数学文卷·2018届内蒙古北京八中乌兰察布分校高三上学期第二次调研考试（2017

数学文卷·2018届内蒙古北京八中乌兰察布分校高三上学期第二次调研考试（2017

乌兰察布分校 ‎2017-2018学年第一学期第二次调考 高三年级数学（文科）试题 命题人：刘宇 审核人：魏晓燕 分值：150分 时间：120分钟 一、选择题（本题共12小题,每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有1项是符合题意的。）‎ ‎1.已知集合，则 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎2.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，且，则下列命题中的假命题是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若相交，则相交 D. 若相交，则相交 ‎3.已知等比数列满足，则 A. 1‎ B. ‎ C. ‎ D. 4‎ ‎4.已知扇形OAB的面积为1，周长为4，则弦AB的长度为 A. 2‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎5.已知函数的图象过点，则函数的图象一定过点 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎6.已知角且，则 的值为 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎7.已知函数的部分图象如图所示，则分别为 A. B. C. D. ‎ ‎8.函数，满足的x值为 A. 1‎ B. ‎ C. 1或 D. 1或 ‎9.若满足约束条件，则函数的最大值是 A. ‎ B. 0‎ C. 3‎ D. 6‎ ‎10.已知，，且，则的值是 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎11.要得到函数的图象，只需将函数的图象 A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位 ‎12.在中，边上的高等于，则 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分）‎ ‎14.已知向量若向量与垂直，则实数______．‎ ‎15.已知是正数，且，则的最小值是 .‎ ‎16.已知圆，直线l：，若圆上恰有4个点到直线l的 距离都等于1，则b的取值范围为 .‎ 三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，17-21题,每题12分,22题和23题各10分,其中解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎18.某市为节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，为了较为合理地确定居民日常用量的标准，通过抽样获得了100位居民某年的月均用水量单位：吨，下表是100位居民月均用水量的频率分布表，根据下表解答下列问题： 求表中a和b的值； 请将频率分布直方图补充完整，并根据直方图估计该市每位居民月均用水量的众数、中位数、平均数．（结果精确到0.1） ‎ 分组 频数 频率 ‎10‎ b ‎20‎ a ‎20‎ ‎10‎ ‎10‎ 合计 ‎100‎ ‎ ‎ ‎19.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，‎ 底面、N分别 ‎ 为PC、PB的中点． ‎ 求证：平面PAD； 求证：． ‎ ‎20.如图，已知椭圆C：的离心率是，一个顶点是． Ⅰ求椭圆C的方程； Ⅱ设是椭圆C上异于点B的任意两点，且试问：直线PQ是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．‎ ‎ 21.已知函数 若，讨论的单调性； 若，证明：当时，．‎ 请在22题和23题中任选一题作答,如果多做,则按所选的第一题给分.‎ ‎22.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为为参数，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为． Ⅰ写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； Ⅱ若点P的直角坐标为，曲线C与直线l交于两点，求的值． ‎ ‎23.已知函数． 当时，求不等式的解集； 若的解集包含，求实数a的取值范围． ‎ ‎ ‎ 高三二调文科数学答案 一、 选择题：‎ 1. B 2.D 3.B 4.C 5.D 6.A 7.A 8.D 9.D 10.D 11. A 12.B 二、 填空题：‎ ‎12. -3 14. 0 15. 16 16. ‎ 三、 解答题：‎ ‎17.