数学（文）卷·2018届湖北省沙市中学高三上学期第四次双周考（2018

数学（文）卷·2018届湖北省沙市中学高三上学期第四次双周考（2018

‎2017—2018学年上学期2015级 第四次双周练文数试卷 考试时间：2018年1月18日 ‎ 一、选择题:‎ ‎．C ‎．复数的虚部为 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎．C 解：错，其余都对 ‎．下列几个命题中真命题的个数为 ‎ ，若，则；‎ ‎ 与函数的图象相同；‎ ‎ 抛两枚均匀的骰子，恰好出现一奇一偶的概率为；‎ ‎ 方程表示双曲线的一个充分不必要条件是．‎ A．1 B．2 C．3 D．4 ‎ ‎．B ‎ ‎．已知向量，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 A． B． C． D． ‎ ‎．D ‎．执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的属于 ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎．A 【解析】本题考查函数图象及其性质.由y=-2x2+2|x|知函数为偶函数,即其图象关于y轴对称,故可排除B,D.又当x=2时,y=-2·(-2)2+22=-4.所以,C是错误的，故选择A.‎ ‎．函数在的图象大致为 ‎ ‎ ‎ ‎．A ‎．从区间随机抽取个数,，…，，，，…，，构成n个数对 ‎，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为 A． B． C． D．‎ ‎．Ｂ ‎．设,其中实数满足,若的最大值为6，则的最小值为 ‎ A． B． C． D．0‎ ‎．B ‎．已知定义域为R的奇函数y = f (x)的导函数为，当x≠0时，，若，，则a、b、c的大小关系正确的是 A．a < c < b B． b < c < a C．a < b < c D．c < a < b ‎．A 解：由题设知∠BOC=2∠BAC,∴sin∠BAC=，cos∠BAC= ，由可得，∴‎ ‎．如图，在锐角△ABC中，D为BC边的中点，且,,‎ 为△ABC外接圆的圆心，且.则的面积为 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎．B ‎．如图，格纸上小正方形边长为1，粗线是一个四棱锥的三视图，则此棱 ‎ 锥的表面积为 A． B． C． D． ‎ ‎．D ‎ ‎．过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若E为线段PF的中点，则双曲线的离心率等于 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎．C ‎．在数列中，，，若对任意，都有，成立，则 A． B． C． D．‎ 二．填空题：‎ ‎．‎ ‎．已知是第三象限角，且，则　 ▲ 　 ．‎ ‎．‎ ‎．已知集合，．‎ ‎ 若，则实数的取值范围是 ▲ ．‎ ‎． 解：，，∴ ‎ ‎．已知函数的部分图像如图所示，‎ 令，则　 ▲ 　 ．‎ ‎． 解：‎ ‎．已知函数有唯一零点，则实数的取值范围是 ▲ ．‎ 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎．（2018《考试说明》P44）解：（1）；‎ ‎（2）在锐角中，，，∴‎ ‎．(本小题满分12分)已知在锐角中，．‎ ‎(Ⅰ)求角的值；(Ⅱ)求函数的值域．‎ ‎2‎ ‎4‎ A B C D E M 直观图 侧视图 俯视图 ‎．(Ⅰ)证：∵M为DB的中点，取BC中点G，连接EM、MG、AG，则 MG∥DC，且 2分 ∴MG∥AE且MG = AE 4分 故四边形AGME为平行四边形，∴EM∥AG 6分 又AG⊂平面ABC，EMË平面ABC，∴EM∥平面ABC． 8分 ‎(Ⅱ) 解：由己知，AE = 2，DC = 4，AB⊥AC，且AB = AC = 2，∵EA⊥平面ABC，∴EA⊥AB 又AB⊥AC，∴AB⊥平面ACDE，∴AB是四棱锥B－ACDE的高 10分 梯形ACDE的面积 ∴，即所求几何体的体积为4． 12分 ‎．(本小题满分12分) 如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示． (Ⅰ) 求证：EM∥平面ABC； (Ⅱ) 求出该几何体的体积． ‎ 分组 支持 “生育二孩放开”政策的人数 占本组的频率 ‎[5,15)‎ ‎4‎ ‎0.8‎ ‎[15,25)‎ ‎5‎ ‎[25,35)‎ ‎12‎ ‎0.8‎ ‎[35,45)‎ ‎8‎ ‎0.8‎ ‎[45 ,55)‎ ‎2‎ ‎0.4‎ ‎[55,65]‎ ‎1‎ ‎0.2‎ ‎．解：(Ⅰ)从岁这一年龄组中抽取的人数为，且频率为，‎ ‎ ∴； 2分 又第二组的频率为，则第二组人数为10人，∴ 4分 平均数（岁） 6分 ‎(Ⅱ) 列联表如下：‎ 年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计 支持 ‎3‎ ‎29‎ ‎32‎ 不支持 ‎7‎ ‎11‎ ‎18‎ 合计 ‎10‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎，‎ ‎∴没有99%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“生育二孩放开”政策的支持度有关系。‎ ‎．(本小题满分12分) 为了解人们对新颁布的“生育二孩放开”政策的热度，现在某市进行调查．对岁的人群随机抽取了人，得到如下统计表和各年龄段抽取人数的频率分布直方图：‎ ‎(Ⅰ)求，的值，并由频率分布直方图估计被调查人群的平均年龄；‎ ‎(Ⅱ)根据以上统计数据填下面2×2列联表，并根据列联表的独立性检验，判断能否有99%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“生育二孩放开”政策的支持度有关系？