甘肃省张掖市2019-2020学年高二上学期期末考试数学(文科)试题

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甘肃省张掖市2019-2020学年高二上学期期末考试数学(文科)试题

张掖市2019—2020学年第一学期期末高二年级学业水平质量检测 数学(文科)试卷 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.请将答案填在答题卡上)‎ ‎1.以下命题正确的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用不等式的基本性质求解.‎ ‎【详解】因为,‎ 所以,故A错误.‎ 当时,,故B错误.‎ 因为,‎ 所以,故C正确.‎ ‎ 当时,,故D错误.‎ 故选:C ‎【点睛】本题主要考查不等式的基本性质,还考查了转化化归的思想和理解辨析的能力,属于基础题.‎ ‎2.在等差数列中,,则( )‎ A. 18 B. ‎22 ‎C. 23 D. 26‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等差数列的公差为,根据,求得:‎ ‎,再代入等差数列通项公式求解.‎ ‎【详解】设等差数列的公差为,‎ 因为,‎ 所以,‎ 解得:,‎ 所以.‎ 故选:D ‎【点睛】本题主要考查等差数列的基本运算,还考查了运算求解的能力,属于基础题.‎ ‎3.下列命题中为真命题的是( )‎ A. 命题“若数列的前项和,则数列是等差数列”‎ B. 命题“若,则”的否命题 C. 命题“若,则”的逆命题 D. 命题“若,则且”的逆否命题 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ A根据等差数列的等差中项判断.B. 根据其逆命题,利用等价命题判断.C. 根据其否命题,利用等价命题判断D. 利用等价命题判断原命题真假即可.‎ ‎【详解】由,得,,所以数列不是等差数列,故A错误.‎ 命题“若,则”的逆命题是:“若,则”为真命题,因为逆命题与否命题是等价命题,故B正确.‎ 命题“若,则”的否命题是:“若,则”为假命题,因为逆命题与否命题是等价命题,故C错误.‎ 命题“若,则且”为假命题,因为原命题与逆否命题是等价命题,故D错误.‎ 故选:B ‎【点睛】本题主要考查命题及其关系和判断命题的真假,还考查了理解辨析的能力,属于基础题.‎ ‎4.设,则“”是“”的( )‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】由题意得,不等式,解得或,‎ 所以“”是“”的充分而不必要条件,‎ 故选A.‎ 考点:充分不必要条件的判定.‎ ‎5.设变量满足约束条件,则目标函数的最小值为( )‎ A. 5 B. ‎6 ‎C. 7 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据变量满足约束条件,画出可行域,平移目标函数,所在的直线,找到最小值点求解.‎ ‎【详解】由变量满足约束条件,画出可行域,如图所示:‎ 平移目标函数,所在的直线,找到最小值点A(2,1),‎ 所以 故选:C ‎【点睛】本题主要考查线性规划求最值,还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力,属于基础题.‎ ‎6.椭圆的长轴长,离心率依次是( )‎ A. 16, B. 8, C. 8, D. 4,‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将方程,化为标准方程,求得 ,再求解.‎ ‎【详解】椭圆,‎ 化为标准方程为:,‎ 所以,‎ 所以长轴长8,离心率是.‎ 故选:C ‎【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质,还考查了运算求解的能力,属于基础题.‎ ‎7.设函数.若为奇函数,则曲线在点处的切线方程为(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】分析:利用奇函数偶次项系数为零求得,进而得到的解析式,再对求导得出切线的斜率,进而求得切线方程.‎ 详解:因为函数是奇函数,所以,解得,‎ 所以,,‎ 所以,‎ 所以曲线在点处的切线方程为,‎ 化简可得,故选D.‎ 点睛:该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题,在求解的过程中,首先需要确定函数解析式,此时利用到结论多项式函数中,奇函数不存在偶次项,偶函数不存在奇次项,从而求得相应的参数值,之后利用求导公式求得,借助于导数的几何意义,结合直线方程的点斜式求得结果.‎ ‎8.在中,已知,,,则角等于( )‎ A. 30° B. 60°或120° C. 60° D. 120°‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在中,根据,,,由余弦定理 求得,再利用边角关系求解.‎ ‎【详解】因为在中,已知,,,‎ 所以由余弦定理得:,‎ 所以,‎ 所以.‎ 故选:D ‎【点睛】本题主要考查余弦定理的应用,还考查了运算求解的能力,属于基础题.‎ ‎9.