数学理卷·2018届重庆市合川大石中学高二12月月考（2016-12）
大石中学高 2018 级高二上期第三学月
理科数学试题卷
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）
1、命题：“若 ，则 ”的逆否命题是 （ ）
A.若 ，则 B.若 ，则
C.若 ，则 D.若 ，则
2.圆心在 轴上，半径为 ，且过点 的圆的方程为 （ ）
A. B. C. D.
3. 设 是两条不同的直线， 三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若 ，则 ； ②若 ，则 ；③若 ，
则 ；
④若 ，则 .其中正确命题的序号是（ ）
A．①和③ B．②和③ C．③和④ D．①和④
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．（5+ ）π B．（20+2 ）π C．（10+ ）π D．（5+2 ）π
5.“m= ”是“直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0 相互垂直”的（ ）
A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要
条件
12
xx ，或 12 >x 11 −≤≥ xx ，或 12 ≥x
y
2 2( 2) 1x y+ − = 2 2( 2) 1x y+ + = 2 2( 1) ( 3) 1x y− + − = 2 2( 3) 1x y+ − =
2
1
1 )2,1(
,m n , ,α β γ
,m nα α⊥ m n⊥ ,α γ β γ⊥ ⊥ α β , ,mα β β γ α⊥
m γ⊥
, ,m n m nα γ β γ∩ = ∩ = α β
6．圆 与直线 的位置关系是
（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
7. 把正方形 沿对角线 折起，当以 四点为顶点的三棱锥体积最大时，
直线 和平面 所成的角的大小为（ ）
A． B． C. D．
8．已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等，A1 在底面 ABC 上的射影 D 为 BC 的中
点，则异面直线 AB 与 CC1 所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
9. 在四棱锥 中，底面 是菱形， 底面 是棱 上一
点．若 ，则当 的面积为最小值时，直线 与平面 所成的
角为 （ ）
A． B． C. D．
10.下列命题正确的个数 （ ）
（1） 命题“ ”的否定是“ ”；
（2）函数 的最小正周期为 ”是“ ”的必要不充分条件；
（3）． 在 上恒成立 在 上恒成立
（4）．“平面向量 与 的夹角是钝角”的充分必要条件是“ ”。
A．1 B．2 C．3 D．4
11. 若实数 满足 ，则 的取值范围是 （ ）
A． B． C. D．
2 2: 2 7 0O x y x+ − − = ( ): 1 1 0l x yλ λ+ − + − = ( )R∈λ
ABCD AC , , ,A B C D
BD ABC
90 60 45 30
P ABCD− ABCD PA ⊥ ,ABCD M PC
PA AC a= = MBD∆ AC MBD
6
π
4
π
3
π
2
π
2
0 0 0, 1 3x R x x∃ ∈ + > 2, 1 3x R x x∀ ∈ + ≤
2 2( ) cos sinf x ax ax= − π 1a =
2 2x x ax+ ≥ [ ]1,2x∈ ⇔ maxmin
2 )()2( axxx ≥+ [ ]1,2x∈
a b 0a b⋅ <
,x y 2 2 2 2 3 3 0x y x y+ − + + = 3x y−
[ )2,+∞ ( )2,6 [ ]2,6 [ ]4,0−
12．如图正方体 ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为 1，P 为 BC 中点，Q 为线段 CC1 上的动点，过 A、P、
Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S，则下列命题正确的是（ ）
①当 0＜CQ＜ 时，S 为四边形； ②当 CQ= 时，S 为等腰梯形； ③当 CQ= 时，S 与 C1D1 交
点 R 满足 C1R1= ；④当 ＜CQ＜1 时，S 为六边形； ⑤当 CQ=1 时，S 的面积为 ．
A．①③④ B．②④⑤ C．①②④ D．①②③⑤
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分）
13．两条平行直线 和 的距离为 ．
14．直线 x﹣2y﹣3=0 与圆（x﹣2）2+（y+3）2=9 交于 E，F 两点，则△EOF（O 为坐标原点）
的面积等于 ．
15．一个球与正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为 36π，那么该
三棱柱的体积是 .