‎ 年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计 支持 不支持 合计 ‎0．050‎ ‎0．010‎ ‎0．001‎ ‎3．841‎ ‎6．635‎ ‎10．828‎ ‎ 参考数据： ‎ ‎，‎ 其中 ‎． (Ⅰ)解：由已知，动点P在直线上方，条件可转化为动点P到定点F(0，1)的距离等于它到直线距离 1分 ∴动点P的轨迹是以F(0，1)为焦点，直线为准线的抛物线 故其方程为． 3分 ‎(Ⅱ)证：设直线AB的方程为：，由得： 4分 设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则 5分 ∴，∴； 6分 ‎(Ⅲ)证明：，∴设切线的方程为， 7分 化简后可得，‎ 将点M，N的纵坐标分别代入直线方程，得， 9分 ‎∵，∴，，11分 ‎∴，∴点在抛物线上移动时，恒为定值1． 12分 ‎．(本小题满分12分)动点P到定点F(0，1)的距离比它到直线的距离小1，设动点P的轨迹为曲线，过点的直线交曲线C于A、B两个不同的点． (Ⅰ) 求曲线C的方程； (Ⅱ) 求的值（其中为坐标原点）；‎ ‎(Ⅲ) 已知直线为曲线的准线，直线是曲线的通径所在的直线，过上一点 作直线与曲线相切，若直线与直线相交于点，与直线相交于点，证明：点在曲线上移动时，恒为定值，并求出此定值．‎ ‎．(Ⅰ) 分析：同一条直线和两条曲线相切，不是切于同一点，故需要分别设出两个切点坐标，再找等量关系。‎ ‎ 解：设直线分别与函数和的图象切于点，则，，且，∴， 2分 ‎∵，∴，解得：，4分 ‎∴， 6分 ‎(Ⅱ)证：，‎ 对任意x > 0，等价于， 7分 令，则，由得：， 8分 ∴当x∈(0，)时，，p (x)单调递增，当x∈(，＋∞)时，，p (x)单调递减 图象如图，所以p (x)的最大值为，即 10分 设，则，∴当x∈(0，＋∞)时，q (x)单调递增，q (x) > q (0) = 0 故当x∈(0，＋∞)时，，即 11分 ∴，∴对任意x > 0，都有． 12分 ‎．(本小题满分12分)已知函数，，直线是函数和图象的公切线．‎ ‎ (Ⅰ)求实数的值； (Ⅱ)设，证明：对任意x > 0，都有． (注：)‎ ‎．‎ ‎．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：，过点的直线l的参数方程为： (t为参数)，直线l与曲线C分别交于M、N两点． (Ⅰ)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程； (Ⅱ)若| PM |，| MN |，| PN |成等比数列，求a的值．‎ ‎．（Ⅰ）∵对任意恒成立，而，∴，‎ 则存在，使得，又∵，∴，‎ 解得. …………5分 ‎ ‎ ‎．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 ‎(Ⅰ)若存在，使得对任意恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎ (Ⅱ)若对任意恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎． (Ⅰ)解：由已知，动点P在直线上方，条件可转化为动点P到定点F(0，1)的距离等于它到直线距离 1分 ∴动点P的轨迹是以F(0，1)为焦点，直线为准线的抛物线 故其方程为． 3分 ‎(Ⅱ)证：设直线AB的方程为：，由得： 4分 设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则 5分 ∴，∴； 6分 ‎(Ⅲ)证明：，∴设切线的方程为， 7分 化简后可得，‎ 将点M，N的纵坐标分别代入直线方程，得， 9分 ‎∵，∴，，11分 ‎∴，∴点在抛物线上移动时，恒为定值1． 12分 ‎．(本小题满分12分)动点P到定点F(0，1)的距离比它到直线的距离小1，设动点P的轨迹为曲线，过点的直线交曲线C于A、B两个不同的点． (Ⅰ) 求曲线C的方程； (Ⅱ) 求的值（其中为坐标原点）；‎ ‎(Ⅲ) 已知直线为曲线的准线，直线是曲线的通径所在的直线，过上一点作直线与曲线相切，若直线与直线相交于点，与直线相交于点，证明：点在曲线上移动时，恒为定值，并求出此定值．‎ ‎．(Ⅰ) 分析：同一条直线和两条曲线相切，不是切于同一点，故需要分别设出两个切点坐标，再找等量关系。‎ ‎ 解：设直线分别与函数和的图象切于点，则，，且，∴， 2分 ‎∵，∴，解得：，4分 ‎∴， 6分 ‎(Ⅱ)证：，‎ 对任意x > 0，等价于， 7分 令，则，由得：， 8分 ∴当x∈(0，)时，，p (x)单调递增，当x∈(，＋∞)时，，p (x)单调递减 图象如图，所以p (x)的最大值为，即 10分 设，则，∴当x∈(0，＋∞)时，q (x)单调递增，q (x) > q (0) = 0 故当x∈(0，＋∞)时，，即 11分 ∴，∴对任意x > 0，都有． 12分 ‎．(本小题满分12分)已知函数，，直线是函数和图象的公切线．‎ ‎ (Ⅰ)求实数的值； (Ⅱ)设，证明：对任意x > 0，都有． (注：)‎ ‎．‎ ‎．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：，过点的直线l的参数方程为： (t为参数)，直线l与曲线C分别交于M、N两点． (Ⅰ)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程； (Ⅱ)若| PM |，| MN |，| PN |成等比数列，求a的值．‎ ‎．（Ⅰ）∵对任意恒成立，而，∴，‎ 则存在，使得，又∵，∴，‎ 解得. …………5分 ‎ ‎ ‎．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 ‎(Ⅰ)若存在，使得对任意恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎ (Ⅱ)若对任意恒成立，求实数的取值范围．‎