2017-2018学年安徽省六安市第一中学高二9月月考数学(文)试题(解析版)

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2017-2018学年安徽省六安市第一中学高二9月月考数学(文)试题(解析版)

‎2017-2018学年安徽省六安市第一中学高二9月月考数学(文)试题 一、单选题 ‎1.已知是公差为1的等差数列, 为的前项和,若,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析:由得,解得.‎ ‎【考点】等差数列.‎ 视频 ‎2.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著,书中有如下问题:今有女子善织,日增等尺,七日织二十八尺,第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺,则第九日所织尺数为( )‎ A. 8 B. 9 C. 10 D. 11‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析:该数列为等差数列,且,即,解得.‎ ‎【考点】等差数列,数学文化.‎ ‎3.在等差数列中,若,则的值为( )‎ A. 20 B. 22 C. 24 D. 28‎ ‎【答案】C ‎【解析】由,解得,且,则,故选C.‎ ‎4.在中,内角所对的边分别为,若的面积为,且,则等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析:因为,所以 ‎,代入上式可得,即,因为,所以 ‎ ,所以,所以,故选C.‎ ‎【考点】三角的面积公式;余弦定理;同角三角函数的基本关系式.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了三角的面积公式、余弦定理、同角三角函数的基本关系式等知识点的应用,解答中利用三角形的面积公式和余弦定理,可化简条件为,即,同时熟练掌握余弦定理的解答问题的关键,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,属于基础题.‎ ‎5.已知在中.若的解有且仅有一个,则满足的条件是( )‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】已知在中, ,要使的解有且仅有一个,即三角形形状唯一,有两种情况:①为直角三角形;②为钝角三角形,若为直角三角形, ,可得,此时;若为钝角三角形,可得,综上, 或,故选D.‎ ‎6.在中,内角所对的边分别为,且满足,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析:由题意设,,则,,,∴由余弦定理可得,∴由正弦定理可得,故选:A.‎ ‎【考点】(1)正弦定理;(2)余弦定理.‎ ‎7.已知等差数列的前项和为,若三点共线, 为坐标原点,且(直线不过点),则等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵M、N、P三点共线,O为坐标原点,且(直线MP不过点O),‎ ‎∴a6+a15=1,∴a1+a20=1,‎ ‎∴.‎ 本题选择B选项.‎ ‎8.已知等差数列的前项和为,若的值为一个确定的常数,则下列各数中也是常数的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析:‎ 本题是关于等差数列前项和公式应用的题, 关键是掌握等差数列的性质。首先设等差数列的公差为,根据等差数列的通项公式得出,则是常数。接下来根据等差数列的前项和公式分别表示出各选项中的结果,结合是常数惊醒判断即可。‎ 试题解析:‎ 设等差数列的公差为,则 ‎,‎ 的值是常数,‎ 是常数。‎ 由得不是常数;‎ ‎,则不是常数:‎ ‎,则是常数:‎ ‎,不是常数 故选C ‎9.已知数列满足, (),则使 成立的最大正整数的值为( )‎ A. 198 B. 199 C. 200 D. 201‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为,所以,即该数列是周期为的周期数列,且每个周期内的三个数的和定值为,所以当时, ,当时, ,当时, ,当时, ,应选答案A。‎ 点睛:解答本题的方法是借助题设中提供的四个选择支,运用筛选验证的方法进行分析验证,最终选出适合问题题设条件的答案。‎ ‎10.已知数列满足, ,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】数列满足, , ,‎ ‎,由此猜想,故选A.‎ ‎【方法点睛】本题通过观察数列的前几项,归纳出数列通项来考察归纳推理,属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想). 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类:(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳,解决此类问题时,需要细心观察,寻求相邻项及项与序号之间的关系,同时还要联系相关的知识,如等差数列、等比数列等;(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.‎ ‎11.在中,内角所对的边分别为,已知 ‎, 是线段上一点,且,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由 ,可得解得。‎ 又因为,可得, ,得 填B.‎ ‎12.如图所示,扇形,圆心角等于求,半径为2,在弧上有一动点,过引平行于的直线和交于点,设,求面积的最大值及此时的值.