2018届二轮复习立体几何中的平行与垂直学案（江苏专用）

2018届二轮复习立体几何中的平行与垂直学案（江苏专用）

‎【热身训练】‎ ‎1．设l，m表示直线，m是平面α内的任意一条直线，则“l⊥m”是“l⊥α”成立的__________条件(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选填一个)．‎ 解析：因为m是平面α内的任意一条直线，若l⊥m，则l⊥α，所以充分性成立；反过 ，若l⊥α，则l⊥m，所以必要性成立，故“l⊥m”是“l⊥α”成立的充要条件． ‎ ‎2．(2017· 盐城二模)α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是__________(填上所有正确命题的序号)．‎ ‎①若α∥β，m⊂α，则 m∥β；②若m∥α，n⊂α，则m∥n；‎ ‎③若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β；④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则 m⊥β.‎ 解析：①④‎ ‎3．如图，平行四边形ABCD中， AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使面ABD⊥面BCD，连结AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面有__________对．‎ ‎4．在正方体ABCD A1B1C1D1 中，点M，N分别在AB1，BC1 上(M，N不与B1，C1重合)，且AM＝BN，那么①AA1 ⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④MN与A1C1异面．以上4个结论中，正确结论的序号是__________．‎ 解析：过M作MP∥AB交BB1于P，连接NP，则平面MNP∥平面A1C1，所以MN∥平面A1B1C1D1，又AA1⊥平面A1B1C1D1，所以AA1⊥MN.当M与B1重合，N与C1重合时，则A1C1与MN相交，所以①③正确．‎ ‎【热点追踪】‎ 在立体几何中，点、线、面之间的位置关系，特别是线面、面面的平行和垂直关系，是高中立体几何的理论基础，是高考命题的热点与重点之一，一般考查形式为小题(位置关系基本定理判定)或解答题(平行、垂直位置关系的证明)，难度不大．柱、锥、台、球及其简单组合体和平面及其基本性质虽然没有单独考查，但作为立体几何最基本的要素是融入在解答题中考查的.‎ ‎（一）利用平行、垂直的判定定理与性质定理解决位置关系 例1. (2017·南通一模)如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP＝OC，PA⊥PD.‎ 求证：(1)直线PA∥平面BDE；‎ ‎ (2)平面BDE⊥平面PCD.‎ ‎ ‎ ‎(2)因为OE∥PA，PA⊥PD，所以OE⊥PD.‎ 因为OP＝OC，E为PC的中点，所以OE⊥PC.‎ 又因为PD⊂平面PCD，PC⊂平面PCD，PC∩PD＝P，‎ 所以OE⊥平面PCD.‎ 又因为OE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面PCD.‎ 变式1　(2017·南通三模)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AP＝AD，M，N分别为棱PD，PC的中点．‎ 求证：(1)MN∥平面PAB；‎ ‎ (2)AM⊥平面 PCD.‎ 解析： (1)因为M，N分别为棱PD，PC的中点，‎ 所以MN∥DC，又因为底面ABCD是矩形，‎ 所以AB∥DC，所以MN∥AB.‎ 又AB⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，‎ 所以MN∥平面PAB.‎ 变式2　如图，点P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD.‎ ‎(1)求证：BC⊥平面 PAB；‎ ‎(2)过CD作一平面交平面PAB于EF，求证：CD∥EF.‎ 解析：(1)因为 PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC.‎ 在矩形ABCD中，BC⊥AB.因为PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB.‎ ‎(2)因为CD∥AB，CD⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以CD∥平面PAB.又因为CD⊂平面CDEF ，平面CDEF ∩平面PAB＝EF ，所以CD∥EF .学 ‎ ‎（二）借助边、角量的计算解决位置关系 例2. 如图，在三棱柱ABCA1B1C1 中，AA1⊥BC，∠A1AC＝60°，A1A＝AC＝BC＝1，A1B＝.‎ ‎(1)求证：平面A1BC⊥平面ACC1A1；‎ ‎(2)如果D为AB的中点，求证：BC1∥平面A1CD.‎ ‎ ‎ ‎(2)如图，连结AC1交A1C于点O，连结OD.‎ 因为四边形ACC1A1为平行四边形，所以O为AC1的中点．‎ 又因为D为AB的中点，所以OD∥BC1 .‎ 因为OD⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.‎ 变式1　如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝AC＝2AA1，∠BAA1＝∠CAA1‎ ‎＝60°，点D，E分别为AB，A1C的中点．‎ 求证：(1)DE∥平面BB1C1C；‎ ‎ (2)BB1⊥平面A1BC.‎ 解析：(1)如图，取AC的中点M，连结DM，EM.‎ 因为D为AB的中点，所以DM∥BC.‎ 因为DM⊄平面BB1C1C，BC⊂平面BB1C1C，所以DM∥平面BB1C1C.‎ 同理可证 EM∥平面BB1C1C.‎ 又DM∩EM＝M，所以平面DEM∥平面BB1C1C.‎ 因为DE⊂平面 DEM，‎ 所以DE∥平面BB1C1C.‎ 变式2　‎ 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，点D，E分别在边BC，B1C1上，CD＝B1E＝AC，∠ACD＝60°.