若等比数列中,有,数列是等差数列,且,则等于( )‎ A. 4 B. ‎8 ‎C. 16 D. 24‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在等比数列中,由,根据等比中项得,再利用等差中项由求解.‎ ‎【详解】在等比数列中,因,‎ 所以,‎ 所以,‎ 所以,‎ 所以.‎ 故选:C ‎【点睛】本题主要考查等差中项、等比中项的应用,还考查了运算求解的能力,属于基础题.‎ ‎10.已知函数的图象如图所示(其中是函数的导函数),下面四个图象中,的图象大致是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图象:分,,,,四种情况讨论的单调性.‎ ‎【详解】根据图象:当,所以递增,‎ 当,所以递减,‎ 当,所以递减,‎ 当,所以递增,‎ 故选:C ‎【点睛】本题主要考查导数与函数的图象间的关系,还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力,属于常考题.‎ ‎11.已知抛物线,过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于两点,若线段的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵y2=2px的焦点坐标为,‎ ‎∴过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-,即x=y+,将其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2p,∴=p=2,∴抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.故选B.‎ ‎12.已知,,对一切恒成立,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据,,将对一切恒成立,转化为对一切恒成立,令,求其最小值即可.‎ ‎【详解】因为,,‎ 所以对一切恒成立,‎ 可转化为对一切恒成立,‎ 令,‎ ‎,‎ 当时,,递减,‎ 当时,,递增,‎ 所以当时,取得最小值:4,‎ 所以 .‎ 故选:A ‎【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于中档题.‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.命题“”的否定是“ ”.‎ ‎【答案】,‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】因为全称命题的否定是特称命题,‎ 所以命题“”的否定是,‎ ‎14.已知数列中,,,,则______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用递推关系式依次求值.‎ ‎【详解】∵a1=1,a2=3,,∴ ,‎ ‎ , .‎ ‎【点睛】已知递推关系式和初始值,可依次赋值,求出所求项的值.‎ ‎15.已知双曲线C1:=1(a>0,b>0)离心率为2.若抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为________.‎ ‎【答案】x2=16y ‎【解析】‎ ‎∵双曲线C1:=1(a>0,b>0)的离心率为2,∴=2,∴b=a,∴双曲线的渐近线方程为x±y=0,∴抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为=2,∴p=8.∴所求的抛物线方程为x2=16y.‎ ‎16.已知,且.则使恒成立的实数的取值范围是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将,转化为,再利用“‎1”‎的代换,求最小值即可.‎ ‎【详解】因为,且,‎ 所以,‎ 所以,‎ 当且仅当,,即时,取等号.‎ 因为,对于,且恒成立,‎ 所以.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查基本不等式的应用,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于中档题.‎ 三、解答题(共6个小题,共计70分)‎ ‎17.已知,命题:“”,命题:“”.‎ ‎(1)若命题为真命题,求实数的取值范围;‎ ‎(2)若命题“”为假命题,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)(2)或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将成立,转化为成立求解.‎ ‎(2)根据成立,则,解得或.再根据命题“”为假命题,分为真,为假, 为假,为真, 为假,为假三种情况讨论求解.‎ ‎【详解】(1)因为成立,‎ 所以成立,‎ 所以,‎ 所以若命题为真命题,实数的取值范围是.‎ ‎(2)因为成立,‎ 所以.,‎ 即,‎ 解得或.‎ 因为命题“”为假命题,‎ 当为真,为假时,且,解得.‎ 当为假,为真时,且或,解得.‎ 当为假,为假时,且,无解.‎ 综上:或 ‎【点睛】本题主要考查全称命题,特称命题及命题的真假,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于常考题.‎ ‎18.在锐角中,分别是角所对的边,且.‎ ‎(1)求角的大小;‎ ‎(2)若,且的面积为,求的值.