数学卷·2018届河南省八市重点高中高二上学期第一次月考数学试卷(文科)(解析版)

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数学卷·2018届河南省八市重点高中高二上学期第一次月考数学试卷(文科)(解析版)

‎2016-2017学年河南省八市重点高中高二(上)第一次月考数学试卷(文科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10=(  )‎ A.12 B.16 C.20 D.24‎ ‎2.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则公比q=(  )‎ A. B.﹣2 C.2 D.‎ ‎3.设a,b,c∈R,且a>b,则(  )‎ A.ac>bc B. C.a2>b2 D.a3>b3‎ ‎4.在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=3,则AC=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=3x﹣2y的最小值为(  )‎ A.﹣5 B.﹣4 C.﹣2 D.3‎ ‎6.在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC,则A的取值范围是(  )‎ A.(0,] B.[,π) C.(0,] D.[,π)‎ ‎7.设Sn是等比数列{an}的前n项和,S4=5S2,则此数列的公比q=(  )‎ A.﹣2或﹣1 B.1或2 C.±1或2 D.±2或﹣1‎ ‎8.某班设计了一个八边形的班徽(如图),它由腰长为1,顶角为α的四个等腰三角形,及其底边构成的正方形所组成,该八边形的面积为(  )‎ A.2sinα﹣2cosα+2 B.sinα﹣cosα+3‎ C.3sinα﹣cosα+1 D.2sinα﹣cosα+1‎ ‎9.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=3,则=(  )‎ A.2 B. C. D.3‎ ‎10.如果点P在平面区域上,点Q在曲线x2+(y+2)2=1上,那么|PQ|的最小值为(  )‎ A.﹣1 B.﹣1 C.2﹣1 D.﹣1‎ ‎11.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,则cosC=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.设m>1,在约束条件下,目标函数z=x+my的最大值小于2,则m的取值范围为(  )‎ A.(1,) B.(,+∞) C.(1,3) D.(3,+∞)‎ ‎ ‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.已知关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为(1,2),则关于x的不等式bx2+ax+1>0的解集为  .‎ ‎14.在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大值,则d的取值范围为  .‎ ‎15.某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为  元.‎ ‎16.已知a∈[﹣2,2],不等式x2+(a﹣4)x+4﹣2a>0恒成立,则x的取值范围为  .‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.解关于x的不等式:ax2﹣(a+1)x+1>0.‎ ‎18.已知数列{xn}的首项x1=3,通项xn=2np+nq(n∈N*,p,q为常数),且x1,x4,x5成等差数列.求:‎ ‎(Ⅰ)p,q的值;‎ ‎(Ⅱ)数列{xn}前n项和Sn的公式.‎ ‎19.在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asinB=b.‎ ‎(Ⅰ)求角A的大小;‎ ‎(Ⅱ)若a=6,b+c=8,求△ABC的面积.‎ ‎20.正项数列{an}满足:an2﹣(2n﹣1)an﹣2n=0.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式an;‎ ‎(2)令bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎21.