数学理卷·2018届福建省福州市高三上学期期末质检(2018

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数学理卷·2018届福建省福州市高三上学期期末质检(2018

福建省福州市2018届高三上学期期末质检试题 理科数学 第Ⅰ卷(共60分)‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.若复数的模为,则实数( )‎ A.1 B. C. D. ‎ ‎3.下列函数为偶函数的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.若,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.已知圆锥的高为3,它的底面半径为,若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上,则这个球的体积等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.已知函数则函数的零点个数是( )‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎7.如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的“孙子剩余定理”,图中的表示正整数 除以正整数后的余数为,例如.执行该程序框图,则输出的等于( )‎ A.23 B.38 C.44 D.58‎ ‎8.如图,格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为( )‎ A.14 B. C. D. ‎ ‎9.已知圆,抛物线上两点与,若存在与直线平行的一条直线和与都相切,则的标准方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.不等式组的解集记为.有下列四个命题:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 其中真命题的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.已知双曲线的左、右焦点分别为,点在上,,线段交于点,且,则的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.设数列的前项和为,,且.若,则的最大值为( )‎ A.51 B.52 C.53 D.54‎ 第Ⅱ卷(共90分)‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.已知单位向量满足,则的夹角为 .‎ ‎14.设为正整数,展开式中仅有第5项的二项式系数最大,则展开式中的常数项为 .‎ ‎15.将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,则的值为 .‎ ‎16.如图,已知一块半径为1的残缺的半圆形材料,为半圆的圆心,.现要在这块材料上裁出一个直角三角形.若该三角形一条边在上,则裁出三角形面积的最大值为 .‎ 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ‎ ‎17.已知数列中,.设.‎ ‎(1)证明:数列是等比数列;‎ ‎(2)设,求数列的前项的和.‎ ‎18.已知菱形的边长为2,.是边上一点,线段交于点.‎ ‎(1)若的面积为,求的长;‎ ‎(2)若,求.‎ ‎19.如图,在四棱锥中,,.‎ ‎(1)证明:平面平面;‎ ‎(2)若,求二面角的余弦值.‎ ‎20.已知为椭圆的右焦点,为上的任意一点. ‎ ‎(1)求的取值范围;‎ ‎(2)是上异于的两点,若直线与直线的斜率之积为,证明:两点的横坐标之和为常数.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(1)讨论函数的单调性;‎ ‎(2)若且,求证:. ‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,曲线(为参数,).在以为极点,‎ 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线.‎ ‎(1)若与曲线没有公共点,求的取值范围;‎ ‎(2)若曲线上存在点到距离的最大值为,求的值.‎ ‎23.选修4-5:不等式选讲 设函数.