2018届二轮复习方法指导-导数及其应用第1课时　利用导数研究函数的基本问题课件（全国通用）

2018届二轮复习方法指导-导数及其应用第1课时　利用导数研究函数的基本问题课件（全国通用）

第 1 课时 利用导数研究函数的基本问题 考情分析 总纲目录 考点一   导数的运算及几何意义 考点二 利用导数研究函数的单调性 考点三 利用导数研究函数的极值（最值）问题 第1课时　利用导数研究函数的基本问题 考点一    导数的运算及几何意义 1.导数公式 (1)(sin x )'=cos x ; (2)(cos x )'=-sin x ; (3)( a x )'= a x ln a ( a >0); (4)(log a x )'=   ( a >0,且 a ≠ 1). 2.导数的几何意义 函数 f ( x )在 x 0 处的导数是曲线 f ( x )在点 P ( x 0 , f ( x 0 ))处的切线的斜率,曲线 f ( x ) 在点 P 处的切线的斜率 k = f '( x 0 ),相应的切线方程为 y - f ( x 0 )= f '( x 0 )·( x - x 0 ). 典型例题 　　(1)已知 f ( x )=   x 3 +2 xf '(3)+ln x ,则 f '(3)=   (　　) A.   　    B.-   　    C.9　    D.-9 (2)(2016课标全国Ⅲ,15,5分)已知 f ( x )为偶函数,当 x <0时, f ( x )=ln(- x )+3 x , 则曲线 y = f ( x )在点(1,-3)处的切线方程是 　　　     . 答案 　(1)B　(2) y =-2 x -1 解析 　(1) f '( x )= x 2 +2 f '(3)+   ,所以 f '(3)=3 2 +2 f '(3)+   =   +2 f '(3),解得 f '(3) =-   . (2)令 x >0,则- x <0, f (- x )=ln x -3 x ,又 f (- x )= f ( x ), ∴ f ( x )=ln x -3 x ( x >0),则 f '( x )=   -3( x >0),∴ f '(1)=-2,∴在点(1,-3)处的切线 方程为 y +3=-2( x -1),即 y =-2 x -1. 方法归纳 曲线 y = f ( x )的切线方程的三种类型及求解方法 (1)已知切点 P ( x 0 , y 0 ),求切线方程 求出切线的斜率 f '( x 0 ),由点斜式写出方程; (2)已知切线的斜率 k ,求切线方程 设切点 P ( x 0 , y 0 ),通过方程 k = f '( x 0 )解得 x 0 ,再由点斜式写出方程; (3)已知切线上一点(非切点),求切线方程 设切点 P ( x 0 , y 0 ),利用导数求得切线斜率 f '( x 0 ),再由斜率公式求得切线斜 率,列方程(组)解得 x 0 ,再由点斜式或两点式写出方程. 跟踪集训 1.已知函数 f ( x )=   cos x ,则 f (π)+ f '   =   (　　) A.-   　    B.-   　    C.-   　    D.-   答案     C　∵ f ( x )=   cos x ,∴ f '( x )=-   cos x +   ·(-sin x ),∴ f (π)+ f '   =-   +   ·(-1)=-   . 2.(2017广州综合测试(一))设函数 f ( x )= x 3 + ax 2 ,若曲线 y = f ( x )在点 P ( x 0 , f ( x 0 )) 处的切线方程为 x + y =0,则点 P 的坐标为(　　) A.(0,0)　    B.(1,-1) C.(-1,1)　    D.(1,-1)或(-1,1) 答案     D　由题意知, f '( x )=3 x 2 +2 ax ,所以曲线 y = f ( x )在点 P ( x 0 , f ( x 0 ))处的切 线的斜率为 f '( x 0 )=3   +2 ax 0 ,又切线方程为 x + y =0,所以 x 0 ≠ 0,且   解得   或   当   时,点 P 的坐标为(1,-1); 当   时,点 P 的坐标为(-1,1),故选D. 考点二    利用导数研究函数的单调性 命题点 1.判断函数的单调性. 2.求函数的单调区间. 3.根据函数的单调性求参数的取值范围.　     导数与函数单调性的关系 (1) f '( x )>0是 f ( x )为增函数的充分不必要条件,如函数 f ( x )= x 3 在(- ∞ ,+ ∞ )上 单调递增,但 f '( x ) ≥ 0. (2) f '( x ) ≥ 0是 f ( x )为增函数的必要不充分条件,当函数在某个区间内恒有 f '( x )=0时, f ( x )为常数函数,函数不具有单调性. 典型例题 (2017浙江,20改编)已知函数 f ( x )=( x -   )·e - x   . (1)求 f ( x )的导函数; (2)求 f ( x )的单调区间. 解析 　(1)∵( x -   )'=1-   ,(e - x )'=-e - x , ∴ f '( x )=   e - x -( x -   )e - x =     . (2)令 f '( x )=   =0,解得 x =1或 x =   . 