2019届二轮复习（理）第十二章第74讲　坐标系与参数方程学案（江苏专用）

2019届二轮复习（理）第十二章第74讲　坐标系与参数方程学案（江苏专用）

第74讲　坐标系与参数方程 考试要求　1.坐标系的有关概念(A级要求)，极坐标及方程的互化，参数方程和普通方程的互化(B级要求)；2.高考中对本讲的考查以解答题为主，难度中等.预计高考中以极坐标、参数方程化为普通方程为主，注重基本运算及极坐标、参数方程的运用.‎ 诊 断 自 测 ‎1.求在极坐标系中，过点且与极轴平行的直线方程.‎ 解　点在直角坐标系下的坐标为 ，即(0，2).‎ ‎∴过点(0，2)且与x轴平行的直线方程为y＝2.‎ 即为ρsin θ＝2.‎ ‎2.(2018·镇江模拟)在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为、，求△AOB(其中O为极点)的面积.‎ 解　由题意知A、B的极坐标分别为、，则△AOB的面积S△AOB＝‎ OA·OB·sin∠AOB＝×3×4×sin ＝3.‎ ‎3.在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a相交于A，B两点.当△AOB是等边三角形时，求a的值.‎ 解　由ρ＝4sin θ可得x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4.‎ 由ρsin θ＝a可得y＝a.‎ 设圆的圆心为O′，y＝a与x2＋(y－2)2＝4的两交点A，B与O构成等边三角形，如图所示.‎ 由对称性知∠O′OB＝30°，OD＝a.‎ 在Rt△DOB中，易求DB＝a，‎ ‎∴B点的坐标为.‎ 又∵B在x2＋y2－4y＝0上，∴＋a2－4a＝0，‎ 即a2－4a＝0，解得a＝0(舍去)或a＝3. ‎ ‎4.已知直线l1：(t为参数)与直线l2：(s为参数)垂直，求k的值.‎ 解　直线l1的方程为y＝－x＋，斜率为－；‎ 直线l2的方程为y＝－2x＋1，斜率为－2.‎ ‎∵l1与l2垂直，∴×(－2)＝－1⇒k＝－1.‎ ‎5.已知点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上，求PF的值.‎ 解　将抛物线的参数方程化为普通方程为y2＝4x，则焦点F(1，0)，准线方程为x＝－1，又P(3，m)在抛物线上，由抛物线的定义知PF＝3－(－1)＝4.‎ ‎6.(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(θ为参数).设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长.‎ 解　直线l的方程化为普通方程为x－y－＝0，‎ 椭圆C的方程化为普通方程为x2＋＝1，‎ 联立方程组得 解得或∴A(1，0)，B.‎ 故AB＝＝.‎ 知 识 梳 理 ‎1.平面直角坐标系 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.‎ ‎2.极坐标系 ‎(1)极坐标与极坐标系的概念 在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系.点O称为极点，射线Ox称为极轴.平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从射线Ox到射线OM的角度θ来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标.ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角.由极径的意义可知ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ) (ρ≠0)建立一一对应的关系.我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角.‎ ‎(2)极坐标与直角坐标的互化 设M为平面内的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ).由图可知下面关系式成立：‎ 或 这就是极坐标与直角坐标的互化公式.‎ ‎3.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为r的圆 ρ＝r(0≤θ<2π)‎ 圆心为(r，0)，半径为r的圆 ρ＝2rcos θ(－≤θ<)‎ 圆心为，半径为r的圆 ρ＝2rsin θ(0≤θ<π)‎ 过极点，倾斜角为α的直线 θ＝α(ρ∈R) 或θ＝π＋α(ρ∈R)‎ 过点(a，0)，与极轴垂直的直线 ρcos θ＝a 过点，与极轴平行的直线 ρsin θ＝a(0<θ<π)‎ ‎4.参数方程和普通方程的互化 ‎(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地，可以 通过消去参数从参数方程得到普通方程.‎ ‎(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程.‎ ‎5.常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 普通方程 参数方程 直线 y－y0＝tan α(x－x0)‎ (t为参数)‎ 圆 x2＋y2＝r2‎ (θ为参数)‎ 椭圆 ＋＝1(a>b>0)‎ (φ为参数)‎ 双曲线 －＝1，(a>0，b>0)‎ (φ为参数)‎ 抛物线 y2＝2px (p>0)‎ (t为参数)‎ 考点一　极坐标与直角坐标的互化、参数方程与普通方程的互化 ‎【例1－1】 (1)以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程；‎ ‎(2)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C1和C2交点的直角坐标.‎ 解　(1)∵ ‎∴y＝1－x化成极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，‎ 即ρ＝.‎ ‎∵0≤x≤1，∴线段在第一象限内(含端点)，‎ ‎∴0≤θ≤.‎ ‎(2)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，由ρsin2θ＝cos θ，得ρ2sin2θ＝ρcos θ，‎ 所以曲线C1的直角坐标方程为y2＝x.