高中数学必修5能力强化提升3-4
3.4 基本不等式：≤
双基达标 (限时20分钟)
1．若x>0，y>0，且x＋y＝4，则下列不等式中恒成立的是 ( )．
A.≤ B.＋≥1
C.≥2 D.≥1
解析 若x>0，y>0，由x＋y＝4，得＝1，
∴＋＝(x＋y)＝≥(2＋2)＝1.
答案 B
2．下列各函数中，最小值为2的是 ( )．
A．y＝x＋
B．y＝sin x＋，x∈
C．y＝
D．y＝＋
解析 对于A：不能保证x>0，
对于B：不能保证sin x＝，
对于C：不能保证＝，
对于D：y＝＋≥2.
答案 D
3．若0
2，则a＋的最小值是________．
解析 ∵a>2，∴a－2>0.
∴a＋＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4.
当且仅当a－2＝，即a＝3时，等号成立．
答案 4
5．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．
解析 ab＝a＋b＋3≥2＋3，∴≥3，即ab≥9.
答案 [9，＋∞)
6．已知x>0，y>0，lg x＋lg y＝1，求＋的最小值．
解 法一 由已知条件lg x＋lg y＝1可得：x>0，y>0，且xy＝10.
则＋＝≥＝2，
所以min＝2，当且仅当即时等号成立．
法二 由已知条件lg x＋lg y＝1可得：
x>0，y>0，且xy＝10，
＋≥2 ＝2 ＝2(当且仅当即时取等号)．
综合提高 (限时25分钟)
7．设a>0，b>0.若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为 ( )．
A．8 B．4 C．1 D.
解析 因为3a·3b＝3，所以a＋b＝1，
＋＝(a＋b)
＝2＋＋≥2＋2
＝4，
当且仅当＝，即a＝b＝时，“＝”成立，故选B.
答案 B
8．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是 ( )．
A．6.5 m B．6.8 m C．7 m D．7.2 m
解析 设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2，∴ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828(m)．因为要求够用且浪费最少，故选C.
答案 C
9．(2011·潍坊高二检测)在4×□＋9×□＝60的两个□中，分别填入两个自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上________和________．
解析 设两数为x，y，即4x＋9y＝60，
又＋＝＝≥×(13＋12)＝，当且仅当＝，且4x＋9y＝60，即x＝6，y＝4时，等号成立．
答案 6 4
10．函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n>0，则＋的最小值为________．
解析 函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A(－2，－1)，(－2)·m＋(－1)·n＋1＝0，
2m＋n＝1，m，n>0，
＋＝·(2m＋n)
＝4＋＋
≥4＋2 ＝8，
当且仅当，即时等号成立．
答案 8
11．求函数y＝的值域．
解 函数的定义域为R，
y＝＝1＋.
(1)当x＝0时，y＝1；
(2)当x>0时，y＝1＋≤1＋＝4.
当且仅当x＝时，即x＝1时，ymax＝4；
(3)当x<0时，y＝1＋
＝1－≥1－＝－2.
当且仅当－x＝－时，即x＝－1时，ymin＝－2.
综上所述：－2≤y≤4，即函数的值域是[－2,4]．
12．(创新拓展)(2012·济宁高二检测)某建筑公司用8 000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4 000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x(x≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q(x)＝3 000＋50x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费最小值是多少？
(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)
解 设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，依题意得
f(x)＝Q(x)＋
＝50x＋＋3 000(x≥12，x∈N)，
f(x)＝50x＋＋3 000
≥2 ＋3 000＝5 000(元)．
当且仅当50x＝，即x＝20时上式取“＝”
因此，当x＝20时，f(x)取得最小值5 000(元)．
所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用最小值为5 000元．