16. 如图，在三棱锥 中， ，平面 平
面 为 中点， 分别为线段 上的动点（不含端点），且
，则三棱锥 体积的最大值为 _________.
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
1 : 2 5 0l x y+ + = 2 : 4 8 15 0l x y+ + =
A BCD− 2, 2BC DC AB AD BD= = = = = ABD ⊥
,BCD O BD ,P Q ,AO BC
AP CQ= P QCO−
17.（10 分）已知直线 ，求实数 的值使得：
（1） .（2） .
18．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，∠BAD=45°，AB=2，AD= ，PA
⊥平面 ABCD，E 是 PC 的中点，F 是 AB 的中点．
（1）求证：BE∥平面 PDF；
（2）求证：平面 PDF⊥平面 PAB．
19.（本小题满分 12 分）已知 ．
(I)当 时，p 为真命题且非 q 为真命题，求 x 的取值范围；
(Ⅱ)若 p 是 q 的充分条件，求实数 m 的取值范围．
20.（本小题满分 12 分）已知平面直角坐标系中两定点为 ，若动点 满足
.
（1）求动点 的轨迹方程;
023)2(:,06: 21 =++−=++ myxmlmyxl m
21 //ll 21 ll ⊥
2: 2 3 0, :1 1 ( 0)p x x q m x m m− − ≤ − ≤ ≤ + >
1m =
)3,5(),3,2( BA M
BMAM 2=
M
（2）若直线 与 的轨迹交于 两点，求 的长度.
21. （本小题满分 12 分）如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正
方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角 D－AF－E 与二面角 C－BE－F 都是 60°．
（I）证明：平面 ABEF⊥平面 EFDC；
（II）求二面角 E－BC－A 的余弦值．
22．（本小题满分 12 分）如图，圆 C：x2﹣（1+a）x+y2﹣ay+a=0．
（1）若圆 C 的半径为 ，求圆 C 的方程；
（2）已知 a＞1，圆 C 与 x 轴相交于两点 M，N（点 M 在点 N 的左侧）．过点 M 任作一条直线
与圆 O：x2+y2=4 相交于两点 A，B．问：是否存在实数 a，使得∠ANM=∠BNM？若存在，求出
实数 a 的值，若不存在，请说明理由．
5: −= xyl M DC, CD
重庆市合川大石中学高 2018 级高二上第三次月考数学(理科)试题答题题
参考答案
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）
1-5 . DAAAB 6-10. BCDBB 11-12. CD
12.【分析】由已知情况根据 CQ 的不同取值，分别作出图形，利用数形结合思想能求出结
果．
【解答】解：当 CQ= 时，S 为等腰梯形，②正确，图如下：
当 CQ=1 时，S 是菱形，面积为 = ，⑤正确，图如下：
当 CQ= 时，画图如下：C1R= ，③正确
当 时，如图是五边形，④不正确；
当 0＜CQ＜ 时，如下图，是四边形，故①正确
故选：D．
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13. 14. 15. 16 16.
17. (1)m=-1
18.【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）取 PD 的中点 M，由三角形的中位线定理，结合已知条件，易证明四边形 MEBF
是平行四边形，且 BE∥MF，结合线面平行的判定定理，即可得到 BE∥平面 PDF；
（2）连接 BD，由∵∠BAD=45°，AB=2，AD= ，F 为 AB 的中点，可得 DF⊥AB，由 PA⊥平
面 ABCD，可得 PA⊥DF，结合线面垂直的判定定理可得 DF⊥平面 PAB，再由面面垂直的判定
定理，即可得到平面 PDF⊥平面 PAB．
【解答】证明：（1）取 PD 的中点 M，
∵E 是 PC 的中点， ∴ME 是△PCD 的中位线， ∴ME∥FB，
∴四边形 MEBF 是平行四边形， ∴BE∥MF，∵BE⊄平面 PDF，MF⊂平面 PDF，
∴BE∥平面 PDF．
（2）连接 BD，
∵∠BAD=45°，AB=2，AD= ，F 为 AB 的中点，
∴DF⊥AB，
又∵PA⊥平面 ABCD，
∴PA⊥DF，
又由 PA∩AB=A，
∴DF⊥平面 PAB，
又∵DF⊂平面 PDF，
∴平面 PDF⊥平面 PAB．
5
4 2 3 2
48
1
2m =
19.
