2019-2020学年江西省山江湖协作体高一上学期第三次月考（统招班）数学试题（解析版）

2019-2020学年江西省山江湖协作体高一上学期第三次月考（统招班）数学试题（解析版）

2019-2020 学年江西省山江湖协作体高一上学期第三次月考 （统招班）数学试题 一、单选题 1．若集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直接利用交集运算法则得到答案. 【详解】 则 故选： 【点睛】 本题考查了交集的运算，属于简单题型. 2．函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据定义域定义得到不等式 ，计算得到答案. 【详解】 的定义域满足： 解得 故选： 【点睛】 本题考查了函数的定义域，意在考查学生的计算能力. 3．已知函数 对定义域内任意的 都有 则实数 等于（ ） A．4 B．-4 C． D． 【答案】B {1,3,5,7 9}, {2,3,4,5 6}A B= =， ， A B = { }1,4,7 { }1,2,3,4,5,7 { }7 { }3,5 {1,3,5,7 9}, {2,3,4,5 6}A B= =， ， { }3,5A B = D ( ) 1 3 lg(3 1)f x x x= − + + 1 1( , ]3 3 − 1( , )3 − +∞ 1 1( , )3 3 − 1( , ]3 −∞ − 1 3 0 3 1 0 x x − ≥  + > ( ) 1 3 lg(3 1)f x x x= − + + 1 3 0 3 1 0 x x − ≥  + > 1 1 3 3x− < ≤ A ( ) 2f x x ax= + x ( ) ( )2 2f x f x− = + ， a 1 4 1 4 − 【解析】根据 得到 关于 对称，利用对称轴公式得到答 案. 【详解】 则 关于 对称，故 故选： 【点睛】 本题考查了函数的对称问题，根据 确定函数的对称轴是解题的关 键. 4．设函数 ( 且 )，若 ，则 （ ） A．8 B．21 C．16 D．24 【答案】B 【解析】根据 ，代入函数化简得到答案. 【详解】 故选： 【点睛】 本题考查了对数函数的计算，意在考查学生的计算能力. 5．设 ， ， ，则 　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据对数函数的单调性及中间数 可得三个数的大小关系． 【详解】 因为 且 ， 故 ，选 C． 【点睛】 对数的大小比较，可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系，如果底数不统一，可以 利用对数的运算性质统一底数.不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现 ( ) ( )2 2f x f x− = + ( )f x 2x = ( ) ( )2 2f x f x− = + ( )f x 2x = 2 42 a a− = ∴ = − B ( ) ( )2 2f x f x− = + ( ) logaf x x= 0a > 1a ≠ 1 2 2020log ( ) 7a x x x⋅⋅⋅ = 3 3 3 21 2020( ) ( ) ( )f x f x f x+ +⋅⋅⋅+ = 3( ) 3 ( )i if x f x= 3 3 3 21 2020 1 2 2020( ) ( ) ( ) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( )f x f x f x f x f x f x+ +⋅⋅⋅+ = + +⋅⋅⋅+ 1 2 20203log ( ) 21a x x x= ⋅⋅⋅ = B 0.7a log 1.7= 0.7b log 1.8= 1.8c 0.7= ( ) a b c< < c a b< < b a c< < c b a< < 0 0.7 0.7 0.7log 1.8 log 1.7 log 1 0< < = 1.80.7 0> b a c< < 大小关系的传递. 6．下列四组函数中,表示同一函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依次判断函数的定义域和表达式是否相等，判断得到答案. 【详解】 A. ，函数的定义域均为 ，表达式相同，故表示同一函数； B. 定义域为 ， 定义域为 ，不相同； C. 定义域为 的定义域为 ，不相同； D. 定义域为 ， 的定义域为 ，不相同； 故选： 【点睛】 本题考查了同一函数的判断，意在考查学生对于函数定义的理解和掌握情况. 7．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 ，腰和上底均为 的等 腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先计算出等腰梯形的面积为 ，再利用 计算得到答案. 