数学卷·2018届重庆市巴蜀中学高二上学期期中考试数学文试卷 （解析版）

数学卷·2018届重庆市巴蜀中学高二上学期期中考试数学文试卷 （解析版）

‎2016-2017学年重庆市巴蜀中学高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．（5分）抛物线y2=2x的焦点坐标是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．在空间中，以下命题正确的是（　　）‎ A．平行于同一条直线的两条直线相互平行 B．平行于同一平面的两条直线相互平行 C．垂直于同一条直线的两条直线相互垂直 D．垂直于同一平面的两条直线相互垂直 ‎3．焦点在x轴上的椭圆的长轴长等于4，离心率等于，则该椭圆的标准方程为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎4．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中不正确的是（　　）‎ A．m⊥α，n⊥α，则m∥n B．m⊂α，α∥β，则m∥β C．m⊥α，n⊂α，则m⊥n D．m∥α，n⊂α，则m∥n ‎5．过椭圆C：+=1的右焦点F2且与x轴垂直的直线与椭圆C相交于A、B两点，则弦长|AB|=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知圆锥的底面半径r=3，圆锥的高h=4，则该圆锥的表面积等于（　　）‎ A．12π B．15π C．21π D．24π ‎7．已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（　　）‎ A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1‎ ‎8．已知某组合体的正视图与侧视图相同，如图所示，其中AB=AC，四边形BCDE为矩形，则该组合体的俯视图可能为（　　）‎ A．（1）（3） B．（1）（2）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）‎ ‎9．已知P为双曲线﹣=1右支上的动点，M为圆（x+5）2+y2=1上动点，N为圆（x﹣5）2+y2=4上的动点，则|PM|﹣|PN|的最小值、最大值分别为（　　）‎ A．4、8 B．3、9 C．2、10 D．1、11‎ ‎10．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知P为对角面A1BCD1内的动点，且点P到直线AB1的距离和到直线BC的距离相等，若P点轨迹为曲线M的一部分，则曲线M是（　　）‎ A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 ‎11．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB、BC的中点，现将△AED，△EBF，△FCD分别沿DE、EF、FD折起，使A、B、C三点重合于点M，则三棱锥M﹣DEF的外接球的体积为（　　）‎ A．2π B．4π C．π D．6π ‎12．已知以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣1，A、B、C为该抛物线上不同的三点，且点B在x轴的下方，若||、||、||成等差数列，且++=0，则直线AC的方程为（　　）‎ A．y=x B．y=x+1 C．y=2x+1 D．y=2x﹣1‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知正方体的棱长为2，则它的内切球的表面积是　　．‎ ‎14．三视图如图所示的几何体的体积为　　．‎ ‎15．已知点P是双曲线﹣=1，（a＞0，b＞0）右支上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，且有S﹣S=S，则该双曲线的离心率为　　．‎ ‎16．某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（10分）已知圆C：（x﹣1）2+y2=内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．‎ ‎（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；‎ ‎（2）当直线l的斜率k=1时，求弦AB的长．‎ ‎18．（12分）如图，正三棱锥A﹣BCD中，已知AB=BC=．‎ ‎（1）求证：AD⊥BC；‎ ‎（2）求三棱锥A﹣BCD的体积．‎ ‎19．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知M、N分别为棱AD、BB1的中点．‎ ‎（1）求证：直线MN∥平面AB1D1；‎ ‎（2）若正方体的棱长a=2，求点A1到面AB1D1的距离．‎ ‎20．（12分）已知点M（1，m）在抛物线C：y2=2px（P＞0）上，且M到抛物线C的焦点F的距离等于2．‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）若直线l与抛物线C相交于A、B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点）．求证直线AB恒过x轴上的某定点，并求出该定点坐标．