如图,D是Rt△BAC斜边BC上的一点,AC=DC.‎ ‎(1)若BD=2DC=2,求AD的长.‎ ‎(2)若AB=AD,求角B.‎ ‎22.设{an}是等差数列,{bn}是各项都为正数的等比数列,且a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13.‎ ‎(Ⅰ)求{an}、{bn}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)求数列的前n项和Sn.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年河南省八市重点高中高二(上)第一次月考数学试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10=(  )‎ A.12 B.16 C.20 D.24‎ ‎【考点】等差数列的性质.‎ ‎【分析】利用等差数列的性质可得,a2+a10=a4+a8,可求结果 ‎【解答】解:由等差数列的性质可得,则a2+a10=a4+a8=16,‎ 故选B ‎ ‎ ‎2.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则公比q=(  )‎ A. B.﹣2 C.2 D.‎ ‎【考点】等比数列.‎ ‎【分析】根据等比数列所给的两项,写出两者的关系,第五项等于第二项与公比的三次方的乘积,代入数字,求出公比的三次方,开方即可得到结果.‎ ‎【解答】解:∵{an}是等比数列,a2=2,a5=,‎ 设出等比数列的公比是q,‎ ‎∴a5=a2•q3,‎ ‎∴==,‎ ‎∴q=,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎3.设a,b,c∈R,且a>b,则(  )‎ A.ac>bc B. C.a2>b2 D.a3>b3‎ ‎【考点】不等关系与不等式.‎ ‎【分析】对于A、B、C可举出反例,对于D利用不等式的基本性质即可判断出.‎ ‎【解答】解:A、3>2,但是3×(﹣1)<2×(﹣1),故A不正确;‎ B、1>﹣2,但是,故B不正确;‎ C、﹣1>﹣2,但是(﹣1)2<(﹣2)2,故C不正确;‎ D、∵a>b,∴a3>b3,成立,故D正确.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎4.在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=3,则AC=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】正弦定理.‎ ‎【分析】结合已知,根据正弦定理,可求AC ‎【解答】解:根据正弦定理,,‎ 则 故选B ‎ ‎ ‎5.设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=3x﹣2y的最小值为(  )‎ A.﹣5 B.﹣4 C.﹣2 D.3‎ ‎【考点】简单线性规划.‎ ‎【分析】先画出线性约束条件对应的可行域,再将目标函数赋予几何意义,数形结合即可得目标函数的最小值 ‎【解答】解:画出可行域如图阴影区域:‎ 目标函数z=3x﹣2y可看做y=x﹣z,即斜率为,截距为﹣z的动直线,‎ 数形结合可知,当动直线过点A时,z最小 由得A(0,2)‎ ‎∴目标函数z=3x﹣2y的最小值为z=3×0﹣2×2=﹣4‎ 故选B ‎ ‎ ‎6.在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC,则A的取值范围是(  )‎ A.(0,] B.[,π) C.(0,] D.[,π)‎ ‎【考点】正弦定理;余弦定理.‎ ‎【分析】先利用正弦定理把不等式中正弦的值转化成边,进而代入到余弦定理公式中求得cosA的范围,进而求得A的范围.‎ ‎【解答】解:由正弦定理可知a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,‎ ‎∵sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC,‎ ‎∴a2≤b2+c2﹣bc,‎ ‎∴bc≤b2+c2﹣a2‎ ‎∴cosA=≥‎ ‎∴A≤‎ ‎∵A>0‎ ‎∴A的取值范围是(0,]‎ 故选C ‎ ‎ ‎7.设Sn是等比数列{an}的前n项和,S4=5S2,则此数列的公比q=(  )‎ A.﹣2或﹣1 B.1或2 C.±1或2 D.±2或﹣1‎ ‎【考点】等比数列的前n项和.‎ ‎【分析】对q分类讨论,利用等比数列的求和公式即可得出.