求证：‎ ‎(1)BE∥平面AC1D；‎ ‎(2)平面ADC1⊥平面BCC1B1 .‎ 解析：(1)由三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，得BC∥B1C1且BC＝B1C1.‎ 因为点D，E分别在边BC，B1C1上，CD＝B1E，所以 BD＝C1E且BD∥C1E.‎ 所以四边形BDC1E是平行四边形，所以BE∥C1D.‎ 因为C1D⊂平面AC1D，BE⊄平面AC1D，所以BE∥平面AC1D.‎ ‎[ :学 ]‎ ‎（三）立体几何中关于动点位置常见问题的处理 例3. 如图，在三棱锥PABC中，BC⊥平面PAB.已知PA＝AB，D，E分别为PB，BC的中点．‎ ‎(1)求证：AD⊥平面PBC；‎ ‎(2)若点F在线段AC上，且满足AD∥平面PEF，求的值．‎ 解析：(1)因为BC⊥平面PAB，AD⊂平面PAB，‎ 所以BC⊥AD.‎ 因为PA＝AB，D为PB的中点，所以AD⊥PB.‎ 因为PB∩BC＝B，所以AD⊥平面PBC.‎ ‎(2)连结DC，交PE于点G，连结F G.‎ 因为AD∥平面PEF ，AD⊂平面ADC，平面ADC∩平面PEF ＝F G，所以AD∥F G.‎ 因为D为PB的中点，E为BC的中点，连结DE，则DE为△BPC的中位线，△DEG∽△CPG.[ :Z|xx|k.Com]‎ 所以＝＝.‎ 所以＝＝.学 ‎ 变式1　‎ 如图，等边三角形ABC与直角梯形ABDE所在平面垂直，BD∥AE，BD＝2AE，AE⊥AB，M为AB的中点．‎ ‎(1)证明：CM⊥DE；‎ ‎(2)在边AC上找一点N，使CD∥平面BEN.‎ 解析：(1)因为BC＝AC，M为AB中点，所以CM⊥AB.‎ 又平面ABC⊥平面ABDE，平面ABC∩平面ABDE＝AB，CM⊂平面ABC，所以CM⊥平面ABDE.‎ 又DE⊂平面ABDE，所以CM⊥DE.‎ ‎(2)当＝时，CD∥平面BEN.‎ 如图，连结AD交BE于点K，连结KN.‎ 因为在梯形ABDE中，BD∥AE，BD＝2AE，所以＝＝，则＝.‎ 又＝，所以KN∥CD.‎ 因为KN⊂平面BEN，CD⊄平面BEN，所以CD∥平面BEN.‎ 变式2　‎ 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点．‎ ‎(1)若PA＝PD，求证：平面PQB⊥平面PAD； ‎ ‎(2) 点M在线段PC上，PM＝tPC，试确定实数t的值，使得PA∥平面MQB.‎ ‎(2)当且仅当t＝时，PA∥平面MQB.‎ 证明如下：‎ 连结AC，设AC∩BQ＝O，连结OM.‎ 在△AOQ与△COB中，因为AD∥BC，所以∠OQA＝∠OBC，∠OAQ＝∠OCB. ‎ 所以△AOQ∽△COB.‎ 所以＝＝，所以＝.‎ 在△CAP与△COM中，当t＝时，因为＝＝，∠ACP＝∠OCM，所以△CAP∽△COM.‎ 所以∠CPA＝∠CMO，所以 AP∥OM.‎ 因为OM⊂平面MQB，PA⊄平面MQB，所以PA∥平面MQB.‎ 以上每步可逆．故当PA∥平面MQB时可得t＝.‎ ‎【乘热打铁】‎ ‎1．在空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列四个命题：‎ ‎(1)若a∥b，b∥c，则a∥c；‎ ‎(2)若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；‎ ‎(3)若a∥γ，b∥γ，则a∥b；‎ ‎(4)若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.‎ 上述命题中，真命题的序号是__________(写出所有命题的序号)．‎ ‎2．(2009· 江苏卷)设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：‎ ‎(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；‎ ‎(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；‎ ‎(3)设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；‎ ‎(4)直线l与α垂直的充要条件是l与α内的两条直线垂直．‎ 上述命题中，真命题的序号是__________(写出所有命题的序号)．‎ ‎3．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M是线段PB的中点．‎ 有以下四个命题：‎ ‎(1)MO∥平面PAC；‎ ‎(2)OC⊥平面PAC；‎ ‎(3)平面PAC⊥平面PBC.‎ 其中正确的是__________(填序号)．‎ 解析：(1)因为MO∥PA，MO⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，所以MO∥平面PAC；‎ ‎(2)因为PA垂直于圆O所在的平面，所以PA⊥BC.‎ 又BC⊥AC，AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC.‎ 因为空间内过一点作已知平面的垂线有且只有一条，所以OC⊥平面PAC不成立，(2)错误；‎ ‎(3)由(2)知BC⊥平面PAC，且BC⊂平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC.‎ 正确命题的序号是(1)(3)．‎ ‎4.如图，在正三棱ABCA1B1C1中，已知D，E分别为BC，B1C1的中点，点F在棱CC1上，且EF⊥C1D.求证：‎ ‎(1)直线A1E∥平面ADC1；‎ ‎(2)直线EF⊥平面ADC1.‎ 解析： (1)连结ED，因为D，E分别为BC，B1C1的中点，所以B1E∥BD且B1E＝BD，所以四边形B1BDE是平行四边形，所以BB1∥DE且BB1＝DE，又BB1∥AA1且BB1＝AA1，所以AA1∥DE且AA1＝DE，所以四边形AA1ED是平行四边形，所以A1E∥AD，又因为A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，所以直线A1E∥平面ADC1.‎