‎ ‎21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知底面ABCD是菱形且∠BAD=60°，侧棱PA=PD，O为AD边的中点，M为线段PC上的定点．‎ ‎（1）求证：平面PAD⊥平面POB；‎ ‎（2）若AB=2，PA=，PB=，且直线PA∥平面MOB，求三棱锥P﹣MOB的体积．‎ ‎22．（12分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）过点（2，3），且右焦点为圆C：（x﹣2）2+y2=2的圆心．‎ ‎（1）求椭圆E的标准方程；‎ ‎（2）设P是椭圆E上在y轴左侧的一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A、B，且两切线的斜率之积为，求△PAB的面积．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年重庆市巴蜀中学高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．（2015秋•张家界期末）抛物线y2=2x的焦点坐标是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】根据抛物线方程，可得2p=2，得=．再根据抛物线是开口向右以原点为顶点的抛物线，即可得到它的焦点坐标．‎ ‎【解答】解：∵抛物线方程为y2=2x，‎ ‎∴2p=2，得=‎ ‎∵抛物线开口向右且以原点为顶点，‎ ‎∴抛物线的焦点坐标是（，0）‎ 故选：D ‎【点评】本题给出抛物线方程，求它的焦点坐标，着重考查了抛物线的标准方程和简单性质等知识，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（2016秋•渝中区校级期中）在空间中，以下命题正确的是（　　）‎ A．平行于同一条直线的两条直线相互平行 B．平行于同一平面的两条直线相互平行 C．垂直于同一条直线的两条直线相互垂直 D．垂直于同一平面的两条直线相互垂直 ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【专题】综合题；转化思想；演绎法；空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】对于A，根据平行公理可知平行于同一条直线的两直线互相平行；对于B，平行于同一平面的两条直线还可以异面或相交；对于C，垂直于同一直线的两条直线也有可能是异面或相交；对于D，垂直于同一平面的两条直线互相平行．‎ ‎【解答】解：对于A，根据平行公理可知平行于同一条直线的两直线互相平行，所以正确．‎ 对于B，平行于同一平面的两条直线还可以异面或相交，所以错误．‎ 对于C，垂直于同一直线的两条直线也有可能是异面或相交，所以错误．‎ 对于D，垂直于同一平面的两条直线互相平行，所以错误 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查空间直线与平面垂直的性质、面面平行的判定，考查空间想象能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎3．（2016秋•渝中区校级期中）焦点在x轴上的椭圆的长轴长等于4，离心率等于，则该椭圆的标准方程为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【考点】椭圆的标准方程．‎ ‎【专题】计算题；方程思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】由题意可设椭圆方程为，且求得a，结合离心率得到c，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求．‎ ‎【解答】解：由题意可知，椭圆方程为，‎ 且2a=4，得a=2，又e=，得c=，‎ ‎∴b2=a2﹣c2=1，‎ ‎∴椭圆的标准方程为．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程，是基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（2016秋•渝中区校级期中）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中不正确的是（　　）‎ A．m⊥α，n⊥α，则m∥n B．m⊂α，α∥β，则m∥β C．m⊥α，n⊂α，则m⊥n D．m∥α，n⊂α，则m∥n ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【专题】综合题；转化思想；演绎法；空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】对于A，根据垂直于同一平面的两条直线平行进行判断；‎ 对于B，根据平面与平面平行的性质，可得线面平行；‎ 对于C，故线面垂直的性质，可得m⊥n；‎ 对于D，m，n可以异面．‎ ‎【解答】解：对于A，根据垂直于同一平面的两条直线平行，可得m∥n，正确；‎ 对于B，根据平面与平面平行的性质，可得m∥β，正确；‎ 对于C，故线面垂直的性质，可得m⊥n，正确；‎ 对于D，m，n可以异面，故不正确．