2021版高考数学一轮复习核心素养测评七对数与对数函数苏教版
核心素养测评七 对数与对数函数
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是 ( )
(参考数据:lg 3≈0.48)
A.1033 B.1053 C.1073 D.1093
【解析】选D.设=x=,两边取对数,lg x=lg=lg 3361-lg 1080=361×lg 3-80≈93.28,所以x=1093.28,即与最接近的是1093.
2.设函数f(x)=loga|x|在(-∞,0)上单调递增,则下列说法正确的是 ( )
A.f(a+1)>f(2) B.f(a+1)
f(1)
【解析】选AD.因为f(x)=loga|x|在(-∞,0)上单调递增,所以0f(1)且f(a+1)>f(2).
3. (2020·宿迁模拟)已知3a=e,b=log35-log32,c=2ln,则a,b,c的大小关系
为 ( )
A.a>c>b B.b>c>a
C.c>a>b D.c>b>a
【解析】选C.由a=log3e<1,b=log31,则c>a>b.故选C.
4.若函数y=a|x|(a>0且a≠1)的值域为{y|y≥1},则函数y=loga|x|的图象大致
是 ( )
- 8 -
【解析】选B.由于y=a|x|的值域为{y|y≥1},所以a>1,则y=loga|x|在(0,+∞)上是增函数,又函数y=loga|x|的图象关于y轴对称.因此y=loga|x|的图象应大致为选项B.
5.(2020·宁德模拟)已知函数f(x)=lg(|x|+1),记a=f(50.2),b=f(log0.23),c=f(1),则a,b,c的大小关系为 ( )
A.b50=1,00.
所以x>1或x<-1,所以定义域为{x|x>1或x<-1}.
又因为ln =ln =ln ,
因为1+>0且1+≠1,
所以ln ≠0,
所以f(x)的值域为∪.
答案:{x|x>1或x<-1} ∪
【变式备选】
函数f(x)=的定义域为________.
【解析】由题意得解得00,且a≠1.
(1)求f(x)的定义域.
(2)判断f(x)的奇偶性,并予以证明.
(3)当a>1时,求使f(x)>0的x的取值范围.
【解析】(1)因为f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),
所以解得-11时,f(x)在定义域{x|-10,得>1,
解得00且a≠1).
(1)求f(x)的定义域.
(2)判断函数f(x)的单调性.
【解析】(1)由ax-1>0,得ax>1,
当a>1时,x>0;
当01时,f(x)的定义域为(0,+∞);
当01时,设01时,f(x)在(0,+∞)上是增函数.
类似地,当0b>c>1,且aclogb c>logc a
B.logc b>logb a>loga c
C.logb c>loga b>logc a
D.logb a>logc b>loga c
【解析】选B.方法一:取a=5,b=4,c=3代入验证知选项B正确.
方法二:对选项A,
由a>b>c>1,从而loga blogc c=1,从而选项A错误;
对选项B,首先logc b>logc c=1,logb a>logb b=1,loga c=0,
从而logcb>logb a,选项B正确;
- 8 -
对于选项C,由loga blogc c=1,知C错误;
对于选项D,由选项B可知logc b>logb a,从而选项D错误.
2.(5分) (2020·徐州模拟)已知函数f(x)=ln x+ln(a-x)的图象关于直线x=1对称,则函数f(x)的值域为 ( )
A.(0,2) B.[0,+∞)
C.(-∞,2] D.(-∞,0]
【解析】选D.因为函数f(x)=ln x+ln(a-x)的图象关于直线x=1对称,
所以f(1-x)=f(1+x),
即ln(1-x)+ln(a-1+x)
=ln(1+x)+ln(a-1-x),
所以(1-x)(a-1+x)=(1+x)(a-1-x),
整理得(a-2)x=0恒成立,
所以a=2,所以f(x)=ln x+ln(2-x),定义域为(0,2).
又f(x)=lnx+ln(2-x)=ln(2x-x2),
因为0b>1,若logab+logba=,ab=ba,则a=______,b=________.
【解析】由于a>b>1,则logab∈(0,1),因为logab+logb a=,即logab+=,所以logab=或logab=2(舍去),所以=b,即a=b2,所以ab=(b2)b=b2b=ba,所以a=2b,b2=2b,
所以b=2(b=0舍去),a=4.
答案:4 2
4.(10分)设f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a>0,a≠1),且f(1)=2.
(1)求a的值及f(x)的定义域.
(2)求f(x)在区间上的最大值.
- 8 -
【解析】(1)因为f(1)=2,所以loga4=2(a>0,a≠1),所以a=2.由得-10且a≠1,设t(x)=3-ax,
则t(x)=3-ax为减函数,
当x∈[0,2]时,t(x)的最小值为3-2a,
当x∈[0,2]时,f(x)恒有意义,
即当x∈[0,2]时,3-ax>0恒成立.
所以3-2a>0.所以a<.又a>0且a≠1,
所以a的取值范围是(0,1)∪.
(2)t(x)=3-ax,因为a>0,且a≠1,
所以函数t(x)为减函数.
因为f(x)在区间[1,2]上为减函数,
所以y=logat为增函数,
所以a>1,x∈[1,2]时,t(x)最小值为3-2a,
f(x)最大值为f(1)=loga(3-a),
- 8 -
所以即
故不存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1.
- 8 -
