吉林省长春外国语学校2020届高三上学期期中考试数学（理）试题

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长春外国语学校2019-2020学年第一学期期中考试高三年级 数学试卷(理)‎ 出题人 ： 陈燕 审题人：康乐 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页。考试结束后，将答题卡交回。‎ 注意事项：‎ ‎ 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信 ‎ 息条形码粘贴区。‎ ‎ 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书 ‎ 写，字体工整、笔迹清楚。‎ ‎ 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；‎ ‎ 在草稿纸、试题卷上答题无效。‎ ‎ 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。‎ ‎5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：(本题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.设集合，，则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.设复数满足（为虚数单位），则复数对应的点位于复平面内( )‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3.有6本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法数 ( )‎ A. 24 B‎.36 C.48 D.60 ‎ ‎4.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图所示.‎ 当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．在等比数列中，和是方程的两根，则 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎6.已知向量，，且，则 ( )‎ A．－8 B．－‎6 C. 6 D．8‎ ‎7.下列函数中，在内单调递减的是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.函数的部分图象(如图所示，则 ( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎9.已知，且，若恒成立，则实数的取值范围 A．或 B．或 C． D．‎ ‎10.已知边长为的等边三角形，为的中点，以为折痕，将折成直二面角，则过四点的球的表面积为 ( )‎ A. B. C. 　 D. ‎ ‎11.已知为坐标原点，抛物线上一点到焦点的距离为6，若点为抛物线准线上的动点，则的最小值为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则函数在区间上所有零点之和为 A. 　 B. C. D. ‎ ‎ 第Ⅱ卷 ‎ 本卷包括必考题和选考题两部分。第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22-23题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：(本题共4小题，每小题5分)‎ ‎13.已知的展开式中的系数为，则 ‎ ‎14. 曲线在点处的切线方程为 ‎ ‎15. 的内角的对边分别为．若的面积为，‎ 则 ‎ ‎16.已知函数，数列的通项公式为，‎ 则 ;此数列前2019项的和为 ．‎ 三、解答题：‎ ‎17. 已知等差数列满足的前项和为 ‎（1）求及；‎ ‎（2）令求数列的前项和为 ‎18.在四棱锥中,平面平面，,四边形是边长为的菱形，,是的中点.‎ ‎(1)求证: 平面；‎ ‎(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.‎ ‎19.树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与调查的人群中随机选出人，并将这人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4 组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示 ‎0.030‎ ‎0.015‎ ‎0.010‎ 频率/组距 ‎ 15 25 35 45 55 65 年龄（岁）‎ ‎(1) 求的值；‎ ‎(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行问卷调查，求在第1组已被抽到人的前提下，第3组被抽到人的概率；（3）若从所有参与调查的人中任意选出人，记关注“生态文明”的人数为，求的分布列与期望.‎ ‎20.在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，圆的方程为，动圆与圆内切且与圆外切.‎ ‎(1)求动圆圆心的轨迹的方程；‎ ‎(2)已知与为平面内的两个定点，过点的直线与轨迹交于两点，求四边形面积的最大值.‎ ‎21. 已知，函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若是的极值点，且曲线在两点 处的切线互相平行，这两条切线在轴上的截距分别为，求的取值范围.‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22.选修4—4：坐标系与参数方程 ‎ 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线，.‎ ‎（1）求与的交点的极坐标；‎ ‎（2）设点在上，，求动点的轨迹的极坐标方程.‎ ‎23.选修4—5：不等式选讲 设函数.‎ ‎(1)当时,求不等式的解集;‎ ‎(2)若恒成立,求的取值范围.‎ 长春外国语学校2019-2020学年第一学期期中考试高三年级 数学试卷(理)答案 一、选择题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C C A A C D A B D D C D 二、填空题：‎ ‎13. ; 14. ‎ ‎15. 16. ；2020‎ 三、解答题：‎ ‎17.（1），‎ ‎ （2）‎ ‎ ‎ ‎18. 解：‎ ‎（1）连接，由，是的中点，得， 由平面平面，可得平面，，又由于四边形 是边长为2的菱形，，所以，从而平面.‎ ‎（2）以为原点，为轴，建立空间直角坐标系，，，有，，令平面的法向量为，由，可得一个，同理可得平面的一个法向量为，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.‎ ‎19. 解：（1）由，得，‎ ‎（2）第1，2，3组的人数分别为20人，30人，70人，从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取12人，则第1，2，3组抽取的人数分别为2人，3人，7人. ‎ ‎ 设从12人中随机抽取3人，第1组已被抽到1人为事件，第3组抽到2人为事件， 则 ‎ ‎ （3）从所有参与调查的人中任意选出1人，关注“生态文明”的 概率为的可能取值为0，1，2，3. ‎ ‎ ，‎ ‎，‎ 所以的分布列为 ‎， ‎ ‎20. 解：（1）设动圆的半径为，由题意知 从而有，故轨迹为以为焦点，长轴长为4的椭圆，并去 除点，从而轨迹的方程为.‎ ‎（2）设的方程为，联立，‎ 消去得，设点，‎ 有有，‎ 点到直线的距离为，点到直线的距离为，‎ 从而四边形的面积 令，有，由函数在单调递增 有，故，四边形面积的最大值为.‎ ‎21. （1）， ‎ ‎ ①当时，在上恒成立，∴在上单调递减；‎ ‎ ②当时， 时，时，，‎ ‎ 即在上单调递减，在单调递增； ‎ ‎ （Ⅱ）∵是的极值点， ∴由（1）可知， ∴‎ ‎ 设在处的切线方程为，‎ ‎ 在处的切线方程为 ‎ ∴若这两条切线互相平行，则,∴‎ ‎ ∵,且，∴，∴，∴‎ ‎ 令，则，同理，. ‎ ‎ ∵，‎ ‎ ∴‎ ‎ 设，‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴在区间上单调递减，∴‎ ‎ 即的取值范围是. ‎ ‎ ‎ ‎22. （1）联立，，， 交点坐标 ‎ （2）设,且，由已知得 ，点的极坐标方程为 ‎23.(1) ‎ ‎ (2) ‎