由ρsin θ＝1，得曲线C2的直角坐标方程为y＝1.由得故曲线C1与曲线C2交点的直角坐标为(1，1).‎ 规律方法　(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③取相同的单位长度.(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换.‎ ‎【例1－2】 (2016·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.‎ ‎(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；‎ ‎(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，AB＝，求l的斜率.‎ 解　(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.‎ ‎(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R).‎ 设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.‎ 于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.‎ AB＝|ρ1－ρ2|＝ ‎＝.‎ 由AB＝得cos2α＝，tan α＝±.‎ 所以l的斜率为或－.‎ 规律方法 　消去参数的方法一般有三种 ‎(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数；‎ ‎(2)利用三角恒等式消去参数；‎ ‎(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数.将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围.‎ 考点二　求曲线的极坐标方程 ‎【例2】 (2017·苏、锡、常、镇二模)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρcos＝2.‎ ‎(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.‎ 解　(1)ρ＝2⇒ρ2＝4，所以x2＋y2＝4；‎ 因为ρ2－2ρcos＝2，‎ 所以ρ2－2ρ＝2，‎ 所以x2＋y2－2x－2y－2＝0.‎ ‎(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，‎ 即ρsin＝.‎ 规律方法　求曲线的极坐标方程的步骤 ‎(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点.‎ ‎(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式.‎ ‎(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程.‎ ‎【训练1】 在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程.‎ 解　在ρsin＝－中，‎ 令θ＝0，得ρ＝1，‎ 所以圆C的圆心坐标为(1，0).‎ 如图所示，因为圆C经过点P，‎ 所以圆C的半径 PC＝ ＝1，‎ 于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.‎ 考点三　极坐标方程、参数方程的应用 ‎【例3】 (2018·南京一模)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(α为参数，m为常数).以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcos ＝.若直线l与圆C有两个公共点，求实数m的取值范围.‎ 解　圆C的普通方程为(x－m)2＋y2＝4.‎ 直线l的极坐标方程化为ρ＝，‎ 即x＋y＝，化简得x＋y－2＝0.‎ 因为圆C的圆心为C(m，0)，半径为2，圆心C到直线l的距离d＝，直线l与圆C有两个公共点，‎ 所以d＝＜2，解得2－2＜m＜2＋2，‎ 即实数m的取值范围是.‎ 规律方法　(1)已知极坐标系方程讨论位置关系时，可以先化为直角坐标方程.‎ ‎(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性.‎ ‎【训练2】 (2017·扬州二模)已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为 (θ为参数).‎ ‎(1)求直线l和圆C的普通方程；‎ ‎(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围.‎ 解　(1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，‎ 圆C的普通方程为x2＋y2＝16.‎ ‎(2)因为直线l与圆C有公共点，‎ 故圆C的圆心到直线l的距离d＝≤4，‎ 解得－2≤a≤2，即实数a的取值范围为.‎ 考点四　极坐标方程和参数方程的综合应用 ‎【例4】 (一题多解)(2017·南京、盐城二模)在平面直角坐标系xOy中，直线l：(t为参数)，与曲线C：(k为参数)交于A，B两点，求线段AB的长.‎ 解　法一　直线l的参数方程化为普通方程得4x－3y＝4，‎ 将曲线C的参数方程化为普通方程得y2＝4x.‎ 联立方程组解得或 所以A(4，4)，B.所以AB＝.‎ 法二　将曲线C的参数方程化为普通方程得y2＝4x.‎ 直线l的参数方程代入抛物线C的方程得＝4，即4t2－15t－25＝0，‎ 所以 t1＋t2＝，t1t2＝－.‎ 所以AB＝|t1－t2|＝＝.‎ 规律方法　直线的参数方程的一般式：过定点P0(x0，y0)、斜率k＝tan α＝的直线的参数方程是(t为参数).( )‎ 若a2＋b2＝1，则( )即为标准式.在一般式( )中，参数t不具备标准式中t的几何意义，动点P到定点P0的距离是|t|.设直线上的任意两点P1、P2对应的参数分别为t1、t2，则|P1P2|＝|t1－t2|(弦长公式).‎ ‎【训练3】 (2018·扬州质检)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2cos，直线l的参数方程为(t为参数)，直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点.