2016-2017学年高二人教A版数学必修五：第三章不等式 复习+练习

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2016-2017学年高二人教A版数学必修五：第三章不等式 复习+练习

第三章　不等式 一、不等关系与不等式 ‎1．实数大小顺序与运算性质之间的关系：‎ a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b．‎ ‎2．不等式的基本性质 性质 性质内容 注意 对称性 a>b⇔bb，b>c⇒a>c ‎⇒‎ 可加性 a>b⇒a＋c>b＋c ‎⇒‎ 可乘性 ⇒ac>bc c的 符号 ⇒acb＋d ‎⇒‎ 同向同正可乘性 ⇒ac>bd ‎⇒‎ 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)‎ 同正 可开方性 a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)‎ ‎（1）使用不等式性质时应注意的问题：‎ 在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．如“同向不等式”才可相加，“同向且两边同正的不等式”才可相乘；可乘性中“c的符号”等也需要注意．‎ ‎（2）作差法是比较两数(式)大小的常用方法，也是证明不等式的基本方法．要注意强化化归意识，同时注意函数性质在比较大小中的作用．‎ 例1已知实数a、b、c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a、b、c的大小关系是(　　)．‎ A．c≥b＞a B．a＞c≥b C．c＞b＞a D．a＞c＞b 答案：A　‎ 解析：c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0，∴c≥b．‎ 将题中两式作差得2b＝2＋2a2，即b＝1＋a2．‎ ‎∵1＋a2－a＝2＋＞0，∴1＋a2＞a．‎ ‎∴b＝1＋a2＞a．∴c≥b＞a．‎ 例2若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论：①ad＞bc；②＋＜0；③a－c＞b－d；‎ ‎④a(d－c)＞b(d－c)中成立的个数是(　　)．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 答案：C 解析：∵a＞0＞b，c＜d＜0，∴ad＜0，bc＞0，‎ ‎∴ad＜bc，故①错误．‎ ‎∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0，‎ ‎∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，‎ ‎∴a(－c)＞(－b)(－d)，‎ ‎∴ac＋bd＜0，∴＋＝＜0，故②正确．‎ ‎∵c＜d，∴－c＞－d，‎ ‎∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－d)，‎ a－c＞b－d，故③正确．‎ ‎∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)，‎ 故④正确，故选C．‎ 例3若α，β满足试求α＋3β的取值范围．‎ 解：设α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β)＝(x＋y)α＋(x＋2y)β．‎ 则解得 ‎∵－1≤－(α＋β)≤1，2≤2(α＋2β)≤6，‎ 两式相加，得1≤α＋3β≤7．‎ ‎∴α＋3β的取值范围为[1，7]．‎ 训练1已知函数f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4．求f(－2)的取值范围．‎ 解：f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，f(－2)＝4a－2b．‎ 设m(a＋b)＋n(a－b)＝4a－2b．‎ 则解得 ‎∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)．‎ ‎∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，‎ ‎∴5≤f(－2)≤10，即f(－2)的取值范围为[5，10]．‎ 二、一元二次不等式及其解法 ‎1．一元二次不等式的解集 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根与一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0与 ax2＋bx＋c＜0的解集的关系，可归纳为：‎ 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0‎ Δ＝0‎ Δ＜0‎ 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根 有两相异实根 x＝x1或x＝x2‎ 有两相同实根 x＝x1‎ 无实根 一元 二次不等式的解集 ax2＋bx＋c＞0‎ ‎(a＞0)‎ ‎{x|x＜x1或x＞x2}‎ ‎{x|x≠x1}‎ R ax2＋bx＋c＜0‎ ‎(a＞0)‎ ‎{x|x1＜x＜x2}‎ ‎∅‎ ‎∅‎ 若a＜0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解．