2018届高三数学一轮复习： 第8章 第3节 课时分层训练47

2018届高三数学一轮复习： 第8章 第3节 课时分层训练47

课时分层训练(四十七)　圆的方程 A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．(2017·福建漳州模拟)圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(　　)‎ A．(x－2)2＋(y－1)2＝1　　 B.(x＋1)2＋(y－2)2＝1‎ C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D.(x－1)2＋(y＋2)2＝1‎ A　[(1,2)关于直线y＝x对称的点为(2,1)，∴圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.]‎ ‎2．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为(　　)‎ A．2　　 B. C.1　　 D. D　[圆的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝2，则圆心坐标为(1，－2)．‎ 故圆心到直线x－y－1＝0的距离d＝＝.]‎ ‎3．(2017·山西运城二模)已知圆(x－2)2＋(y＋1)2＝16的一条直径通过直线x－2y＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为(　　)‎ A．3x＋y－5＝0 B.x－2y＝0‎ C．x－2y＋4＝0 D.2x＋y－3＝0‎ D　[易知圆心坐标为(2，－1)．‎ 由于直线x－2y＋3＝0的斜率为，‎ ‎∴该直径所在直线的斜率k＝－2.‎ 故所求直线方程为y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0.]‎ ‎4．经过原点并且与直线x＋y－2＝0相切于点(2,0)的圆的标准方程是(　　)‎ A．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 B.(x＋1)2＋(y－1)2＝2‎ C．(x－1)2＋(y＋1)2＝4 D.(x＋1)2＋(y－1)2＝4‎ A　[设所求圆的圆心为(a，b)．‎ 依题意(a－2)2＋b2＝a2＋b2，①‎ ＝1，②‎ 解①②得a＝1，b＝－1，‎ 则半径r＝＝，‎ ‎∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.]‎ ‎5．(2017·重庆四校模拟)设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为(　　)‎ A．6　　　 B.4‎ C.3　　　 D.2‎ B　[如图所示，圆心M(3，－1)与直线x＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.]‎ 二、填空题 ‎6．(2016·浙江高考)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋‎5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．‎ ‎(－2，－4)　5　[由二元二次方程表示圆的条件可得a2＝a＋2，解得a＝2或－1.当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，配方得2＋(y＋1)2＝－<0，不表示圆；‎ 当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5.]‎ ‎7．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．‎ ‎ 【导学号：01772294】‎ x＋y－1＝0　[圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2,1)，‎ 则kCM＝＝1.‎ ‎∵过点M的最短弦与CM垂直，∴最短弦所在直线的方程为y－0＝－1(x－1)，即x＋y－1＝0.]‎ ‎8．在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－‎2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________. ‎ ‎【导学号：01772295】‎ ‎(x－1)2＋y2＝2　[因为直线mx－y－‎2m－1＝0恒过定点(2，－1)，所以圆心(1,0)到直线mx－y－‎2m－1＝0的最大距离为d＝＝，所以半径最大时的半径r＝，所以半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.]‎ 三、解答题 ‎9．已知直线l：y＝x＋m，m∈R，若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程．‎ ‎ 【导学号：01772296】‎ ‎[解]　法一：依题意，点P的坐标为(0，m)，2分 因为MP⊥l，所以×1＝－1，5分 解得m＝2，即点P的坐标为(0,2)，8分 圆的半径r＝|MP|＝＝2，‎ 故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.12分 法二：设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为(x－2)2＋y2＝r2，2分 依题意，所求圆与直线l：x－y＋m＝0相切于点P(0，m)，‎ 则6分 解得10分 所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.12分 ‎10．(2015·广东高考改编)已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.‎ ‎(1)求圆C1的圆心坐标；‎ ‎(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程．‎ ‎[解]　(1)由x2＋y2－6x＋5＝0得(x－3)2＋y2＝4，2分 所以圆C1的圆心坐标为(3,0).5分 ‎(2)设M(x，y)，依题意·＝0，‎ 所以(x－3，y)·(x，y)＝0，则x2－3x＋y2＝0，‎ 所以2＋y2＝.7分 又原点O(0,0)在圆C1外，‎ 因此中点M的轨迹是圆C与圆C1相交落在圆C1内的一段圆弧．‎ 由消去y2得x＝，‎ 因此＜x≤3.10分 所以线段AB的中点M的轨迹方程为2＋y2＝.12分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．(2017·佛山模拟)设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为(　　)‎ A．6 B.25‎ C.26 D.36‎ D　[(x－5)2＋(y＋4)2表示点P(x，y)到点(5，－4)的距离的平方．点(5，－4)到圆心(2,0)的距离d＝＝5.‎ 则点P(x，y)到点(5，－4)的距离最大值为6，从而(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为36.]‎ ‎2．已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为________．‎ ‎(x－2)2＋(y－1)2＝5　[由题意知，此平面区域表示的是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．‎ ‎∵△OPQ为直角三角形，‎ ‎∴圆心为斜边PQ的中点(2,1)，半径r＝＝，‎ 因此圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.]‎ ‎3．已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)关于直线x＋y＋2＝0对称．‎ ‎ 【导学号：01772297】‎ ‎(1)求圆C的方程；‎ ‎(2)设Q为圆C上的一个动点，求·的最小值．‎ ‎[解]　(1)设圆心C(a，b)，‎ 由已知得M(－2，－2)，‎ 则解得2分 则圆C的方程为x2＋y2＝r2，将点P的坐标代入得r2＝2，‎ 故圆C的方程为x2＋y2＝2.5分 ‎(2)设Q(x，y)，则x2＋y2＝2，‎ ·＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)‎ ‎＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2. 8分 令x＝cos θ，y＝sin θ，‎ 所以·＝x＋y－2‎ ‎＝(sin θ＋cos θ)－2‎ ‎＝2sin－2，‎ 所以·的最小值为－4. 12分