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题主要考查线线，线面，面面平行关系及垂直关系的转化，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（2016秋•渝中区校级期中）过椭圆C：+=1的右焦点F2且与x轴垂直的直线与椭圆C相交于A、B两点，则弦长|AB|=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】椭圆+=1，可得c=3，取焦点F（3，0）．把x=3代入椭圆方程，解得y，即可得出弦长|AB|．‎ ‎【解答】解：由题意可知：a2=25，b2=16，‎ c2=a2﹣b2=9，‎ 由x=3时，y=±，‎ ‎∴弦长|AB|=，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（2016秋•渝中区校级期中）已知圆锥的底面半径r=3，圆锥的高h=4，则该圆锥的表面积等于（　　）‎ A．12π B．15π C．21π D．24π ‎【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．‎ ‎【专题】计算题；方程思想；演绎法；立体几何．‎ ‎【分析】利用勾股定理求得圆锥的母线长，则圆锥表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+底面周长×母线长．‎ ‎【解答】解：底面半径为3，则底面周长=6π，底面面积=9π；‎ 由勾股定理得，母线长=5，‎ 圆锥的侧面面积S侧=×6π×5=15π，‎ ‎∴它的表面积S=15π+9π=24π，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．（2016•包头二模）已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（　　）‎ A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1‎ ‎【考点】双曲线的简单性质；双曲线的标准方程．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】先利用圆的一般方程，求得圆心坐标和半径，从而确定双曲线的焦距，得a、b间的一个等式，再利用直线与圆相切的几何性质，利用圆心到渐近线距离等于圆的半径，得a、b间的另一个等式，联立即可解得a、b的值，从而确定双曲线方程 ‎【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣6x+5=0的圆心C（3，0），半径r=2‎ ‎∴双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点坐标为（3，0），即c=3，∴a2+b2=9，①‎ ‎∵双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为bx﹣ay=0，‎ ‎∴C到渐近线的距离等于半径，即=2 ②‎ 由①②解得：a2=5，b2=4‎ ‎∴该双曲线的方程为 故选 A ‎【点评】本题主要考查了圆的一般方程，直线与圆的位置关系及其应用，双曲线的标准方程及其求法，双曲线的几何性质及其运用，两曲线的综合运用 ‎　‎ ‎8．（2016秋•渝中区校级期中）已知某组合体的正视图与侧视图相同，如图所示，其中AB=AC，四边形BCDE为矩形，则该组合体的俯视图可能为（　　）‎ A．（1）（3） B．（1）（2）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）‎ ‎【考点】简单空间图形的三视图．‎ ‎【专题】图表型；分类讨论；分类法．‎ ‎【分析】由已知中的正视图与侧视图，可得该几何体是一个锥体和柱体的组合体；分类讨论，可判断各种情况下，该组合体的俯视图．‎ ‎【解答】解：由已知中的正视图与侧视图，‎ 可得该几何体是一个锥体和柱体的组合体；‎ 如果上面为圆锥，下面为圆柱，则俯视图为（3）；‎ 如果上面为棱锥，下面为圆柱，则俯视图为（2）；‎ 如果上面为圆锥，下面为棱柱，则俯视图为（4）；‎ 如果上面为棱锥，下面为棱柱，则俯视图为（1）；‎ 故选：D ‎【点评】本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，分类讨论思想，难度中档．‎ ‎　‎ ‎9．（2016秋•渝中区校级期中）已知P为双曲线﹣=1右支上的动点，M为圆（x+5）2+y2=1上动点，N为圆（x﹣5）2+y2=4上的动点，则|PM|﹣|PN|的最小值、最大值分别为（　　）‎ A．4、8 B．3、9 C．2、10 D．1、11‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】由已知条件知道双曲线的两个焦点为两个圆的圆心和半径，再利用平面几何知识把|PM|﹣|PN|转化为双曲线上的点到两焦点之间的距离即可求|PM|﹣|PN|的最小值和最大值．‎ ‎【解答】解：双曲线﹣=1的两个焦点分别是F1（﹣5，0）与F2（5，0），‎ 则这两点正好是两圆（x+5）2+y2=1和（x﹣5）2+y2=4的圆心，半径分别是r1=1，r2=2，‎ ‎∵|PF1|﹣|PF2|=2a=6，‎ ‎∴|PM|min=|PF1|﹣1，|PN|max=|PF2|+2，‎ ‎∴|PM|max=|PF1|+1，|PN|min=|PF2|﹣2，‎ ‎∴|PM|﹣|PN|的最小值=（|PF1|﹣1）﹣（|PF2|+2）=6﹣3=3，‎ PM|﹣|PN|的最大值=（|PF1|+1）﹣（|PF2|﹣2）=6+3=9，‎ ‎|PM|﹣|PN|的最小值、最大值分别3，9，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质和双曲线与圆的关系，着重考查了学生对双曲线定义的理解和应用，以及对几何图形的认识能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．