20.略
21．解：（I）由已知可得 AF⊥DF，AF⊥FE，所以 AF⊥平面 EFDC．
又 AF 平面 ABEF，故平面 ABEF⊥平面 EFDC．
（II）过 D 作 DG⊥EF，垂足为 G，由（I）知 DG⊥平面 ABEF．
以 G 为坐标原点， 的方向为 x 轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标
系 G－xyz．
由（I）知∠DFE 为二面角 D－AF－E 的平面角，故∠DFE=60°，则|DF|=2，|DG|= ，可得
A(1，4，0)，B(－3，4，0)，E(－3，0，0)，D(0，0， )．
⊂
GF GF
3
3
由已知，AB∥EF，所以 AB∥平面 EFDC．
又平面 ABCD∩平面 EFDC=CD，故 AB∥CD，CD∥EF．
由 BE∥AF，可得 BE⊥平面 EFDC，所以∠CEF 为二面角 C－BE－F 的平面角，∠CEF=60°．从
而可得 C(－2，0， )．
所以 ， =(0,4,0) ， ， =(－4,0,0)．
设 n=(x,y,z)是平面 BCE 的法向量，则
，即
所以可取 n=(3，0，－ )．
设 m 是平面 ABCD 的法向量，则
同理可取 m=(0， ，4)．则 ．
故二面角 E－BC－A 的余弦值为 ．
【考点】圆方程的综合应用．
【分析】（1）由 r= ，得 = ，由此求得 a 的值，从而
求得所求圆 C 的方程．
（2）先求出所以 M（1，0），N（a，0），假设存在实数 a，当直线 AB 与 x 轴不垂直时，设直
线 AB 的方程为 y=k（x﹣1），代入 x2+y2=4，利用韦达定理，根据 NA、NB 的斜率之和等于零
求得 a 的值．经过检验，当直线 AB 与 x 轴垂直时，这个 a 值仍然满足∠ANM=∠BNM，从而得
出结论．
【解答】解：（1）由 r=
3
)301( ，，=EC EB )343( ，，−−=AC AB
=⋅
=⋅
,0
,0
EBn
ECn
=
=+
.04
,03
y
zx
3
=⋅
=⋅
,0
,0
ABm
ACm
3 19
192,cos −=⋅>=<
mn
mnmn
19
192−
得 = ，
所以 a=1 或 a=0，
故所求圆 C 的方程为 x2﹣2x+y2﹣y+1=0 或 x2﹣x+y2=0；
（2）令 y=0，得 x2﹣（1+a）x+a=0，即（x﹣1）（x﹣a）=0，求得 x=1，或 x=a，
所以 M（1，0），N（a，0）．
假设存在实数 a，当直线 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 y=k（x﹣1），
代入 x2+y2=4 得，（1+k2）x2﹣2k2x+k2﹣4=0，
设 A（x1，y1），B（x2，y2），从而 x1+x2= ，x1x2= ．
因为 NA、NB 的斜率之和为 + = ，
而（x1﹣1）（x2﹣a）+（x2﹣1）（x1﹣a）=2x1x2﹣（a+1）（x2+x1）+2a= ，
因为∠ANM=∠BNM，所以，NA、NB 的斜率互为相反数， + =0，即 =0，
得 a=4．
当直线 AB 与 x 轴垂直时，仍然满足∠ANM=∠BNM，即 NA、NB 的斜率互为相反数．
综上，存在 a=4，使得∠ANM=∠BNM．