【详解】 等腰梯形的面积 则原平面图形的面积 2( ) , ( )f x x g x x= = 2( ) , ( )ln 2lnf x g xx x= = 2 1( ) , ( ) 11 xf x g x xx −= = +− 2( ) 1 1, ( ) 1f x x x g x x= + ⋅ − = − 2( ) , ( )f x x g x x x= = = R 2( ) lnf x x= ( ) ( ),0 0,−∞ ∪ +∞ ( ) 2lng x x= ( )0, ∞+ 2 1( ) 1 xf x x −= − ( ) ( ),1 1,−∞ +∞ ( ) 1g x x= + R ( ) 1 1f x x x= + ⋅ − [ )1,+∞ 2( ) 1g x x= − ( ] [ ), 1 1,−∞ − +∞ A 45 1 2 2 2+ 1 2 4 + 2 2 4 + 1 2+ 1 2 1 8 8S = + 12 2S S= 1 1 1 1 1 1 2 1cos45 2 sin 452 2 2 2 2 8 8S  = + °× + × ° = +   1 1 2 2 22 2 2 4 4S S += = + = 故选： 【点睛】 本题考查了斜二测画法面积的计算，抓住前后面积的关系是解题的关键. 8．函数 与 在同一直角坐标系下的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【详解】 根据函数 过 排除 A; 根据 过 排除 B、D, 故选：C． 9．函数 f（x）= A．（-2,-1） B．（-1,0） C．（0,1） D．（1,2） 【答案】C 【解析】试题分析： ，所以零点在区间（0，1）上 【考点】零点存在性定理 10．设 且 则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意得到 ，代入等式利用换底公式化简得到答案. 【详解】 C 2( ) 1 logf x x= + 1( ) 2 xg x − += 2( ) 1 logf x x= + 1 ,02      1( ) 2 xg x − += ( )0,2 2xe x+ − 的零点所在的一个区间是 ( ) ( ) ( ) ( )2 1 02 2 2 0, 1 1 2 0, 0 0 2 0, 1 1 2 0f e f e f e f e− −− = − − < − = − − < = + − = + − ( ) ( )1 0 0f f∴ < 2 7a b m= = 1 1 2,a b + = m = 2 7 14 14± 2 7± 2 7log , loga m b m= = 故选： 【点睛】 本题考查了换底公式的应用，意在考查学生的计算能力. 11．定义在[ 1,1]上的函数 ，则不等式 的解集为 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵函数 在定义域[ 1,1]上单调递增， ∴ ，解得： ， ∴不等式 的解集为 故选：D 12．已知定义在 上的奇函数 满足当 时， ， 则关于 的函数 ，（ ）的所有零点之和为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】作函数 与 的图象，从而可得函数 有 5 个零点， 设 5 个零点分别为 ，从而结合图象解得． 【详解】 解：作函数 与 的图象如下， 2 72 7 log , loga b m a m b m= = ∴ = = 1 1 log 2 log 7 log 14 2 14m m m ma b + = + = = ∴ = B − 1( ) 2f x x = − + (2 1) (3 2)f x f x+ < + ( 1, )− +∞ [ 1,0]− 1[ 1, ]3 − − 1( 1, ]3- - ( ) 1 2f x x = − + - 1 2 1 1 1 3 2 1 2 1 3 2 x x x x − ≤ + ≤ − ≤ + ≤  + < + 11 x 3 − < ≤ − ( ) ( )2 1 3 2f x f x+ < + 11, 3  − −   R ( )f x 0x ≥ ( ) ( ) [ ) [ ) 1 2 log 1 , 0,1 1 3 , 1, x x f x x x  + ∈=   − − ∈ +∞ x ( )y f x a= − 1 0a− < < 2 1a − 2 1a− − 1 2 a−− 1 2a− ( )f x y a= ( ) ( )F x f x a= − b c d e f< < < < ( )f x y a= 结合图象可知， 函数 与 的图象共有 5 个交点， 故函数 有 5 个零点， 设 5 个零点分别为 ， ∴ ， ， ， 故 ，即 ， 故 ， 故选：B． 