数学文卷·2018届广东省揭阳市高二下学期学业水平（期末）考试（2017-07）

数学文卷·2018届广东省揭阳市高二下学期学业水平（期末）考试（2017-07）

揭阳市2016－2017学年度高中二年级学业水平考试 数学（文科）‎ ‎（测试时间120分钟，满分150分）‎ 注意事项： ‎ ‎1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.‎ ‎2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.‎ ‎3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效.‎ ‎4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎（1）已知是虚数单位，若复数的实部与虚部相等，则 ‎ （A） （B） （C）1 （D）2 ‎ ‎（2）若集合，，则=‎ ‎ （A） （B） （C）{0,1,2} （D）{1,2}‎ ‎（3）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a和直线b没有公共点”是“平面α和平面β平行”的 ‎ （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 ‎ ‎ （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎（4）若，且，则的值为 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（5）在区间上随机选取一个数x，则的概率为 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（6）已知抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则椭圆的离心率为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（7）以下函数，在区间内存在零点的是 ‎ （A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ ‎（8）已知，与的夹角为，则 ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（9）在图1的程序框图中，若输入的x值为2，则输出的y值为 ‎ ‎（A）0 （B） （C） （D）‎ ‎（10）某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的侧面积是 ‎（A）76 （B）70 （C）64 （D）62 ‎ ‎（11）设，则不等式 的解集为 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎ (12) 已知函数=，若存在唯一的零点，且，则的取值范围为 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求做答．‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．‎ ‎（13）函数的最小正周期为 ． ‎ ‎（14）已知实数满足不等式组，则的最小值为 .‎ ‎（15）已知直线：，点，. 若直线上存在点满足，‎ 则实数的取值范围为 . ‎ ‎（16）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，且△ABC的面 积，则 .‎ 三、解答题：本大题必做题5小题，选做题2小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 已知等差数列满足；数列满足，，数列为等比数列．‎ ‎(Ⅰ)求数列和的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)求数列的前n项和．‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地区某高级中学一兴趣小组由9名高二级学生和6名高一级学生组成，现采用分层抽样的方法抽取5人，组成一个体验小组去市场体验“共享单车”的使用.问：‎ ‎（Ⅰ）应从该兴趣小组中抽取高一级和高二级的学生各多少人；‎ ‎（Ⅱ）已知该地区有,两种型号的“共享单车”，在市场体验中，该体验小组的高二级学生都租型车，高一级学生都租型车.如果从组内随机抽取2人，求抽取的2人中至少有1人在市场体验过程中租型车的概率.‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 如图3，已知四棱锥的底面为矩形，D为 的中点，AC⊥平面BCC1B1．‎ ‎ （Ⅰ）证明：AB//平面CDB1; ‎ ‎ （Ⅱ）若AC=BC=1，BB1=,‎ ‎（1）求BD的长；‎ ‎（2）求三棱锥C-DB‎1C1的体积. 图3‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 已知过点的动直线与圆：交于M，N两点.‎ ‎ （Ⅰ）设线段MN的中点为P，求点P的轨迹方程;‎ ‎ （Ⅱ）若,求直线的方程.‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知函数. ‎ ‎（Ⅰ）求函数的极值；‎ ‎（Ⅱ）若对任意，都有成立，求实数的取值范围．‎ 请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 将圆上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得曲线C.‎ ‎ （Ⅰ）写出C的参数方程；‎ ‎ （Ⅱ）设直线l：与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1 P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数.‎ ‎ （Ⅰ）若，解不等式；‎ ‎ （Ⅱ）如果当时，，求a的取值范围．‎ 揭阳市2016－2017学年度高中二年级学业水平考试 数学(文科)参考答案及评分说明 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．‎ 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ 四、只给整数分数．‎ 一、选择题：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C B A C D C B D C B D 部分解析：‎ ‎（10）依题意知，该几何体是底面为直角梯形的直棱柱，故其侧面积为.‎ ‎（11）即，注意 到，即，故. ‎ ‎（12）当时，函数有两个零点，不符合题意，故，，令得或，由题意知，，且，解得．‎ 二、填空题：‎ 题号 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 答案 ‎2‎ ‎-2‎ ‎4‎ ‎（15）问题转化为求直线与圆有公共点时，的取值范围，数形结合易得 ‎ ‎ . ‎ ‎（16）由余弦定理得，即，‎ ‎，得，故 三、解答题：‎ ‎（17）解：（Ⅰ）由数列是等差数列且 ‎∴公差， ------------------------------------------------------------------------------1分 ‎∴，------------------------------------------------------------------------------3分 ‎∵=2，=5，∴‎ ‎∴数列的公比，-----------------------------------------------------------5分 ‎∴，‎ ‎∴；-------------------------------------------------------------------------------------------7分 ‎(Ⅱ)由得 ‎--------------------------------------------------------9分 ‎ ------------------------------------------------------------------------------------ 12分 ‎（18）解：（Ⅰ）依题意知，应从该兴趣小组中抽取的高一学生人数为， ------2分 高二学生的人数为:； -------------------------------------------------------------------4分 ‎（Ⅱ）解法1：记抽取的2名高一学生为，3名高二的学生为，------------5分 则从体验小组5人中任取2人的所有可能为：，(a2,b1), (a2,b2), ‎ ‎(a2,b3), (b1,b2), (b1,b3), (b2,b3)，共10种可能； ----------------------------------------------------------8分 其中至少有1人在市场体验过程中租型车的有：，共9种，------------------------------------------10分 故所求的概率.