（2016秋•渝中区校级期中）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知P为对角面A1BCD1内的动点，且点P到直线AB1的距离和到直线BC的距离相等，若P点轨迹为曲线M的一部分，则曲线M是（　　）‎ A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 ‎【考点】平面与圆柱面的截线．‎ ‎【专题】综合题；转化思想；演绎法；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】设AB1∩A1B=O，求得PO与P到BC的距离相等，根据抛物线的定义，可得结论．‎ ‎【解答】解：设AB1∩A1B=O，‎ ‎∵AB1⊥对角面A1BCD1，‎ ‎∴PO表示P到AB1的距离，‎ ‎∵平面A1BCD1上一动点P到AB1和BC的距离相等，‎ ‎∴PO与P到BC的距离相等，‎ 根据抛物线的定义，可得点P的轨迹为抛物线的一部分．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查抛物线定义及线面垂直的性质．定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．‎ ‎　‎ ‎11．（2016秋•渝中区校级期中）如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB、BC的中点，现将△AED，△EBF，△FCD分别沿DE、EF、FD折起，使A、B、C三点重合于点M，则三棱锥M﹣DEF的外接球的体积为（　　）‎ A．2π B．4π C．π D．6π ‎【考点】球内接多面体．‎ ‎【专题】综合题；转化思想；演绎法；立体几何．‎ ‎【分析】把棱锥扩展为正四棱柱，求出正四棱柱的外接球的半径就是三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥M﹣DEF的外接球的体积．‎ ‎【解答】解：由题意可知△MEF是等腰直角三角形，且MD⊥平面MEF．‎ 三棱锥的底面MEF扩展为边长为1的正方形，‎ 然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，‎ 正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为：=．‎ ‎∴球的半径为，‎ ‎∴三棱锥M﹣DEF的外接球的体积为=．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查三棱锥M﹣DEF的外接球的体积，考查几何体的折叠问题，几何体的外接球的半径的求法，考查空间想象能力．‎ ‎　‎ ‎12．（2016秋•渝中区校级期中）已知以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣1，A、B、C为该抛物线上不同的三点，且点B在x轴的下方，若||、||、||成等差数列，且++=0，则直线AC的方程为（　　）‎ A．y=x B．y=x+1 C．y=2x+1 D．y=2x﹣1‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【专题】函数思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】根据抛物线的准线方程求出p，设A，B，C的坐标，根据||、||、||成等差数列，且点B在x轴下方，若++=0，求出x1+x3=2，x2=1，然后求出直线AC的斜率和A，C的中点坐标，进行求解即可．‎ ‎【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0），则抛物线的准线方程是x=﹣=﹣1，‎ ‎∴p=2，‎ 即抛物线方程为y2=4x，F（1，0），‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），‎ ‎||、||、||成等差数列，‎ ‎2||=||+||，即x1+1+x3+1=2（x2+1），‎ 即x1+x3=2x2，‎ ‎∵++=0，‎ ‎∴（x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1，y1+y2+y3）=0，‎ ‎∴x1+x2+x3=3，y1+y2+y3=0，‎ 则x1+x3=2，x2=1，‎ 由y22=4x2=4，则y2=﹣2或2（舍），‎ 则y1+y3=2，‎ 则AC的中点坐标为（，），即（1，1），‎ AC的斜率k=====2，‎ 则直线AC的方程为y﹣1=2（x﹣1），‎ 即y=2x﹣1，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，根据条件求出直线AB的斜率和AB的中点坐标是解决本题的关键．综合性较强，难度较大，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．