【点睛】 本题考查了函数的零点与函数的图象的关系应用及数形结合的思想应用，属于常考题型. 二、填空题 13．函数 ( 且 )的图像一定经过定点________． 【答案】 . 【解析】令 则 ，代入函数计算得到定点. 【详解】 ，令 则 ， 故答案为： 【点睛】 ( )f x y a= ( ) ( )F x f x a= − b c d e f< < < < ( )2 3 6b c+ = × − = − 2 3 6e f+ = × = ( )1 2 log 1x a+ = 1 2 ax −= − + 1 2 ad −= − + 1 2 ab c d e f −+ + + + = − + 2 1( ) 3xf x a− += + 0a > 1a ≠ 1 2     ，4 2 1 0x− + = 1 2x = 2 1( ) 3xf x a− += + 2 1 0x− + = 1 2x = 1( ) 42f = 1 2     ，4 本题考查了函数过定点问题，属于常考题型，需要熟练掌握. 14．下列结论中： ①长方体一定是正四棱柱； ②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点； ③多面体至少有四个面； ④棱台的侧棱所在直线均相交于一点； 正确结论的序号是________ 【答案】 【解析】根据多面体，棱锥，棱台的定义和性质依次判断每个选项得到答案. 【详解】 ①当长方体底面不为正方形时不是正四棱柱，错误； ②根据棱锥的定义知正确； ③多面体至少有四个面，正确； ④根据棱台的定义知正确； 故答案为： 【点睛】 本题考查了多面体，棱锥，棱台的定义和性质，意在考查学生的推断能力. 15．函数 的单调减区间为________． 【答案】 【解析】先计算函数的定义域，设 ，根据复合函数的单调性得到答案. 【详解】 的定义域满足： 或 ； 设 ，易知 单调递减； 在 上单调递增； 综上所述：函数 的单调减区间为 故答案为： 【点睛】 本题考查了复合函数的单调性，掌握复合函数单调性的判断法则是解题的关键，忽略定 ②③④ ②③④ ( )2 1 2 ( ) log 2f x x x= − − ( )2,+∞ 2 2t x x= − − ( )2 1 2 ( ) log 2f x x x= − − 2 2 0 2x x x− − > ∴ > 1x < − 2 2t x x= − − 1 2 logy t= 2 2t x x= − − 1 ,2  +∞   ( )2 1 2 ( ) log 2f x x x= − − ( )2,+∞ ( )2,+∞ 义域是容易发生的错误. 16．已知幂函数 在 上单调递增，函数 ，任意 时，总存在 使得 ，则 的取 值范围_______． 【答案】 【解析】根据题意得到 ，再计算值域为 ，得到 ， 计算得到答案. 【详解】 幂函数 则 或 当 时， 在 上单调递减，舍去； 故 ，当 时： 故 ； 综上所述： 故答案为： 【点睛】 本题考查了幂函数，函数值域，将存在问题和恒成立问题转化为函数的最值问题是解题 的关键. 三、解答题 17．计算或化简下列各式： （1） （2） 【答案】(1)3 (2) 【解析】（1）直接利用指数幂运算公式得到答案. （2）直接利用对数计算公式得到答案. ( ) ( ) 22 4 21 m mf x m x − += − ( )0, ∞+ ( ) 2 3xg x t= − [ )1 1,5x ∈ [ )2 1,5x ∈ ( ) ( )1 2f x g x= t 1 7 3 3     ， ( ) 2f x x= ( ) [ )2 1,25f x x= ∈ ( )5 25g ≥ ( )1 1g ≤ ( ) ( ) 22 4 21 m mf x m x − += − ( )21 1 0m m− = ∴ = 2m = 2m = ( ) 2f x x−= ( )0, ∞+ ( ) 2f x x= [ )1,5x∈ ( ) [ )2 1,25f x x= ∈ ( ) 5 75 2 3 25 3g t t= − ≥ ∴ ≤ ( ) 11 2 3 1 3g t t= − ≤ ∴ ≥ 1 7 3 3t  ∈  ， 1 7 3 3     ， ( ) 12 2 3 63 12 +ln 3 3 34 e − + ⋅ ⋅  2 6 ( )( ) ( )2 2 8 3 9 3log log log log log lg 20 lg5+ ×3+ 9 4+ 8+ 2 + l g2 17 2 【详解】 （1）原式 （2）原式= 【点睛】 本题考查了指数，对数，幂函数的计算，意在考查学生的计算能力. 18．设全集为 ， ， ， . （1）求 （2）若 ，求实数 的取值范围 【答案】(1) (2) 【解析】（1）先计算 再计算 得到答案. （2）先计算 ，讨论 和 两种情况，分别计算得到答 案. 