-----------------------------------------------------------------------------------------12分 ‎【解法:2：记抽取的2名高一学生为，3名高二的学生为，------------------------5分 则从体验小组5人中任取2人的所有可能为：，共10种可能；--------------------------------------8分 其中所抽的2人都不租型车的有： 一种，-------------------------------------------------9分 故所求的概率. ---------------------------------------------------------------------------12分 ‎（19）解：（Ⅰ）证明：连结交于E，连结DE， ------------------------------------------1分 ‎∵D、E分别为和的中点，‎ ‎∴DE//AB,---------------------------------- --------------------2分 又∵平面,平面,‎ ‎∴AB//平面CDB1;---------------------------------------------4分 ‎（Ⅱ）（1）∵AC⊥平面BCC1B1，平面，‎ ‎∴,‎ 又∵,，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵平面,‎ ‎∴,----------------------------------------------------------------------------------------------------6分 在,∵BC=1，,‎ ‎∴; ----------------------------------------------------------------------------------------------------8分 ‎【注：以上加灰色底纹的条件不写不扣分！】‎ ‎（2）解法1：∵平面，BC//B‎1C1‎ ‎∴平面,-----------------------------------------------------------------------------------------10分 ‎∴. ---------------------------------12分 ‎【解法2：取中点F,连结DF，‎ ‎∵DF为△的中位线，∴DF//AC,-------------------------------------------------------------------9分 ‎∵平面，从而可得平面,----------------------------------------------10分 ‎∴. --------------------------------12分 （20） 解法（Ⅰ）将化为标准方程 ‎ 得:, ----------------------------------------------------------------------------1分 可知圆心C的坐标为,半径,‎ 设点P的坐标为,则,---------------------------------------2分 依题意知,‎ ‎∴‎ 整理得:, ------------------------------------------------------------------------4分 ‎∵点A在圆C内部, ∴直线始终与圆C相交,‎ ‎∴点P的轨迹方程为.----------------------------------------------------------6分 ‎（Ⅱ）设,‎ 若直线与轴垂直,则的方程为,代入 得,解得或,‎ 不妨设,则,不符合题设, ------------------------------------------------7分 设直线的斜率为,则的方程为,‎ 由消去得:, --------------------------------8分 ‎,‎ 则,------------------------------------------------------------------------9分 由得,‎ ‎∴,‎ 解得:,------ ---------------------------------------------------------------------------------------11分 ‎∴当时,直线的方程为或. --------------12分 ‎（21）解：（Ⅰ）函数的定义域为，‎ ‎∵，令得，-------------------------------------------------------------2分 当时，当时，，‎ ‎∴函数在上单调递减，在上单调递增，----------------------------------------4分 ‎∴函数无极大值，‎ 当时，函数在有极小值，，--------------------------5分 ‎（Ⅱ）当时，由，得，--------------6分 记，，‎ 则，‎ 当时，得，当时， ‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减，---------------------------------------------------9分 又，，‎ ‎∵，∴，-------------------------------------------------10分 故在上的最小值为，故只需，‎ 即实数的取值范围是．------------------------------------------------------------12分 选做题：‎ ‎（22）解：（Ⅰ）由坐标变换公式 得-------------------------------------2分 代入中得，--------------------------------------------------------------------3分 故曲线C的参数方程为为参数）；----------------------------------------------------5分 ‎（Ⅱ）由题知，，--------------------------------------------------------------------6分 故线段P1 P2中点，---------------------------------------------------------------------------7分 ‎∵直线的斜率∴线段P1 P2的中垂线斜率为，‎ 故线段P1 P2的中垂线的方程为------------------------------------------------------8分 即，将代入得 其极坐标方程为----------------------------------------------------------10分 ‎（23）解：(Ⅰ)当a＝－2时，f(x)＝|x－2|＋|x＋2|，‎ ‎①当时，原不等式化为：解得，从而；-------------------------1分 ‎②当时，原不等式化为：，无解；---------------------------------------------------2分 ‎③当时，原不等式化为：解得，从而；----------------------------------3分 综上得不等式的解集为.----------------------------------------------------------------5分 ‎ (Ⅱ)当时， ---------------------------------------7分 所以当时，等价于-----（）‎ 当时，（）等价于解得，从而；----------------------------------8分 当时，（）等价于无解；------------------------------------------------------------9分 故所求的取值范围为. --------------------------------------------------------------------------10分