（2013秋•吉林期末）已知正方体的棱长为2，则它的内切球的表面积是　4π　．‎ ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【专题】球．‎ ‎【分析】根据正方体内切球和正方体的棱长关系，确定球的半径即可求出球的表面积．‎ ‎【解答】解：∵正方体的内切球的球心O到正方体各面的距离等于半径，‎ ‎∴2R=2，‎ 即球半径R=1，‎ ‎∴内切球的表面积是4π．‎ 故答案为：4π；‎ ‎【点评】本题主要考查球的表面积的计算，根据球与正方体的内切关系确定球的半径是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎　‎ ‎14．（2016秋•渝中区校级期中）三视图如图所示的几何体的体积为　　．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．‎ ‎【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何．‎ ‎【分析】由已知可得该几何体是以俯视图为底面的三棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案．‎ ‎【解答】解：由已知可得该几何体是以俯视图为底面的三棱锥，‎ 故几何体的体积V==×（2+1）×1×3=，‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积，空间三视图，熟练掌握棱锥的体积公式，是解答的关键．‎ ‎　‎ ‎15．（2016秋•渝中区校级期中）已知点P是双曲线﹣=1，（a＞0，b＞0）右支上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，且有S﹣S=S，则该双曲线的离心率为　2　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【专题】综合题；转化思想；演绎法；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】设圆I与△PF1F2的三边F1F2、PF1、PF2分别相切于点E、F、G，连接IE、IF、IG，可得△IF1F2，△IPF1，△IPF2可看作三个高相等且均为圆I半径r的三角形．利用三角形面积公式，代入已知式S﹣S=S，化简可得|PF1|﹣|PF2|=|F1F2|，再结合双曲线的定义与离心率的公式，可求出此双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：如图，设圆I与△PF1F2的三边F1F2、PF1、PF2分别相切于点E、F、G，连接IE、IF、IG，‎ 则IE⊥F1F2，IF⊥PF1，IG⊥PF2，它们分别是 ‎△IF1F2，△IPF1，△IPF2的高，‎ ‎∴S=×|PF1|×|IF|=|PF1|，‎ S=×|PF2|×|IG|=|PF2|‎ S=×|F1F2|×|IE|=|F1F2|，其中r是△PF1F2的内切圆的半径．‎ ‎∵S﹣S=S，‎ ‎∴|PF1|﹣|PF2|+|F1F2|‎ 两边约去得：|PF1|﹣|PF2|=|F1F2|‎ 根据双曲线定义，得|PF1|﹣|PF2|=2a，|F1F2|=2c ‎∴2a=c⇒离心率为e==2，‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题将三角形的内切圆放入到双曲线当中，用来求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的基本性质、三角形内切圆的性质和面积计算公式等知识点，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎16．（2015•湖北模拟）某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】根据三视图的性质得到俯视图中椭圆的短轴长和长周长，再根据椭圆的性质a2﹣b2=c2，和离心率公式，计算即可．‎ ‎【解答】解：设正视图正方形的边长为m，根据正视图与俯视图的长相等，得到俯视图中椭圆的短轴长2b=m，‎ 俯视图的宽就是圆锥底面圆的直径m，得到俯视图中椭圆的长轴长2a=m，‎ 则椭圆的焦距=m，‎ 根据离心率公式得，e==‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查了椭圆的离心率公式，以及三视图的问题，属于基础题．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（10分）（2016秋•渝中区校级期中）已知圆C：（x﹣1）2+y2=内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．‎ ‎（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；‎ ‎（2）当直线l的斜率k=1时，求弦AB的长．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【专题】综合题；方程思想；演绎法；直线与圆．‎ ‎【分析】（1）先求出圆的圆心坐标，从而可求得直线l的斜率，再由点斜式方程可得到直线l的方程，最后化简为一般式即可．‎ ‎（2）先根据点斜式方程求出方程，再由点到线的距离公式求出圆心到直线l的距离，进而根据勾股定理可求出弦长．