【详解】 （1） 所以 所以 （2） ， 当 ， ，解得 当 时，有 或 解得 或 综上所述： 或 ，即 的取值范围为 【点睛】 本题考查了集合的运算，根据集合运算结果求参数范围，忽略掉空集的情况是容易发生 的错误. 2 1 1 11 1 13 2 3 62 2 2252 2 ln 3 3 34 e    = × − + + × ×      2 1 1 13 3 2 3 62 5 12 3 32 2 + + = − + + =    2 2 2 3 3 3 2 3log 3 log 3 2log 2 log 2 log 2 (1 2) lg 20 lg53 2 g   + + + + + ×       2 2 3 5 9log 3 log 2 (1g2) (lg 2 1) lg53 2 = × + + + × 215 (1g2) lg 2 lg5 lg52 = + + × + 15 1g2 (1g2 lg5) lg52 = + × + + 17 2 = R { }| 2 5A x x= < ≤ { }| 3 8B x x= < < { }| 1 2C x a x a= − < < ( )RC A B ( )A B C∩ ∩ = ∅ a ( ) { }| 2 8 .RC A B x x x= ≤ ≥ 或 3, [6, )2  −∞ ∪ +∞   { }| 2 8 ,A B x x= < < ( )RC A B { | 3 5}A B x x∩ = <  C = ∅ C ≠ ∅ { } { }| 2 5 , | 3 8 ,A x x B x x= < ≤ = < < { }| 2 8 ,A B x x= < < ( ) { }| 2 8 .RC A B x x x= ≤ ≥ 或 { | 3 5}A B x x∩ = <  ( )A B C∩ ∩ = ∅ C = ∅ 1 2a a− ≥ 1a ≤ − C ∅≠ 2 3 1 2 a a a ≤  − < 1 5 1 2 a a a − ≥  − < 31 2a− < ≤ 6a ≥ 3 2a ≤ 6a ≥ a 3, [6, )2  −∞ ∪ +∞   19．已知函数 ，其中 ， （1）若 的图象关于直线 对称，求 的值； （2）求 在区间[0，1]上的最小值. 【答案】(1) . (2) 【解析】（1）化简得到 ，根据对称轴公式计算得到答案. （2）计算对称轴为 ，讨论 ， ， 三种情况计 算得到答案. 【详解】 （1）因为 所以 的图象的对称轴方程为 .由 ，得 . （2）函数 的图象的对称轴方程为 ， ①当 ，即 时， 因为 在区间(0，1)上单调递增，所以 在区间[0，1]上的最小值为 . ②当 ，即 时， 因为 在区间(0， )上单调递减，在区间( ，1)上单调递增， 所以 在区间 上的最小值为 . ③当 ，即 时， 因为 在区间(0，1)上单调递减，所以 在区间[0，1]上的最小值为 . 综上所述： . 【点睛】 本题考查了函数的对称轴，函数值域，分类讨论是常用的方法，需要熟练掌握. ( ) ( 2)( )f x x x a= − + a R∈ ( )f x 3x = a ( )f x 4a = − ( ) 2 min 2 , 2 2 ,0 22 1 , 0 a a af x a a a − ≥  +  = −    − − ≤ ＜ ＜ 2( ) ( 2) 2f x x a x a= + − − 2 2 ax −= 2 02 a− ≤ 20 12 a−＜ ＜ 2 12 a− ≥ 2( ) ( 2)( ) ( 2) 2f x x x a x a x a= − + = + − − ( )f x 2 2 ax −= 2 32 a− = 4a = − ( )f x 2 2 ax −= 2 02 a− ≤ 2a ≥ ( )f x ( )f x (0) 2f a= − 20 12 a−＜ ＜ 0 2a＜ ＜ ( )f x 2 2 a− 2 2 a− ( )f x [ ]0,1 22 2 2 2 a af − +   = −       2 12 a− ≥ 0a ≤ ( )f x ( )f x (1) (1 )f a= − + ( ) 2 min 2 , 2 2 ,0 22 1 , 0 a a af x a a a − ≥  +  = −    − − ≤ ＜ ＜ 20．已知函数 定义域为(0,+∞)且单调递增，满足 (4)=1， （1）求 (8)的值 （2）若 ，求 的取值范围. 【答案】(1) (2) ∈（3，4] . 【解析】（1）令 =2， =2 计算得到 (2)= ；令 =4， =2 代入计算得到答案. （2）化简得到 ［ ( －3)］≤ (4)，根据函数的单调性和定义域得到 计算得到答案. 【详解】 （1）令 =2， =2，则 (4)= (2×2)= (2)+ (2)=1∴ (2)= 令 =4， =2，则 (8)= (4×2)= (4)+ (2)= （2） + ( －3)= ［ ( －3)］≤1= (4)，又 在（0，+∞）上单调递增 ∴ ∴ ∈（3，4] . 