‎ ‎(1)求圆心的极坐标；‎ ‎(2)求△PAB面积的最大值.‎ 解　(1)由圆C的极坐标方程为 ρ＝2cos，得ρ2＝2，‎ 把代入可得圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，‎ 即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.∴圆心坐标为(1，－1)，‎ ‎∴圆心的极坐标为.‎ ‎(2)由题意，得直线l的直角坐标方程为2x－y－1＝0.‎ ‎∴圆心(1，－1)到直线l的距离d＝＝，∴AB＝2＝2＝.‎ 点P到直线l的距离的最大值为r＋d＝＋＝，‎ ‎∴Smax＝××＝.‎ 一、必做题 ‎1.求直线(t为参数)被曲线(θ为参数)所截得的弦长.‎ 解　直线方程可化为x＋y－＝0，‎ 曲线方程可化为x2＋＝1.‎ 由得x2－x＝0，‎ ‎∴x＝0或x＝1.‎ 可得交点为A(0，)，B(1，0).‎ ‎∴AB＝＝2.‎ ‎∴所截得的弦长为2.‎ ‎2.(2018·南通第三次质检)在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝对称的曲线的极坐标方程.‎ 解　以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系，‎ 则曲线ρ＝2cos θ的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，‎ 且圆心为(1，0).‎ 直线θ＝的直角坐标方程为y＝x，‎ 因为圆心(1，0)关于y＝x的对称点为(0，1)，‎ 所以圆(x－1)2＋y2＝1关于y＝x的对称曲线为x2＋(y－1)2＝1.‎ 所以曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ.‎ ‎3.(2018·苏州模拟)已知直角坐标系xOy中，直线l的参数方程：(t为参数)，以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求以极点为圆心且与直线l相切的圆的极坐标方程.‎ 解　∵直线l的直角坐标方程为x－y＋＝0.‎ ‎∴原点到直线的距离r＝＝1.‎ ‎∴以极点为圆心且与直线l相切的圆的极坐标方程为ρ＝1.‎ ‎4.在极坐标系中，P是曲线C1：ρ＝12sin θ上的动点，Q是曲线C2：ρ＝12cos上的动点，求PQ的最大值.‎ 解　对曲线C1的极坐标方程进行转化：‎ ‎∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，∴x2＋y2－12y＝0，‎ 即x2＋(y－6)2＝36.‎ 对曲线C2的极坐标方程进行转化：‎ ‎∵ρ＝12cos，‎ ‎∴ρ2＝12ρ，‎ ‎∴x2＋y2－6x－6y＝0，‎ ‎∴(x－3)2＋(y－3)2＝36，‎ ‎∴PQmax＝6＋6＋＝18.‎ ‎5.(2018·常州模拟)在极坐标系中，O是极点，设A，B，求△AOB的面积.‎ 解　如图所示，∠AOB＝2π－－＝，‎ OA＝4，OB＝5，‎ 故S△AOB＝×4×5×sin ＝5.‎ ‎6.在极坐标系中，判断直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的位置关系.‎ 解　直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0可化成x－y＋1＝0，圆ρ＝2sin θ可化为x2＋y2＝2y，即x2＋(y－1)2＝1.圆心(0，1)到直线x－y＋1＝0的距离d＝ ‎＝0<1.故直线与圆相交.‎ ‎7.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，求线段AB的长.‎ 解　将直线l的参数方程 代入抛物线方程y2＝4x，得＝4，‎ 解得t1＝0，t2＝－8.所以AB＝|t1－t2|＝8.‎ ‎8.(2018·无锡一模)设极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴.已知曲线C的极坐标方程为ρ＝8sin θ.‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)设直线(t为参数)与曲线C交于A，B两点，求AB的长.‎ 解　(1)曲线C的极坐标方程为ρ＝8sin θ，即ρ2＝8ρsin θ.‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝8y.‎ ‎(2)设直线(t为参数)的直角坐标方程为y＝x＋2.‎ x2＋y2＝8y，配方为x2＋(y－4)2＝16，可得圆心C(0，4)，半径r＝4.‎ ‎∴圆心C到直线的距离d＝＝.‎ ‎∴AB＝2＝2.‎ 二、选做题 ‎9.(一题多解)(2017·南通二模)在平面直角坐标系xOy中，已知直线(l为参数)与曲线(t为参数)相交于A，B两点，求线段AB的长.‎ 解　法一　将曲线(t为参数)化为普通方程为y2＝8x.‎ 将直线(l为参数)代入y2＝8x得，‎ l2－8l＋24＝0，‎ 解得l1＝2，l2＝6.‎ 则＝4，‎ 所以线段AB的长为4.‎ 法二　将曲线(t为参数)化为普通方程为y2＝8x，‎ 将直线(l为参数)化为普通方程为x－y＋＝0, ‎ 由得，或 所以AB的长为＝4.‎ ‎10.已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sin.‎ ‎(1)求圆C的直角坐标方程；‎ ‎(2)点P(x，y)是直线l与圆面ρ≤4sin的公共点，求x＋y的取值范围.‎ 解　(1)因为圆C的极坐标方程为ρ＝4sin，‎ 所以ρ2＝4ρsin＝4ρ.‎ 又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，‎ 所以x2＋y2＝2y－2x，‎ 所以圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2y＝0.‎ ‎(2)设 ＝x＋y，‎ 由圆C的方程x2＋y2＋2x－2y＝0，得 ‎(x＋1)2＋(y－)2＝4，‎ 所以圆C的圆心是(－1，)，半径是2.‎ 将代入 ＝x＋y，得 ＝－t.‎ 又直线l过C(－1，)，圆C的半径是2，‎ 所以－2≤t≤2，所以－2≤－t≤2，‎ 即x＋y的取值范围是[－2，2].‎