‎ ‎【解答】解:q=1时不满足条件,舍去.‎ q≠1时,∵S4=5S2,则=,‎ ‎∴1﹣q4=5(1﹣q2),‎ ‎∴(q2﹣1)(q2﹣4)=0,q≠1,‎ 解得q=﹣1,或±2.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎8.某班设计了一个八边形的班徽(如图),它由腰长为1,顶角为α的四个等腰三角形,及其底边构成的正方形所组成,该八边形的面积为(  )‎ A.2sinα﹣2cosα+2 B.sinα﹣cosα+3‎ C.3sinα﹣cosα+1 D.2sinα﹣cosα+1‎ ‎【考点】解三角形.‎ ‎【分析】根据正弦定理可先求出4个三角形的面积,再由三角面积公式可求出正方形的边长进而得到面积,最后得到答案.‎ ‎【解答】解:由正弦定理可得4个等腰三角形的面积和为:4××1×1×sinα=2sinα 由余弦定理可得正方形边长为:‎ 故正方形面积为:2﹣2cosα 所以所求八边形的面积为:2sinα﹣2cosα+2‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎9.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=3,则=(  )‎ A.2 B. C. D.3‎ ‎【考点】等比数列的前n项和.‎ ‎【分析】首先由等比数列前n项和公式列方程,并解得q3,然后再次利用等比数列前n项和公式则求得答案.‎ ‎【解答】解:设公比为q,则===1+q3=3,‎ 所以q3=2,‎ 所以===.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎10.如果点P在平面区域上,点Q在曲线x2+(y+2)2=1上,那么|PQ|的最小值为(  )‎ A.﹣1 B.﹣1 C.2﹣1 D.﹣1‎ ‎【考点】简单线性规划的应用.‎ ‎【分析】先画出满足的平面区域,再把|PQ|的最小值转化为点P到(0,﹣2)的最小值减去圆的半径1即可.‎ ‎【解答】解:由题可知不等式组确定的区域为阴影部分包括边界,点P到Q的距离最小为到(0,﹣2)的最小值减去圆的半径1,‎ 点(0,﹣2)到直线x﹣2y+1=0的距离为=;‎ 由图可知:|PQ|min=﹣1,‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎11.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,则cosC=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】正弦定理的应用;三角函数中的恒等变换应用.‎ ‎【分析】直接利用正弦定理以及二倍角公式,求出sinB,cosB,然后利用平方关系式求出cosC的值即可.‎ ‎【解答】解:因为在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,‎ 所以8sinB=5sinC=5sin2B=10sinBcosB,所以cosB=,B为三角形内角,所以B∈(0,).C.‎ 所以sinB==.‎ 所以sinC=sin2B=2×=,‎ cosC==.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎12.设m>1,在约束条件下,目标函数z=x+my的最大值小于2,则m的取值范围为(  )‎ A.(1,) B.(,+∞) C.(1,3) D.(3,+∞)‎ ‎【考点】简单线性规划的应用.‎ ‎【分析】根据m>1,我们可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间(,)上,由此我们不难判断出满足约束条件的平面区域的形状,再根据目标函数Z=X+my对应的直线与直线y=mx垂直,且在直线y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值,由此构造出关于m的不等式组,解不等式组即可求出m 的取值范围.‎ ‎【解答】解:∵m>1‎ 故直线y=mx与直线x+y=1交于点,‎ 目标函数Z=X+my对应的直线与直线y=mx垂直,且在点,取得最大值 其关系如下图所示:‎ 即,‎ 解得1﹣<m<‎ 又∵m>1‎ 解得m∈(1,)‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.已知关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为(1,2),则关于x的不等式bx2+ax+1>0的解集为  .