解：（1）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）解： ‎ ‎ ‎ ‎18.解：（1）由频率分布表得出第二小组的频数为：20， a=20； ‎ 由频率分布表得出第四小组的频率为：0.20 b=0.20．…（4分）  （2）众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标，  ∴中间的第三个矩形最高，故2与3的中点是2.5，众数是2.5 ‎ ‎ 即根据直方图估计该市每位居民月均用水量的众数为2.5…（8分）‎ 中位数是频率分布直方图的面积等分线横坐标：2+2/3≈2.7 ‎ 平均数是每个小矩形底边中点横坐标乘以小矩形面积，最后求和：‎ ‎ ‎ ‎19.证明：（1）因为M、N分别为PC、PB的中点，  所以MN∥BC，且MN=BC．（1分）  又因为AD∥BC，所以MN∥AD．（2分）  又AD⊥平面PAD，MNË平面PAD，所以MN∥平面PAD．（4分）  （2）因为AN为等腰DABP底边PB上的中线，所以AN⊥PB．（5分）  因为PA⊥平面ABCD，ADÌ平面ABCD，所以AD⊥PA．  又因为AD⊥AB，且AB∩AP=A，所以AD⊥平面PAB．  又PB⊂平面PAB，所以AD⊥PB．（6分）  因为AN⊥PB，AD⊥PB，且AN∩AD=A，所以PB⊥平面ADMN．（7分） 又DM⊂平面ADMN，所以PB⊥DM．（8分）‎ ‎20.（Ⅰ）解：设椭圆C的半焦距为c．依题意，得b=1，（1分）  且 ，（3分） 解得 a2=4．（4分） ‎ ‎ 所以，椭圆C的方程是．（5分）  （Ⅱ）证法一：易知，直线PQ的斜率存在，设其方程为y=kx+m．（6分）  将直线PQ的方程代入x2+4y2=4，  消去y，整理得 （1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0．（8分）  设 P（x1，y1），Q（x2，y2），  则 ，．①（9分）  因为 BP⊥BQ，且直线BP，BQ的斜率均存在，  所以 ，整理得 x1x2+y1y2-（y1+y2）+1=0．② 因为 y1=kx1+m，y2=kx2+m，  所以 y1+y2=k（x1+x2）+2m，．③  将③代入②，整理得．④ 将①代入④，整理得 5m2-2m-3=0．  解得 ，或m=1（舍去）．  所以，直线PQ恒过定点．（12分）  证法二：直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为y=kx+1．（6分）  将直线BP的方程代入x2+4y2=4，消去y，得 （1+4k2）x2+8kx=0．（8分）  解得 x=0，或．（9分）  设 P（x1，y1），所以，，  所以 ．（10分） ‎ ‎ 以替换点P坐标中的k，可得 ．（11分）  从而，直线PQ的方程是 ．  依题意，若直线PQ过定点，则定点必定在y轴上． 在上述方程中，令x=0，解得．  所以，直线PQ恒过定点．（12分）‎ ‎21.解：（1）当m=0时，f（x）=ex-2x．f'（x）=ex-2，令f'（x）＞0，得x＞ln2． 易知f（x）在（-∞，ln2）上单调递减，f（x）在（ln2，+∞）上单调递增．  （2）证明：f'（x）=ex-2mx-2，．  当x∈[0，+∞）时，ex≥1＞e-2，故f''（x）＞0，故f'（x）单调递增． 又，  故存在唯一的x0∈（0，1），使得f'（x0）=0，即，  且当x∈（0，x0）时，f'（x）＜0，故f（x）单调递减，  当x∈（x0，+∞）时，f'（x）＞0，故f（x）单调递增．  故．  因为x=x0是方程的根，故．  故．  令，，．  故g'（x）在（0，1）上单调递减，故，  故g（x）在（0，1）上单调递减，  ∴，故．‎ ‎22.解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数，可得直线l的普通方程为：x+y-=0   …（2分）  曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ，即ρ2=6ρcosθ，化为直角坐标方程为x2+y2=6x， 即圆C的直角坐标方程为：（x-3）2+y2=9…（5分）  （Ⅱ）把直线的参数方程代入圆C的方程，化简得：t2+2t-5=0…所以，t1+t2=-2，t1t2=-5＜0  所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|==…（10分）‎ ‎23.解：（1）当a=-4时，求不等式f（x）≥6，即|x-4|+|x-2|≥6，  而|x-4|+|x-2|表示数轴上的x对应点到4、2对应点的距离之和，  而0和6对应点到4、2对应点的距离之和正好等于6，故|x-4|+|x-2|≥6的解集为{x|x≤0，或x≥6}．  （2）原命题等价于f（x）≤|x-3|在[0，1]上恒成立，即|x+a|+2-x≤3-x在[0，1]上恒成立，  即-1≤x+a≤1，即-1-x≤a≤1-x在[0，1]上恒成立，即-1≤a≤0．‎