【点睛】 本题考查了求函数值，利用函数的单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活 运用. 21．已知函数 的定义域为 . （1）设 ，求 的取值范围； （2）求 的最大值与最小值及相应的 的值. 【答案】（1） ；（2），当 时， 有最小值 ，当 时， 有最大值 . 【解析】（1）利用对数的单调性，若 t＝log2x，求 t 的取值范围； （2）利用对数的运算法则化简 ，结合配方法，即可得 出结论． ( )f x f ( ) ( ) ( )f xy f x f y= + f ( )( )+ 3 1f x f x − ≤ x 3 2 x x y f 1 2 x y f x x f ( 3) 4 3 0 0 x x x x − ≤  − >  > x y f f f f f 1 2 x y f f f f 3 2 ( )f x f x f x x f ( )f x ( 3) 4 1 43 0 3 430 x x xx xxx − ≤ − ≤ ≤ − > ∴ ∴ < ≤  > > x 2 2( ) log ( ) log (2 )4 xf x x= ⋅ [ 2,8] 2logt x= t ( )f x x 1[ ,3]2 2 2x = ( )f x 25 4 − 8x = ( )f x 4− ( ) 2 2(log 4)(1 log )f x x x= − + 【详解】 （1）由题意可得 ，∴ ，即 的取值范围为 ； （2） ， 令 ，则 ，其中 ， 所以，当 ，即 时， 有最小值 ， 当 ，即 时， 有最大值 . 【点睛】 本题考查对数函数的性质，考查对数的运算法则，配方法的运用，属于中档题． 22．已知函数 是奇函数， 是偶函数 （1）求 的值 （2）设 ，若 对任意的 恒成立，求实数 的范围 【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据 是奇函数得到 ；根据 是偶函数得到 ，相 加得到答案. （2）化简得到 ， 在区间 是增函数， ，根 据题意得到 ， ，计算得到答案. 【详解】 （1） 是偶函数， [ 2,8]x∈ 2 1 log 32 x≤ ≤ t 1[ ,3]2 2 2 22( ) log ( ) log (2 ) 2(log 2)(1 log )4 xf x x x x= ⋅ = − + 2 2(log 4)(1 log )x x= − + 2logt x= 2 23 25( 4)( 1) 3 4 ( )2 4y t t t t t= − + = − − = − − 1[ ,3]2t ∈ 3 2t = 2 2x = ( )f x 25 4 − 3t = 8x = ( )f x 4− 4( ) 2 x x ng x += ( ) ( )4=log 4 1xf x mx+ + m n+ ( ) 1( )= 2h x f x x+ ( ) ( )4(log 2 1g x h a +＞ 1x ≥ a 3 2m n+ = - 1 32a a  −    ＜ ＜ ( )g x 1n = − ( )f x 1 2m = − ( )4( ) log 4 1xh x = + ( )g x [ )1 +∞， ( )min 3= 2g x ( )4 3 log 2 22 a> + 2 1 0a + > 0 0 4(0) 0, 12 ng n += = = − ( )f x ( ) ( )=f x f x∴ − ( ) ( )- 4 4 1 4log 4 1 =log 4 x x xf x mx mx  +− = + − −   ( ) ( ) ( )4 4 4log 1 4 log 4 log 1 4 1x x xmx m x= + − − = + − + 则 （2） 在区间 是增函数 即 ， 故 的取值范围为 【点睛】 本题考查了求参数值，利用单调性解不等式，将恒成立问题转化为最值问题是解题的关 键. ( ) ( ) ( )4 4log 1 4 1 log 4 1x xm x mx∴ + − + = + + ( )2 1 0,m x∴ + = ∴ 1 2m = − 3 2m n+ = - ( )4 1( ) ( ) log 4 12 xh x f x x= + = + ( )( ) ( )( ) ( )4log 2 1 4 4 4log 2 1 log 4 1 log 2 2ah a a+∴ + = + = + ( ) 4 1 2 22 x x x xg x −−= = − [ )1 +∞， ( ) ( )min 3= 1 = 2g x g∴ ( )4 3 log 2 22 a∴ > + ， 3 22 2 4 3a a+ < ∴ <， 12 1 0, 2a a+ > ∴ > - 1 32 a∴ < <- a { }1 32a a− < <丨