2019-2020学年江苏省启东中学高二上学期期末考试数学试题

2019-2020学年江苏省启东中学高二上学期期末考试数学试题

江苏省启东中学2019-2020学年度第一学期期终考试 高二数学 ‎ 考试时间：120 分钟；试卷分值：150 分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）‎ ‎1．圆O1：与圆O2：的位置关系是（ ）‎ A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 ‎2．“”是“为2与8的等比中项”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．下列命题中，不正确的是（ ）‎ A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎4．在等差数列中，首项，公差，前n项和为，且满足，则 的最大项为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．若两个正实数x，y满足，且不等式x＋＜m2－3m有解，则实数m的取值范围是（ ）‎ A．(－1，4) B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)‎ C．(－4，1) D．(－∞，0]∪[3，＋∞)‎ ‎6．在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，若这两曲线的一个交点满足轴，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎9．在下列函数中，最小值是2的函数有（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎10．下面命题正确的是（ ）‎ A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“任意,则”的否定是“ 存在,则”.‎ C．设,则“且”是“”的必要而不充分条件 D．设,则“”是“”的必要不充分条件 ‎11．如图,在棱长均相等的四棱锥中,为底面正方形的中心,,分别为侧棱,的中点,有下列结论正确的有（ ）‎ A．∥平面 B．平面∥平面 C．直线与直线所成角的大小为 D．‎ ‎12．将个数排成行列的一个数阵，如下图：‎ 该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的 个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）.已知，，记这个数的和为.‎ 下列结论正确的有（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．命题“∃x0∈R, ”为假命题，则实数a的取值范围是________．‎ ‎14．点P(＝，则点P的轨迹为_____________‎ 离心率为________．‎ ‎15．设双曲线的左右焦点分别为，过的直线分别交双曲线左右两支于点M，N.若以MN为直径的圆经过点且，则双曲线的离心率为________‎ ‎16．,‎ 使得 四、解答题（本题共6小题，共70分）‎ ‎17．(本小题满分10分)已知集合，集合，.（1）若“”是真命题，求实数取值范围；‎ ‎（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.‎ ‎18. (本小题满分12分)已知椭圆的长轴长为，短轴长为．‎ ‎(1)求椭圆方程；‎ ‎(2)过作弦且弦被平分，求此弦所在的直线方程及弦长．‎ ‎19．(本小题满分12分)某企业用180万元购买一套新设备，该套设备预计平均每年能给企业带来100万元的收入，为了维护设备的正常运行，第一年需要各种维护费用10万元，且从第二年开始，每年比上一年所需的维护费用要增加10万元 ‎（1）求该设备给企业带来的总利润（万元）与使用年数的函数关系；‎ ‎（2）试计算这套设备使用多少年，可使年平均利润最大？年平均利润最大为多少万元？‎ E ‎20. (本小题满分12分)如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．‎ ‎（1）证明：BE⊥平面EB1C1；‎ ‎（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值．‎ ‎21. (本小题满分12分)设数列、都有无穷项,的前项和为=,‎ 是等比数列, =4且=32.‎ ‎(1)求和的通项公式;‎ ‎(2)记=,求数列的前项和为, ‎ ‎22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为直线被椭圆截得的线段长为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过原点的直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点）．点在椭圆上，且，直线与轴、轴分别交于两点．‎ ‎(ⅰ)设直线的斜率分别为，证明存在常数使得，并求出的值；‎ ‎(ⅱ)求面积的最大值．‎ CACCB,CAA,AD ABD ABD ACD ‎ 椭圆 ‎ ‎17．（1）若“”是真命题，则，得.‎ ‎（2），‎ 若“”是“”的必要不充分条件，‎ 则是的真子集，‎ 即，即，得，‎ 即实数的取值范围是.‎ ‎18.(1)由椭圆长轴长为，短轴长为，‎ 得，所以， ‎ 所以椭圆方程为． ‎ ‎(2)设以点为中点的弦与椭圆交于，则.‎ 在椭圆上，所以，， ‎ 两式相减可得，‎ 所以的斜率为， ‎ ‎∴点为中点的弦所在直线方程为. ‎ 由，得，所以或，‎ 所以．‎ ‎19.解：（1）由题意知，年总收入为万元 年维护总费用为万元.‎ ‎∴总利润，‎ 即，‎ ‎（2）年平均利润为 ‎∵，∴‎ 当且仅当，即时取“”‎ ‎∴‎ 答：这套设备使用6年，可使年平均利润最大，最大利润为35万元.‎ ‎20．解：（1）由已知得，平面，平面，‎ 故．‎ 又，所以平面．‎ ‎（2）由（1）知．由题设知≌，所以，‎ 故，．‎ 以为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D–xyz，‎ 则C（0，1，0），B（1，1，0），（0，1，2），E（1，0，1），，，．‎ 设平面EBC的法向量为n=（x，y，x），则 即 所以可取n=.‎ 设平面的法向量为m=（x，y，z），则 即 所以可取m=（1，1，0）．于是．‎ 所以，二面角的正弦值为．‎ ‎21．解.(1)==4;‎ 当2时,‎ ‎= ==3+1, ‎ 且=4亦满足此关系,故的通项为=3+1(). ‎ 设的公比为,则==8,故=2,从而=(). ‎ ‎ (2)由定义,==, ‎ 而 = +, ‎ ‎ 2=8+‎ 两式相减,有=8+3(1+)‎ ‎=8+3(2) ‎ ‎22.（Ｉ）由题意知，可得.‎ 椭圆C的方程可化简为.‎ 将代入可得，‎ 因此，可得.‎ 因此，‎ 所以椭圆C的方程为.‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）设，则，‎ 因为直线AB的斜率，‎ 又，所以直线AD的斜率，‎ 设直线AD的方程为，‎ 由题意知，‎ 由，可得.‎ 所以，‎ 因此，‎ 由题意知，，所以，‎ 所以直线BD的方程为，‎ 令，得，即．可得．‎ 所以，即．‎ 因此存在常数使得结论成立.‎ ‎（ⅱ）直线BD的方程，‎ 令，得，即，‎ 由（ⅰ）知，‎ 可得的面积，‎ 因为，当且仅当时等号成立，‎ 此时S取得最大值，所以的面积的最大值为.‎