当 x 变化时, f '( x ), f ( x )的情况如下: x     1       f '( x ) - 0 + 0 - f ( x )     ↘ 0 ↗     ↘ 　　∴ f ( x )的增区间为   ,减区间为   ,   . 方法归纳 根据函数 y = f ( x )在( a , b )上的单调性求参数范围的方法 (1)若函数 y = f ( x )在( a , b )上单调递增,转化为 f '( x ) ≥ 0在( a , b )上恒成立. (2)若函数 y = f ( x )在( a , b )上单调递减,转化为 f '( x ) ≤ 0在( a , b )上恒成立. (3)若函数 y = f ( x )在( a , b )上单调,转化为 f '( x )在( a , b )上不变号,即 f '( x ) ≥ 0恒 成立或 f '( x ) ≤ 0恒成立. (4)若函数 y = f ( x )在( a , b )上不单调,转化为 f '( x )在( a , b )上有变号零点. 跟踪集训 1.(2017张掖第一次诊断考试)若函数 f ( x )=   -   x 2 + x +1在区间   上单 调递减,则实数 a 的取值范围是 　　　     . 答案        解析 　由已知得 f '( x )= x 2 - ax +1,∵函数 f ( x )在区间   上单调递减,∴ f ' ( x ) ≤ 0在区间   上恒成立, ∴   即   解得 a ≥   ,∴实数 a 的取值范围为   . 2.已知函数 f ( x )= ax 3 + x 2 ( a ∈R)在 x =-   处取得极值. (1)确定 a 的值; (2)若 g ( x )= f ( x )e x ,讨论 g ( x )的单调性. 解析 　(1)对 f ( x )求导得 f '( x )=3 ax 2 +2 x , 因为 f ( x )在 x =-   处取得极值,所以 f '   =0, 即3 a ·   +2·   =0,解得 a =   . (2)由(1)得 g ( x )=   e x , 故 g '( x )=   e x +   e x =   e x 令 g '( x )=0,解得 x =0或 x =-1或 x =-4. 当 x <-4时, g '( x )<0,故 g ( x )为减函数; 当-4< x <-1时, g '( x )>0,故 g ( x )为增函数; 当-1< x <0时, g '( x )<0,故 g ( x )为减函数; 当 x >0时, g '( x )>0,故 g ( x )为增函数. 综上知, g ( x )在(- ∞ ,-4)和(-1,0)上为减函数,在(-4,-1)和(0,+ ∞ )上为增函 数. 考点三  利用导数研究函数的极值(最值)问题 可导函数的极值与最值 (1)若在 x 0 附近左侧 f '( x )>0,右侧 f '( x )<0,则 f ( x 0 )为函数 f ( x )的极大值;若在 x 0 附近左侧 f '( x )<0,右侧 f '( x )>0,则 f ( x 0 )为函数 f ( x )的极小值. (2)设函数 y = f ( x )在[ a , b ]上连续,在( a , b )内可导,则 f ( x )在[ a , b ]上必有最大值 和最小值且在极值点或端点处取得. 典型例题 (2017北京,19,13分)已知函数 f ( x )=e x cos x - x . (1)求曲线 y = f ( x )在点(0, f (0))处的切线方程; (2)求函数 f ( x )在区间   上的最大值和最小值. 解析 　(1)因为 f ( x )=e x cos x - x ,所以 f '( x )=e x (cos x -sin x )-1, f '(0)=0. 又因为 f (0)=1,所以曲线 y = f ( x )在点(0, f (0))处的切线方程为 y =1. (2)设 h ( x )=e x (cos x -sin x )-1, 则 h '( x )=e x (cos x -sin x -sin x -cos x )=-2e x sin x . 当 x ∈   时, h '( x )<0, 所以 h ( x )在区间   上单调递减. 所以对任意 x ∈   有 h ( x )< h (0)=0,即 f '( x )<0. 所以函数 f ( x )在区间   上单调递减. 因此 f ( x )在区间   上的最大值为 f (0)=1,最小值为 f   =-   . 方法归纳 利用导数研究函数极值、最值的方法 (1)若求极值,则先求方程 f '( x )=0的全部实根,再检验 f '( x )在方程根的左 右两侧值的符号. (2)若已知极值存在情况,则转化为已知方程 f '( x )=0的根的存在情况,从 而求解. (3)求函数 f ( x )在闭区间[ a , b ]的最值时,在得到极值的基础上,比较区间端点的函数值 f ( a ), f ( b )与 f ( x )的各极值,从而得到函数的最值. 跟踪集训 1.(2017课标全国Ⅱ,11,5分)若 x =-2是函数 f ( x )=( x 2 + ax -1)e x -1 的极值点,则 f ( x )的极小值为   (　　) A.-1　    B.