‎ ‎【考点】二次函数的性质;一元二次不等式的解法.‎ ‎【分析】由已知可得函数f(x)=x2+ax+b的图象开口朝上,且有两个零点2和1,由韦达定理,可得a,b的值,进而可将不等式bx2+ax+1>0化为:2x2+x﹣1>0,解得答案.‎ ‎【解答】解:∵关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为(1,2),‎ ‎∴函数f(x)=x2+ax+b的图象开口朝上,且有两个零点2和1,‎ ‎∴a=﹣3,b=2,‎ 故bx2+ax+1>0可化为:2x2﹣3x+1>0,‎ 解得:x∈,‎ 故答案为:‎ ‎ ‎ ‎14.在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大值,则d的取值范围为 (﹣1,﹣) .‎ ‎【考点】等差数列的性质.‎ ‎【分析】根据题意当且仅当n=8时Sn取得最大值,得到S7<S8,S9<S8,联立得不等式方程组,求解得d的取值范围.‎ ‎【解答】解:∵Sn =7n+,当且仅当n=8时Sn取得最大值,‎ ‎∴,即,解得:,‎ 综上:d的取值范围为(﹣1,﹣).‎ ‎ ‎ ‎15.某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为 2300 元.‎ ‎【考点】简单线性规划的应用.‎ ‎【分析】本题考查的知识点是简单的线性规划的应用,根据已知条件中甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,我们可以列出满足条件的约束条件,及目标函数,然后利用线性规划,求出最优解.‎ ‎【解答】解:设需租赁甲种设备x天,乙种设备y天,‎ 则 目标函数为z=200x+300y.‎ 作出其可行域,易知当x=4,y=5时,z=200x+300y有最小值2300元.‎ ‎ ‎ ‎16.已知a∈[﹣2,2],不等式x2+(a﹣4)x+4﹣2a>0恒成立,则x的取值范围为 (﹣∞,0)∪(4,+∞) .‎ ‎【考点】函数恒成立问题.‎ ‎【分析】将不等式x2+(a﹣4)x+4﹣2a>0(﹣2≤a≤2)恒成立转化为(x﹣2)a+x2﹣4x+4>0(﹣2≤a≤2),构造函数g(a)=(x﹣2)a+x2﹣4x+4(﹣2≤a≤2),由即可求得x的取值范围.‎ ‎【解答】解:a∈[﹣2,2],不等式x2+(a﹣4)x+4﹣2a>0恒成立⇔(x﹣2)a+x2﹣4x+4>0恒成立(﹣2≤a≤2),‎ 令g(a)=(x﹣2)a+x2﹣4x+4(﹣2≤a≤2),‎ 则,即,解得:x>4或x<0.‎ 故x的取值范围为:(﹣∞,0)∪(4,+∞),‎ 故答案为:(﹣∞,0)∪(4,+∞).‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.解关于x的不等式:ax2﹣(a+1)x+1>0.‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法.‎ ‎【分析】将原不等式化为(x﹣1)(ax﹣1)>0,再对参数a的取值范围进行讨论,从而求出不等式的解集.‎ ‎【解答】解:原不等式可化为(x﹣1)(ax﹣1)≥0,‎ 当a>0时,不等式可化为(x﹣1)(x﹣)≥0,‎ 该不等式对应方程的两个实数根为1和;‎ 若a>1,则1>,不等式的解集为{x|x<或x>1};‎ 若a=1,则1=,不等式化为(x﹣1)2>0,解集为{x|x≠0};‎ 若0<a<1,则1<,不等式的解集为{x|x<1或x>};‎ 当a=0时,不等式化为﹣x+1>0,解集为{x|x<1};‎ 当a<0时,不等式化为(x﹣1)(x﹣)<0,且<1,‎ 解集为{x|<x<1}.‎ ‎ ‎ ‎18.已知数列{xn}的首项x1=3,通项xn=2np+nq(n∈N*,p,q为常数),且x1,x4,x5成等差数列.求:‎ ‎(Ⅰ)p,q的值;‎ ‎(Ⅱ)数列{xn}前n项和Sn的公式.‎ ‎【考点】数列递推式;等差数列的前n项和;等比数列的前n项和;等差数列的性质.‎ ‎【分析】(Ⅰ)根据x1=3,求得p,q的关系,进而根据通项xn=2np+np(n∈N*,p,q为常数),且x1,x4,x5成等差数列.建立关于p的方求得p,进而求得q.‎ ‎(Ⅱ)进而根据(1)中求得数列的首项和公差,利用等差数列的求和公式求得答案.