‎ ‎【答案】(1);(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由,利用正弦定理可得,结合是锐角可得结果;(2)由,可得,再利用余弦定理可得结果.‎ ‎【详解】(1)因为 所以由正弦定理得,因为,‎ 所以,‎ 因为是锐角,‎ 所以.‎ ‎(2)由于,,‎ 又由于 ‎,‎ ‎,‎ 所以.‎ ‎【点睛】解三角形时,有时可用正弦定理,有时也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷.如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.‎ ‎19.已知数列的前项和为,且.等差数列中,,且公差.‎ ‎(1)求数列的前项和;‎ ‎(2)求数列的通项公式;‎ ‎(3)求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)(2)(3)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据等差数列,,且公差.求得,再代入等差数列的数列前项和公式求解.‎ ‎(2)当时,由,得:,两式相减得:,即,再由等比数列定义求解.‎ ‎(3)由(1)知,得到,再利用错位相减法求解.‎ ‎【详解】(1)因为等差数列,,且公差.‎ 所以,‎ 所以数列的前项和;‎ ‎(2)当时,由,‎ 得:,‎ 两式相减得:,‎ 即,‎ 又,‎ 所以数列是等比数列.‎ 所以.‎ ‎(3)由(1)知,‎ 所以,‎ 所以.‎ ‎,‎ 两式相减得:,‎ ‎,‎ ‎,‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查数列的通项和前项和的关系,等比、等差数列的通项公式以及错位相减法求和,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于中档题.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎(1)当时,求函数的最小值及对应的实数的值;‎ ‎(2)若对任意恒成立,试求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)函数最小值为6,对应的实数的值为2;(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)当时,,利用基本不等式求解.‎ ‎(2)将对任意恒成立,转化为恒成立,利用二次函数的性质,分, ,两种情况讨论求解.‎ ‎【详解】(1)已知函数.‎ 当时,,‎ 当且仅当,即时,取等号.‎ 所以函数的最小值为6,对应的实数的值为2;‎ ‎(2)因为对任意恒成立,‎ 所以恒成立,‎ 即恒成立,‎ 当时,,解得 当时,,解得 综上: ‎ 实数的取值范围是 ‎【点睛】本题主要考查双勾函数求最值及不等式恒成立问题,还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力,属于中档题.‎ ‎21.已知椭圆C: (a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为.直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)当△AMN的面积为时,求k的值.‎ ‎【答案】(1) (2)1或-1.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】(1)由题意得解得.所以椭圆C的方程为.‎ ‎(2)由得.‎ 设点M,N的坐标分别为,,则,,,.‎ 所以|MN|===.‎ 由因为点A(2,0)到直线的距离,‎ 所以△AMN的面积为. 由,解得,经检验,所以.‎ ‎22.设函数, .‎ ‎(1)求单调区间和极值;‎ ‎(2)证明:若存在零点,则在区间上仅有一个零点.‎ ‎【答案】(1)单调递减区间是,单调递增区间是;极小值;(2)证明详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、函数零点问题等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.(Ⅰ)先对求导,令解出,将函数的定义域断开,列表,分析函数的单调性,所以由表格知当时,函数取得极小值,同时也是最小值;(Ⅱ)利用第一问的表,知为函数的最小值,如果函数有零点,只需最小值,从而解出,下面再分情况分析函数有几个零点.‎ 试题解析:(Ⅰ)由,()得 ‎.‎ 由解得.‎ 与在区间上的情况如下:‎ 所以,单调递减区间是,单调递增区间是;‎ 在处取得极小值.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,在区间上的最小值为.‎ 因为存在零点,所以,从而.‎ 当时,在区间上单调递减,且,‎ 所以是在区间上的唯一零点.‎ 当时,在区间上单调递减,且,,‎ 所以在区间上仅有一个零点.‎ 综上可知,若存在零点,则在区间上仅有一个零点.‎ 考点:导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值、函数零点问题.‎
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