-2e -3 　    C.5e -3 　    D.1 答案     A　由题意可得 f '( x )=e x -1 [ x 2 +( a +2) x + a -1]. ∵ x =-2是函数 f ( x )=( x 2 + ax -1)e x -1 的极值点,∴ f '(-2)=0,∴ a =-1,∴ f ( x )=( x 2 - x - 1)e x -1 , f '( x )=e x -1 ( x 2 + x -2)=e x -1 ( x -1)·( x +2),∴ x ∈(- ∞ ,-2) ∪ (1,+ ∞ )时, f '( x )>0, f ( x )单调递增; x ∈(-2,1)时, f '( x )<0, f ( x )单调递减. ∴ f ( x ) 极小值 = f (1)=-1.故选A. 2.(2017湖南五校联考)已知函数 f ( x )=ln x -   ax 2 + x , a ∈R. (1)当 a =0时,求曲线 y = f ( x )在(1, f (1))处的切线方程; (2)令 g ( x )= f ( x )-( ax -1),求函数 g ( x )的极值. 解析 　(1)当 a =0时, f ( x )=ln x + x ,则 f (1)=1,∴切点为(1,1),又 f '( x )=   +1,∴切 线斜率 k = f '(1)=2. 故切线方程为 y -1=2( x -1),即2 x - y -1=0. (2) g ( x )= f ( x )-( ax -1)=ln x -   ax 2 +(1- a ) x +1, 则 g '( x )=   - ax +(1- a )=   , 当 a ≤ 0时,∵ x >0,∴ g '( x )>0, ∴ g ( x )在(0,+ ∞ )上是增函数,函数 g ( x )无极值点. 当 a >0时, g '( x )=   =-   . 令 g '( x )=0,得 x =   . ∴当 x ∈   时, g '( x )>0;当 x ∈   时, g '( x )<0.因此 g ( x )在   上是增 函数,在   上是减函数. ∴ x =   时, g ( x )有极大值 g   =ln   -   ·   +(1- a )·   +1=   -ln a . 综上,当 a ≤ 0时,函数 g ( x )无极值; 当 a >0时,函数 g ( x )有极大值   -ln a ,无极小值. 1.函数 f ( x )= x +   的极值情况是   (　　) A.当 x =1时,取极小值2,但无极大值 B.当 x =-1时,取极大值-2,但无极小值 C.当 x =-1时,取极小值-2;当 x =1时,取极大值2 D.当 x =-1时,取极大值-2;当 x =1时,取极小值2 随堂检测 答案     D　求导得 f '( x )=1-   ,令 f '( x )=0,得 x = ± 1, 函数 f ( x )在区间(- ∞ ,-1)和(1,+ ∞ )上单调递增,在(-1,0)和(0,1)上单调递减, 所以当 x =-1时,取极大值-2,当 x =1时,取极小值2. 2.(2017成都第二次诊断性检测)若曲线 y = f ( x )=ln x + ax 2 ( a 为常数)不存在 斜率为负数的切线,则实数 a 的取值范围是   (　　) A.   　    B.   C.(0,+ ∞ )　    D.[0,+ ∞ ) 答案     D     f '( x )=   +2 ax =   ( x >0),根据题意有 f '( x ) ≥ 0( x >0)恒成立, 所以2 ax 2 +1 ≥ 0( x >0)恒成立,即2 a ≥ -   ( x >0)恒成立,所以 a ≥ 0,故实数 a 的取值范围为[0,+ ∞ ).故选D. 3.已知函数 f ( x )=   x 2 +2 ax -ln x ,若 f ( x )在区间   上是增函数,则实数 a 的 取值范围为 　　　     . 答案        解析 　由题意知 f '( x )= x +2 a -   ≥ 0在   上恒成立,即2 a ≥ - x +   在   上恒成立,∵当 x ∈   时,   =   ,∴2 a ≥   ,即 a ≥   . 4.(2017贵阳检测)已知函数 f ( x )=   -ln x . (1)求 f ( x )的单调区间; (2)求函数 f ( x )在   上的最大值和最小值(其中e是自然对数的底数). 解析 　(1) f ( x )=   -ln x =1-   -ln x , f ( x )的定义域为(0,+ ∞ ). ∵ f '( x )=   -   =   ,由 f '( x )>0 ⇒ 0< x <1,由 f '( x )<0 ⇒ x >1, ∴ f ( x )在(0,1)上单调递增,在(1,+ ∞ )上单调递减. (2)由(1)得 f ( x )在   上单调递增,在[1,e]上单调递减,∴ f ( x )在   上的最大值为 f (1)=1-   -ln 1=0.又 f   =1-e-ln   =2-e, f (e)=1-   -ln e=-   ,且 f   < f (e), ∴ f ( x )在   上的最小值为 f   =2-e. 综上, f ( x )在   上的最大值为0,最小值为2-e.