‎ 解一元二次不等式应注意的问题：‎ ‎（1）在解一元二次不等式时，要先把二次项系数化为正数；‎ ‎（2）二次项系数中含有参数时，参数的符号会影响不等式的解集，讨论时不要忘记二次项系数为零的情况；‎ ‎（3）解决一元二次不等式恒成立问题要注意二次项系数的符号；‎ ‎（4）一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程的根及相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标相同．‎ 例1解下列不等式：‎ ‎（1）0＜x2－x－2≤4；‎ ‎（2）x2－4ax－5a2＞0(a≠0)；‎ ‎（3）ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)．‎ 解：（1）原不等式等价于⇔⇔⇔．‎ 借助于数轴，如图所示，‎ 原不等式的解集为．‎ ‎（2）由x2－4ax－5a2＞0知(x－5a)(x＋a)＞0．‎ 由于a≠0故分a＞0与a＜0讨论．‎ 当a＜0时，x＜5a或x＞－a；‎ 当a＞0时，x＜－a或x＞5a．‎ 综上，a＜0时，解集为；a＞0时，解集为．‎ ‎（3）原不等式变为(ax－1)(x－1)＜0，‎ 因为a＞0，所以(x－1)＜0．‎ 所以当a＞1时，解为＜x＜1；‎ 当a＝1时，解集为∅；‎ 当0＜a＜1时，解为1＜x＜．‎ 综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为；‎ 当a＝1时，不等式的解集为∅；‎ 当a＞1时，不等式的解集为．‎ 总结：解形如 且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：‎ ‎（1）讨论与0的大小；‎ ‎（2）讨论与0的大小；‎ ‎（3）讨论两根的大小．‎ ‎2．一元二次不等式恒成立问题 ‎（1）对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．‎ ‎（2）一元二次不等式恒成立的条件：‎ ①ax2＋bx＋c＞0(a≠0)(x∈R)恒成立的充要条件是：a＞0且b2－4ac＜0．‎ ②ax2＋bx＋c＜0(a≠0)(x∈R)恒成立的充要条件是：a＜0且b2－4ac＜0．‎ 例1若(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)＜0对任何实数x恒成立，则实数m的取值范围是(　　)．‎ A．(1，＋∞) B．(－∞，－1)‎ C． D．∪(1，＋∞)‎ 答案：C　‎ 解析：①m＝－1时，不等式为2x－6＜0，即x＜3，不合题意．‎ ‎②m≠－1时，解得m＜－．‎ 例2某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加x成．要求售价不能低于成本价．‎ ‎（1）设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域；‎ ‎（2）若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围．‎ 解：（1）由题意得y＝100•100．‎ 因为售价不能低于成本价，‎ 所以100－80≥0．‎ 所以y＝f(x)＝20(10－x)(50＋8x)，定义域为[0，2]．‎ ‎（2）由题意得20(10－x)(50＋8x)≥10260，‎ 化简得8x2－30x＋13≤0．‎ 解得≤x≤．‎ 所以x的取值范围是．‎ ‎3．整式不等式（高次不等式）的解法 穿根法（零点分段法）‎ 求解不等式：‎ 解法：①将不等式化为a0(x－x1)(x－x2)…(x－xm)＞0(＜0)形式，并将各因式x的系数化“＋”；‎ ‎②求根，并将根按从小到大的在数轴上从左到右的表示出来；‎ ‎③由右上方穿线（即从右向左、从上往下：偶次根穿而不过，奇次根一穿而过），经过数轴上表示各根的点；‎ ‎④若不等式（x的系数化“＋”后）是“＞0”，则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“＜0”，则找“线”在x轴下方的区间．‎ ‎+‎ ‎——‎ ‎+‎ ‎+‎ ‎——‎ x x1‎ x2‎ x3‎ xn-2‎ xn-1‎ xn ‎+‎ ‎（自右向左正负相间）‎ 例题不等式的解集．‎ 解：将原不等式因式分解为：，‎ 由方程：解得，‎ 将这三个根按从小到大顺序在数轴上标出来，如图，‎ ‎+‎ ‎+‎ ‎-2‎ ‎1‎ ‎4‎ x 由图可看出不等式的解集为：．‎ ‎4．