由已知得，∴，．．．．．．5分 由得，又，‎ ‎∴，，．．．．．．6分 ‎∴，．．．．．．7分 ‎，当且仅当时取等号，．．．．．．9分 综上当时，面积的最大值为．．．．．．．10分 另解：……同上，‎ ‎，‎ 令，则，‎ 当，即时，面积的最大值为，……同上．‎