‎ ‎【解答】解：（1）圆C：（x﹣1）2+y2=的圆心为C（1，0），‎ 因直线过点P、C，所以直线l的斜率为2，‎ 直线l的方程为y=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．‎ ‎（2）当直线l的斜率k=1时，直线l的方程为y﹣2=x﹣2，即x﹣y=0‎ 圆心C到直线l的距离为，圆的半径为，弦AB的长为2=2．‎ ‎【点评】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离；直线与圆的特殊位置关系的应用是本题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016秋•渝中区校级期中）如图，正三棱锥A﹣BCD中，已知AB=BC=．‎ ‎（1）求证：AD⊥BC；‎ ‎（2）求三棱锥A﹣BCD的体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】（1）取BC的中点E，连接AE，DE，通过证明BC⊥平面ADE得出BC⊥AD；‎ ‎（2）VA﹣BCD=VB﹣ADE+VC﹣ADE=S△ADE•BC．‎ ‎【解答】证明：（1）取BC的中点E，连接AE，DE．‎ ‎∵三棱锥A﹣BCD是正三棱锥，‎ ‎∴AE⊥BC，DE⊥BC，‎ 又AE⊂平面ADE，DE⊂平面ADE，AE∩DE=E，‎ ‎∴BC⊥平面ADE，‎ 又AD⊂平面ADE，‎ ‎∴BC⊥AD．‎ ‎（2）∵AB=BC=，∴BE=，AD=，‎ ‎∴AE=DE=，‎ ‎∴cos∠AED==，∴sin∠AED=．‎ ‎∴S△ADE=AE•DE•sin∠AED==．‎ ‎∴VA﹣BCD=VB﹣ADE+VC﹣ADE=S△ADE•BC==．‎ ‎【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016秋•渝中区校级期中）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知M、N分别为棱AD、BB1的中点．‎ ‎（1）求证：直线MN∥平面AB1D1；‎ ‎（2）若正方体的棱长a=2，求点A1到面AB1D1的距离．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．‎ ‎【专题】综合题；转化思想；等体积法；空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】（1）取DD1 中点G，连接MG、NG，由线面平行的判定定理证明MG∥平面AB1D1，NG∥平面AB1D1，再由面面平行的判断得平面MNG∥平面AB1D1，从而可得直线MN∥平面AB1D1；‎ ‎（2）直接利用等积法求得点A1到面AB1D1的距离．‎ ‎【解答】（1）证明：取DD1 中点G，连接MG、NG，‎ 则MG∥AD1，‎ ‎∵MG⊄平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，‎ ‎∴MG∥平面AB1D1，‎ NG∥B1D1，NG⊄平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，‎ ‎∴NG∥平面AB1D1，‎ 又MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面AB1D1，‎ ‎∴直线MN∥平面AB1D1；‎ ‎（2）解：设点A1到面AB1D1的距离为d，‎ ‎∵正方体的棱长a=2，∴△AB1D1的边长为2，则=，‎ 则，即d=．‎ ‎【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了等积法求多面体的体积，是中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016秋•渝中区校级期中）已知点M（1，m）在抛物线C：y2=2px（P＞0）上，且M到抛物线C的焦点F的距离等于2．‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）若直线l与抛物线C相交于A、B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点）．求证直线AB恒过x轴上的某定点，并求出该定点坐标．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【专题】分类讨论；分类法；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】（1）由抛物线的定义可知：1+=2，即可求得p，代入求得抛物线C的方程；‎ ‎（2）当当直线l的斜率不存在时，设l：x=t，（t＞0）求得A点坐标，代入即可求得t的值；当直线的斜率存在时，设直线l：y=kx+m，代入抛物线方程由韦达定理可知x1+x2=﹣且x1x2=，由OA⊥OB，•=0，根据向量数量积的坐标表示，求得k与m的关系，求得直线方程y=k（x﹣4），直线AB恒过x轴上的定点N（4，0）．