分式不等式的解法 ‎（1）标准化：移项通分化为＞0(或＜0)；≥0(或≤0)的形式；‎ ‎（2）转化为整式不等式（组）．‎ 例1求不等式≥1的解集．‎ 解：移项通分得≥0，解得，‎ ‎∴不等式的解集为[－1，1)．‎ ‎5．含绝对值不等式的解法 基本形式：‎ ‎①型如：|x|＜a(a＞0)的不等式的解集为：；‎ ‎②型如：|x|＞a(a＞0)的不等式的解集为：，或；‎ 变型：‎ 型的不等式的解集可以由解得．其中－c＜ax+b＜c等价于不等式组，在解－c＜ax+b＜c时注意a的符号；‎ 型的不等式的解法可以由，或来解．‎ ‎③对于含有两个或两个以上的绝对值的不等式：用“零点分区间法”分类讨论来解；‎ ‎④绝对值不等式解法中常用几何法：即根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题．‎ ‎3‎ ‎2‎ x 例题求解不等式：‎ 解：零点分类讨论法：‎ 分别令和，‎ 解得：和，‎ 在数轴上，－3和2就把数轴分成了三部分，如右上图；‎ ‎①当时，（去绝对值符号）原不等式化为：‎ ‎；‎ ‎②当时，（去绝对值符号）原不等式化为：‎ ‎；‎ ‎③当时，（去绝对值符号）原不等式化为：‎ ‎；‎ 由①②③得原不等式的解集为：．‎ 三、线性规划问题 ‎1．二元一次不等式所表示的平面区域的判断 取点定域法 由于直线的同一侧的所有点的坐标代入 后所得的实数的符号相同．所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点（如原点），由的正负即可判断出或表示直线哪一侧的平面区域．‎ 即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点．‎ ‎2．二元一次不等式组所表示的平面区域 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．‎ ‎3．利用线性规划求目标函数（为常数）的最值 法一：角点法 如果目标函数（即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应值，最大的那个数为目标函数的最大值，最小的那个数为目标函数的最小值．‎ 法二：画——移——定——求 第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线，平移直线（据可行域，将直线平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解；第四步，将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．‎ 第二步中最优解的确定方法：‎ 利用的几何意义：，为直线的纵截距．‎ ‎①若，则使目标函数所表示直线的纵截距最大的角点处，取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，取得最小值；‎ ‎②若，则使目标函数所表示直线的纵截距最大的角点处，取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，取得最大值．‎ ‎4．常见的目标函数的类型：‎ ‎①“截距”型：；‎ ‎②“斜率”型：或；‎ ‎③“距离”型：或，或．‎ 在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化．‎ 例1点(1，2)和点(－1，3)在直线2x＋ay－1＝0的同一侧，则实数a的取值范围是________．‎ 答案：(－∞，－)∪(1，＋∞)‎ 解析：(2a＋1)(3a－3)＞0，∴a＜－或a＞1．‎ 例2设z＝2x＋y，式中变量x、y满足条件，求z的最大值和最小值．‎ 解：作出不等式组表示的平面区域（即可行域），如图所示．‎ 把z＝2x＋y变形为y＝－2x＋z，得到斜率为－2，在y轴上的截距为z，随z变化的一族平行直线．‎ 由图可看出，当直线z＝2x＋y经过可行域上的点A时，截距z最大，经过点B时，截距z最小．‎ 解方程组得A点坐标为(5，2)，‎ 解方程组得B点坐标为(1，1)，‎ 所以zmax＝2×5＋2＝12，zmin＝2×1＋1＝3．‎ 例3已知x、y满足，求：‎ ‎（1）z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；‎ ‎（2）z＝的取值范围．‎ 解：作出可行域，如图．‎ 并求出点A、B的坐标分别为(1，3)、(3，1)．‎ ‎（1）z＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0，5)的距离的平方，过M作直线AC的垂线MN，垂足为N，则：‎ zmin＝|MN|2＝()2＝．‎ ‎（2）z＝＝表示可行域内任一点(x，y)与定点Q(－1，－1)连线的斜率，可知，kAQ最大，kQB最小．而kQA＝＝2，kQB＝＝．∴z的取值范围为[，2]．‎ 例4若直线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件，则实数m的最大值为 ．‎ 答案：1‎ 解析：由约束条件作出其可行域，如图．