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)∵x1=3,‎ ‎∴2p+q=3,①‎ 又x4=24p+4q,x5=25p+5q,且x1+x5=2x4,‎ ‎∴3+25p+5q=25p+8q,②‎ 联立①②求得 p=1,q=1‎ ‎(Ⅱ)由(1)可知xn=2n+n ‎∴Sn=(2+22+…+2n)+(1+2+…+n)‎ ‎=.‎ ‎ ‎ ‎19.在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asinB=b.‎ ‎(Ⅰ)求角A的大小;‎ ‎(Ⅱ)若a=6,b+c=8,求△ABC的面积.‎ ‎【考点】正弦定理;余弦定理.‎ ‎【分析】(Ⅰ)利用正弦定理化简已知等式,求出sinA的值,由A为锐角,利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数;‎ ‎(Ⅱ)由余弦定理列出关系式,再利用完全平方公式变形,将a,b+c及cosA的值代入求出bc的值,再由sinA的值,利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由2asinB=b,利用正弦定理得:2sinAsinB=sinB,‎ ‎∵sinB≠0,∴sinA=,‎ 又A为锐角,‎ 则A=;‎ ‎(Ⅱ)由余弦定理得:a2=b2+c2﹣2bc•cosA,即36=b2+c2﹣bc=(b+c)2﹣3bc=64﹣3bc,‎ ‎∴bc=,又sinA=,‎ 则S△ABC=bcsinA=.‎ ‎ ‎ ‎20.正项数列{an}满足:an2﹣(2n﹣1)an﹣2n=0.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式an;‎ ‎(2)令bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【考点】数列递推式;数列的求和.‎ ‎【分析】(1)通过分解因式,利用正项数列{an},直接求数列{an}的通项公式an;‎ ‎(2)利用数列的通项公式化简bn=,利用裂项法直接求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【解答】解:(1)由正项数列{an}满足:﹣(2n﹣1)an﹣2n=0,‎ 可得(an﹣2n)(an+1)=0‎ 所以an=2n.‎ ‎(2)因为an=2n,bn=,‎ 所以bn=‎ ‎=‎ ‎=,‎ Tn=‎ ‎=‎ ‎=.‎ 数列{bn}的前n项和Tn为.‎ ‎ ‎ ‎21.如图,D是Rt△BAC斜边BC上的一点,AC=DC.‎ ‎(1)若BD=2DC=2,求AD的长.‎ ‎(2)若AB=AD,求角B.‎ ‎【考点】正弦定理.‎ ‎【分析】(1)由已知可求DC,AC,cosC的值,利用余弦定理即可得解AD的值.‎ ‎(2)设AB=AD=1,则由余弦定理可得BD=2cosB,进而可求BC,CD,AC,可得,利用同角三角函数基本关系式化简可得sinB=﹣+2sin2B,解得sinB,结合B的范围即可得解B的值.‎ ‎【解答】解:(1)∵BD=2DC=2,AC=DC=.‎ ‎∴cosC==,‎ ‎∴AD===.‎ ‎(2)∵设AB=AD=1,则由余弦定理可得:BD=2cosB,‎ ‎∴,,‎ 又∵AC=tanB,‎ ‎∴,化简可得:sinB=﹣+2sin2B,‎ 化简可得:,或﹣(舍去),‎ ‎∴.‎ ‎ ‎ ‎22.设{an}是等差数列,{bn}是各项都为正数的等比数列,且a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13.‎ ‎(Ⅰ)求{an}、{bn}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)求数列的前n项和Sn.‎ ‎【考点】等差数列的通项公式;等比数列的通项公式;数列的求和.‎ ‎【分析】(Ⅰ)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,根据等比数列和等差数列的通项公式,联立方程求得d和q,进而可得{an}、{bn}的通项公式.‎ ‎(Ⅱ)数列的通项公式由等差和等比数列构成,进而可用错位相减法求得前n项和Sn.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,则依题意有q>0且 解得d=2,q=2.‎ 所以an=1+(n﹣1)d=2n﹣1,bn=qn﹣1=2n﹣1.‎ ‎(Ⅱ),‎ ‎,①‎ Sn=,②‎ ‎①﹣②得Sn=1+2(++…+)﹣,‎ 则===.‎ ‎ ‎
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