‎ ‎【解答】解：（1）∵点M（1，m）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，点M到抛物线C的焦点F的距离为2，‎ ‎∴1+=2，‎ ‎∴p=2，‎ ‎∴抛物线C的方程为y2=4x；‎ ‎（2）证明：当直线l的斜率不存在时，设l：x=t，（t＞0）与抛物线第一象限交于A点，‎ ‎∵OA⊥OB，‎ ‎∴A（t，t），‎ 代入整理得t2=4t，解得：t=4，‎ ‎∴故直线恒过定点N（4，0）‎ 当直线的斜率存在时，设直线l：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 联立y2=4x得kx2+（2km﹣4）x+m2=0，‎ 依题意有k≠0，由韦达定理可知：x1+x2=﹣且x1x2=①，‎ ‎∵OA⊥OB，‎ ‎•=0，‎ ‎∴x1x2+y1y2=0，‎ 即（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，‎ 将①代入化简得m2+4km=0，故m=﹣4k，‎ 此时直线l：y=kx﹣4k=k（x﹣4），‎ 直线AB恒过x轴上的定点N（4，0）．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2016秋•渝中区校级期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知底面ABCD是菱形且∠BAD=60°，侧棱PA=PD，O为AD边的中点，M为线段PC上的定点．‎ ‎（1）求证：平面PAD⊥平面POB；‎ ‎（2）若AB=2，PA=，PB=，且直线PA∥平面MOB，求三棱锥P﹣MOB的体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．‎ ‎【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】（1）通过证明AD⊥平面POB得出平面PAD⊥平面POB；‎ ‎（2）连接AC交OB与N，连接BD交AC于E，连接MN，则PA∥MN，计算OP得出M到平面ABCD的距离d，则VP﹣MOB=VA﹣MOB=S△AOB•d．‎ ‎【解答】证明：（1）∵PA=PD，O是AD的中点，‎ ‎∴PO⊥AD，‎ ‎∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，‎ ‎∴OB⊥AD，‎ 又PO⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，‎ ‎∴OB⊥平面PAD，‎ 又OB⊂平面POB，‎ ‎∴平面PAD⊥平面POB．‎ ‎（2）∵△PAD是等腰三角形，AD=AB=2，PA=，‎ ‎∴AO=，∴OP==2，‎ 连接AC交OB与N，连接BD交AC于E，连接MN，‎ ‎∵PA∥平面OMB，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面OMB=MN，‎ ‎∴PA∥MN，‎ ‎∴，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，‎ ‎∴AN=AE，AC=2AE，‎ ‎∴=，‎ ‎∴M到平面ABCD的距离d=PO=．‎ ‎∴VP﹣MOB=VA﹣MOB=S△AOB•d==．‎ ‎【点评】本题考查了面面垂直的判定定理，线面平行的性质，棱锥的体积计算，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2016秋•渝中区校级期中）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）过点（2，3），且右焦点为圆C：（x﹣2）2+y2=2的圆心．‎ ‎（1）求椭圆E的标准方程；‎ ‎（2）设P是椭圆E上在y轴左侧的一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A、B，且两切线的斜率之积为，求△PAB的面积．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【专题】方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】（1）由椭圆右焦点为圆C：（x﹣2）2+y2=2的圆心，可得c=2，又=1，a2=b2+c2，联立解出即可得出．‎ ‎（2）设P（x0，y0）（x0＜0），则经过点P的切线斜率存在，设切线方程为：y﹣y0=k（x﹣0）．可得=，化为：k2+2y0（2﹣x0）k+﹣2=0．设切线PA，PB的斜率分别为k1，k2．可得k1k2==，x0＜0．与+=1联立，解得P．进而得出．‎ ‎【解答】解：（1）∵椭圆右焦点为圆C：（x﹣2）2+y2=2的圆心（2，0），∴c=2，‎ 又=1，a2=b2+c2，联立解得a=4，b=2．‎ ‎∴椭圆E的标准方程为：+=1．‎ ‎（2）设P（x0，y0）（x0＜0），则经过点P的切线斜率存在，设切线方程为：y﹣y0=k（x﹣0），即kx﹣y+y0﹣kx0=0．‎ 则=，化为：k2+2y0（2﹣x0）k+﹣2=0．（*）‎ 设切线PA，PB的斜率分别为k1，k2．‎ 则k1k2==，化为：=﹣4x0+6，x0＜0．‎ 与+=1联立，解得，‎ ‎∴P（﹣2，±3）．‎ 由对称性不妨取P（﹣2，3），F（2，0）．‎ ‎∴|PA|=|PB|==．‎ 在RT△PFB中，cos∠APF=，sin∠APB=．‎ ‎∴sin∠APB=2××=．‎ ‎∴S△PAB=sin∠APB==．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、三角形面积计算公式、点到直线的距离公式、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