‎ 由图可知当直线x＝m过点P时，m取得最大值，‎ 由，得，‎ ‎∴P(1，2)，此时x＝m＝1．‎ 例5实数满足不等式组，且取最小值的最优解有无穷多个，则实数a的取值是 ．‎ 答案：1‎ 解析：如图所示，要使目标函数取得最小值的最优解有无穷多个，则令ax+y=0，并平移过点C（可行域最左侧的点）的边界重合即可，注意到a＞0，只能与AC重合，所以a＝1．‎ 例6某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知每种产品生产1吨所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可分别获利润3万元、4万元，求该企业每天可获得最大利润．‎ 甲 乙 原料限额 A(吨)‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎12‎ B(吨)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎8‎ 解：设该企业每天生产x吨甲产品，y吨乙产品，可获得利润为R万元，则由题意有R＝3x＋4y，同时满足，由此可得可行区域如图中阴影部分所示．‎ 由y＝－x＋R可得，当过点(2，3)时，利润可取得最大值，‎ Rmax＝3×2＋4×3＝18(万元)．‎ 三、基本不等式 ‎1．重要不等式：如果，那么（当且仅当时取等号）．‎ ‎2．基本不等式：如果是正数，那么（当且仅当时取等号）．‎ 基本不等式的几个重要变形：‎ ①； ②．‎ 要点诠释：和两者的异同：‎ ‎（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数．‎ ‎（2）取等号的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”．‎ ‎（3）可以变形为：；可以变形为：‎ ‎．‎ ‎（4）在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数．因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．‎ ‎（5）如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．‎ ‎3．用基本不等式求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件（一正二定三取等）：‎ ‎①一正：函数的解析式中，各项均为正数；‎ ‎②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；‎ ‎③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．‎ 例1下列命题正确的是（ ）．‎ A．函数的最小值为2 B．函数的最小值为2‎ C．函数最大值为 D．函数 的最小值为2‎ 答案：C 解析：A选项中，∵，∴当时，由基本不等式得，当时，．‎ ‎∴A错误．B选项中，∵的最小值为2（当且仅当时成立）但是，∴这是不可能的，B错误．C选项中，∵，‎ ‎∴ ，故C正确．‎ 例2若,求的最大值．‎ 解：因为，所以，由基本不等式得：‎ ‎，‎ 当且仅当即时取等号，故当时，取得最大值．‎ 变式训练已知，求证：．‎ 证明：，‎ 当且仅当即时，等号成立．‎ 例3已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，求y＝的最小值．‎ 解: ∵，，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 例4设，,求的最小值．‎ 错解：因为，所以．‎ 分析：出现错误的原因是两次取等号的条件不能同时成立，取到等号时，与矛盾．‎ 正解：，‎ 令，则，根据对勾函数的单调性，在时取到最小值.‎ 例5已知，且．‎ ‎（1）若则的值为 ．‎ ‎（2）求证：．‎ 解：（1）由题意可得带入计算可得．‎ ‎（2）证明：由题意和基本不等式可得，，；‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎．‎ ‎∴．‎ 例6某农场有废弃的猪圈，留有一面旧墙长12m，现准备在该地区重新建立一座猪圈，平面图为矩形，面积为112m2，预计修复1m旧墙的费用是建造1m新墙费用的25%，拆去1m旧墙用以改造建成1m新墙的费用是建1m新墙的50%，为安装圈门，要在围墙的适当处留出1m的空缺．试问：这里建造猪圈的围墙应怎样利用旧墙，才能使所需的总费用最小？‎ 解：显然，使旧墙全部得到利用，并把圈门留在新墙处为好．‎ 设修复成新墙的旧墙为x m，则拆改成新墙的旧墙为(12－x) m，‎ 于是还需要建造新墙的长为 m．‎ 设建造1m新墙需用a元，建造围墙的总造价为y元，‎ 则 当且仅当即时，等号成立，故拆除改造旧墙约为米时，总造价最小．‎ 本章整合
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