高考数学复习课时冲关练(二十二) 7_3
课时冲关练(二十二)
概率、随机变量及其分布列
(45分钟 80分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2014·中山模拟)两名学生参加考试,随机变量x代表通过的学生数,其分布列为
x
0
1
2
P
那么这两人通过各自考试的概率最小值为 ( )
A. B. C. D.
【解题提示】这两名同学通过各自考试的事件是相互独立的.
【解析】选B.依题意得,这两名同学通过各自考试的事件是相互独立的.
设甲、乙两人通过各自考试的事件分别是A,B,
依题意得:[1-P(A)][1-P(B)]=,
P(A)P(B)=.
解得:P(A)=,P(B)=或P(A)=,P(B)=.
所以这两人通过各自考试的概率最小值为.
2.1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱随机取出一球,则从2号箱取出红球的概率是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.记事件A:最后从2号箱中取出的是红球;
事件B:从1号箱中取出的是红球,
则根据古典概型和对立事件的概率和为1,
可知:P(B)==,P()=1-=;
P(A|B)==,P(A|)==.
从而P(A)=P(AB)+P(A)
=P(A|B)·P(B)+P(A|)·P()=,选A.
3.(2014·揭阳模拟)如图,在矩形ABCD中,点E为边CD的中点,若在矩形ABCD内部随机取一个点Q,则点Q取自△ABE内部的概率等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.由几何概型的计算方法,
可以得出所求事件的概率为P===.
【方法技巧】几何概型的求解的步骤
(1)判断几何概型与区域的哪些量有关,如长度、面积、体积.
(2)求区域的量.
(3)求概率.
4.(2014·浙江高考)已知甲盒中仅有1个球且为红球,乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3,n≥3),从乙盒中随机抽取i(i=1,2)个球放入甲盒中.
(a)放入i个球后,甲盒中含有红球的个数记为ξi(i=1,2);
(b)放入i个球后,从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i=1,2).则 ( )
A.p1>p2,E(ξ1)
E(ξ2)
C.p1>p2,E(ξ1)>E(ξ2)
D.p10,
故p1>p2,
E(ξ1)=1×+2×=,
E(ξ2)=1××+2×·×2+3××
=,
由上面比较可知E(ξ1)10.828,
则有99.9%以上的把握认为这七个代表性城市普通民众的民意与性别有关.
(3)设抽取的6人中男性有n人,女性有6-n人,
则=得n=1,
所以6人中男性有1人,女性有5人.
则随机变量X的所有可能取值为1,2,
P(X=1)===,
P(X=2)===,
则随机变量X的分布列如表所示:
X
1
2
p
11.(2014·肇庆模拟)一个均匀的正四面体骰子的四个面上分别标有数字1,2,3,4,现将这颗骰子随机抛掷两次,底面上数字分别为x1,x2,记ξ=(x1-3)2+(x2-2)2.
(1)分别求出ξ取得最大值和最小值时的概率.
(2)求出ξ的分布列和数学期望.
【解析】(1)因为xi的可能取值为1,2,3,4,其中i=1,2.
所以(x1-3)2的可能取值为0,1,4;
(x2-2)2的可能取值为0,1,4.
所以ξ=(x1-3)2+(x2-2)2的最大值为8,最小值为0.
故P(ξ=8)= P(x1=1,x2=4)=×=;
P(ξ=0)=P(x1=3,x2=2)=×=.
(2)由(1)知:ξ的可能取值为0,1,2,4,5,8.
P(ξ=0)=P(ξ=8)=;
P(ξ=1)=P(x1=2,x2=2)+P(x1=4,x2=2)+P(x1=3,x2=1)+P(x1=3,x2=3)
=4××=;
P(ξ=2)=P(x1=2,x2=1)+P(x1=2,x2=3)+P(x1=4,x2=1)+P(x1=4,x2=3)
=4××=;
P(ξ=4)=P(x1=1,x2=2)+ P(x1=3,x2=4)=2××=;
P(ξ=5)=P(x1=1,x2=1)+P(x1=1,x2=3)+P(x1=2,x2=4)+P(x1=4,x2=4)
=4××=.
所以ξ的分布列为:
ξ
0
1
2
4
5
8
P
E(ξ)=0×+1×+2×+4×+5×+8×=3.
【讲评建议】讲解时提醒学生注意以下两点
(1)找错(x1-3)2+(x2-2)2的最小值;误认为(x1-3)2+(x2-2)2大于0,出现错误.
(2)漏掉ξ的取值:要通过x1,x2的取值找出ξ的所有取值,学生容易遗漏特殊情况.
【加固训练】(2014·惠州模拟)在一个盒子中,放有标号分别为1,2,3的三张卡片,现从这个盒子中,有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x,y,记ξ=|x-2|+|y-x|.
(1)求随机变量ξ的最大值,并求事件“ξ取得最大值”的概率.
(2)求随机变量ξ的分布列和数学期望.
【解析】(1)因为x,y可能的取值均为1,2,3,
所以|x-2|≤1,|y-x|≤2,
所以ξ≤3,且当x=1,y=3或x=3,y=1时,ξ=3.
因此,随机变量ξ的最大值为3.
因为有放回地抽两张卡片的所有情况有3×3=9种,
所以P(ξ=3)=.
答:随机变量ξ的最大值为3,事件“ξ取得最大值”的概率为.
(2)ξ的所有取值为0,1,2,3.
因为ξ=0时,只有x=2,y=2这一种情况,
ξ=1时,有x=1,y=1或x=2,y=1或x=2,y=3或x=3,y=3四种情况,
ξ=2时,有x=1,y=2或x=3,y=2两种情况.
所以P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=.
则随机变量ξ的分布列为:
ξ
0
1
2
3
P
因此E(ξ)=0×+1×+2×+3×=.
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