‎ ‎(1)求不等式的解集;‎ ‎(2)已知关于的不等式的解集为,若,求 实数的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: BCBCB 6-10: CADCA 11、12:BA 二、填空题 ‎13. 14. 112 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解:(1)证明:因为,,‎ 所以,‎ 又因为, ‎ 所以数列是以1为首项,以2为公比的等比数列. ‎ ‎(2)由(1)知,‎ 因为,‎ 所以,‎ 所以 ‎.‎ ‎18.解:解法一:(1)依题意,得, ‎ 因为的面积,‎ 所以,‎ 所以,‎ 解得,‎ 根据余弦定理,得 ‎.‎ ‎(2)依题意,得,设,则,‎ 在中,由正弦定理得,‎ 因为,‎ 所以,‎ 所以 所以.‎ 解法二:(1)同解法一.‎ ‎(2)依题意,得,设,则,‎ 在中,设,因为,则,‎ 由余弦定理,得, ‎ 得, ‎ 解得,或. ‎ 又因为,所以,所以,‎ 所以,‎ 在中,由正弦定理,得,‎ 得.‎ ‎19.解:(1)证明:因为,‎ 所以.‎ 因为,所以, ‎ 所以,‎ 因为,‎ 所以平面.‎ 因为平面,‎ 所以平面平面.‎ ‎(2)由(1)知,平面,故以点为坐标原点,分别以的方向为轴、轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 所以,‎ 所以,‎ 设平面的法向量为,‎ 则,‎ 所以,‎ 取,则,‎ 又因为平面的一个法向量为,‎ 所以,‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎20.解:解法一:(1)依题意得,所,‎ 所以的右焦点坐标为,‎ 设上的任意一点的坐标为,‎ 则,‎ 所以 ‎,‎ 又因为,所以,‎ 所以,‎ 所以的取值范围为.‎ ‎(2)设三点坐标分别为,‎ 设直线斜率分别为,则直线方程为,‎ 由方程组消去,得 ‎,‎ 由根与系数关系可得,‎ 故,‎ 同理可得,‎ 又,‎ 故,‎ 则,‎ 从而.‎ 即两点的横坐标之和为常数.‎ 解法二:(1)依题意得,所,‎ 所以的右焦点坐标为,‎ 设上的任意一点的坐标为,‎ 设上的任意一点的坐标为,‎ 则,‎ 又因为,所以,‎ 所以,‎ 所以的取值范围为.‎ ‎(2)设两点坐标分别为,线段的中点分别为,点的坐标为,直线的斜率分别为,‎ 由方程组得,‎ 所以,‎ 所以,‎ 所以,‎ 又因为,‎ 所以,‎ 所以,‎ 所以的中点在上,‎ 同理可证:的中点在上,‎ 所以点为线段的中点.‎ 根据椭圆的对称性,‎ 所以两点的横坐标之和为常数.‎ ‎21.解:解法一:(1)函数的定义域为,‎ ‎,‎ ‎①若时,则,在上单调递减;‎ ‎②若时,当时,;‎ 当时,;‎ 当时,.‎ 故在上,单调递减;在上,单调递増; ‎ ‎③若时,当时,;‎ 当时,;当时,.‎ 故在上,单调递减;在上,单调递増. ‎ ‎(2)若且,‎ 欲证,‎ 只需证,‎ 即证.‎ 设函数,则.‎ 当时, .故函数在上单调递增.‎ 所以. ‎ 设函数,则.‎ 设函数,则.‎ 当时,,‎ 故存在,使得,‎ 从而函数在上单调递增;在上单调递减. ‎ 当时,,当时,‎ 故存在,使得,‎ 即当时,,当时, ‎ 从而函数在上单调递增;在上单调递减. ‎ 因为,‎ 故当时,‎ 所以,‎ 即.‎ 解法二:(1)同解法一.‎ ‎(2)若且,‎ 欲证,‎ 只需证,‎ 即证.‎ 设函数,则.‎ 当时, .故函数在上单调递增.‎ 所以. ‎ 设函数,‎ 因为,所以,所以, ‎ 又,所以,‎ 所以,‎ 即原不等式成立. ‎ 解法三:(1)同解法一.‎ ‎(2)若且,‎ 欲证,‎ 只需证,‎ 由于,则只需证明,‎ 只需证明,令,‎ 则,‎ 则函数在上单调递减,则,‎ 所以成立,‎ 即原不等式成立. ‎ ‎22.解:(1)因为直线的极坐标方程为,即,‎ 所以直线的直角坐标方程为;‎ 因为(参数,)‎ 所以曲线的普通方程为,‎ 由消去得,,‎ 所以,‎ 解得,‎ 故的取值范围为. ‎ ‎(2)由(1)知直线的直角坐标方程为,‎ 故曲线上的点到的距离,‎ 故的最大值为 由题设得,‎ 解得.‎ 又因为,所以.‎ ‎23.解:(1)因为,所以,‎ ‎,‎ 或或 解得或或, ‎ 所以,‎ 故不等式的解集为.‎ ‎(2)因为,‎ 所以当时,恒成立, ‎ 而,‎ 因为,所以,即,‎ 由题意,知对于恒成立,‎ 所以,故实数的取值范围.‎
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