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析:根据题设条件,得,在中,由正弦定理得,得出,根据三角形的面积公式,即可求解面积的最值.‎ 试题解析:∵,∴,,‎ 在中,由正弦定理得,即,∴,‎ 又∵,∴,‎ ‎∴的面积为 ‎,‎ ‎∴当时,的面积取得最大值.‎ ‎【考点】正弦定理;三角形的面积公式以及三角函数的性质.‎ 二、填空题 ‎13.在中边的对角是,若已知则角.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析:先根据正弦定理找到角与边的关系,即用角的正弦表示出边,然后再用余弦定理可求出角的余弦值。‎ 试题解析:‎ 根据正弦定理设, , ‎ ‎,‎ 由余弦定理 故答案角 点睛:在解三角形的题目中运用正弦定理、余弦定理边角互化,将角化边,再利用余弦定理求出角。‎ ‎14.设是等差数列,首项,则使前项和成立的最大整数是.‎ ‎【答案】4032‎ ‎【解析】试题分析:‎ 是等差数列,首项,,可得: 公差,再利用等差数列的前项和其性质即可得出。‎ 试题解析:‎ 是等差数列,首项,,,‎ ‎, 公差 则使前项和成立的最大整数是4032‎ 点睛:根据等差数列的性质求得,转化为和的形式求出最大整数。‎ ‎15.在中, , 是边上的一点, , 的面积为 1,则边的长为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析:因为, ,在中,由余弦定理可得, ‎ ‎,在中,‎ ‎,由正弦定理可得。‎ ‎【考点】正余弦定理 ‎16.已知两个等差数列和的前项和分别为和,且, , 为整数的正整数的取值集合为.‎ ‎【答案】9; ‎ ‎【解析】试题分析:‎ 由等差数列的性质和求和公式可得,可得的取值。‎ 试题解析:‎ 即或或或n,从而n即集合为 故为整数的正整数的取值集合为 点睛:等差数列中可以推导出,通项与和之间的关系,代入即可。‎ 三、解答题 ‎17.等差数列的前项和为,若 ‎(1)求数列的通项公式和前项和;‎ ‎(2)求数列的前24项和.‎ ‎【答案】(1), ;(2).‎ ‎【解析】试题分析:(1)设等差数列的公差为,由,可求出 ,即可求出等差数列的通项公式和前项和;(2)将代人到中即可求出前24项和.‎ 试题解析:‎ ‎(1) 由题得 ‎ ‎ ∴, ‎ ‎(2)当时, ,当时, ‎ ‎∴‎ 方法二:‎ ‎∵,,,‎ ‎∴‎ ‎18.‎ 设函数,正项数列满足, , ,且.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)对,求.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】试题分析:(1)根据已知条件可以推知数列是以为首项,以为公差的等差数列,所以由等差数列的通项公式可得结果;(2)由(1)可知,利用 “裂项相消法”求和即可得结果.‎ 试题解析:(1)由,所以,,且 ∴ 数列是以1为首项,以为公差的等差数列 ‎ ‎∴ ‎ ‎(2)由(1)可知 ‎ ‎ ]‎ ‎ ‎ ‎【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向,突破这一难点的方法是根据式子的结构特点,掌握一些常见的裂项技巧:①;②‎ ‎;③;‎ ‎④ ;此外,需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题,导致计算结果错误.‎ ‎19.已知分别是角的对边,满足 ‎(1)求的值;‎ ‎(2)的外接圆为圆 (在内部), ,判断的形状,并说明理由.‎ ‎【答案】(1);(2)等边三角形.‎ ‎【解析】试题分析:(I)根据正弦定理把化成边的关系可得,约去,即可求得;(II)设中点为,故,圆的半径为,由正弦定理可知,所以,再根据余弦定理求得,据此判断出三角形性质.‎ 试题解析:(I)由正弦定理可知, , 则 ‎,‎ ‎,‎ 可得.‎ ‎(II)记中点为,‎ 故,圆的半径为,‎ 由正弦公式可知,故,‎ 由余弦定理可知, , 由上可得,又,则,故 为等边三角形.‎ ‎【考点】正弦定理、余弦定理解三角形.‎ ‎20.如图,在四边形中, , .‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)若, ,求的面积.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).‎ ‎【解析】试题分析:(Ⅰ)内根据余弦定理,求边长,和,再根据正弦定理求;(Ⅱ)根据面积公式需求,而,最后再根据三角形的面积公式.‎ 试题解析:(1)由,可设, .又∵, ,‎ ‎∴由余弦定理,得,‎ 解得,∴, ,…4分 由正弦定理,得.‎ ‎(2)由(1)得…7分 因为所以 又因为,所以 ‎【考点】1.正余弦定理;2.解三角形.‎ ‎21.已知数列中, ,数列满足.‎ ‎(1)求证:数列是等差数列,写出的通项公式;‎ ‎(2)求数列的通项公式及数列中的最大项与最小项.‎ ‎【答案】(1)详见解析;(2), .‎ ‎【解析】试题分析:(Ⅰ)首先通过已知条件化简变形,凑出这种形式,凑出常数,‎ 就可以证明数列是等差数列,并利用等差数列的通项公式求出通项公式;(Ⅱ)因为与有关,所以利用的通项公式求出数列的通项公式,把通项公式看成函数,利用函数图像求最大值和最小值.‎ 试题解析:(Ⅰ)∵,∴,∴,‎ ‎∴,∴数列是以1为公差的等差数列. 4分 ‎∵,∴,又∵, ,‎ ‎∴是以为首项, 为公差的等差中项.‎ ‎∴, . 7分 ‎(Ⅱ)∵, , .‎ ‎∴作函数的图像如图所示:‎ ‎∴由图知,在数列中,最大项为,最小项为. 13分 另解:,当时,数列是递减数列,且.‎ 列举;;.所以在数列中,最大项为,最小项为.‎ ‎【考点】1.等差数列的证明方法;2.利用函数图像求数列的最值.‎
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