2018届二轮复习（文）专题五立体几何2课件（全国通用）

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5.2 　空间关系、球与几何体组合练 - 2 - 1 . 空间两条直线的位置关系有平行、相交、异面 . 2 . 空间线面位置关系有平行、相交、在平面内 . 3 . 直线、平面平行的判定及其性质 (1) 线面平行的判定定理 : a ⊄ α , b ⊂ α , a ∥ b ⇒ a ∥ α . (2) 线面平行的性质定理 : a ∥ α , a ⊂ β , α ∩ β =b ⇒ a ∥ b. (3) 面面平行的判定定理 : a ⊂ β , b ⊂ β , a ∩ b=P , a ∥ α , b ∥ α ⇒ α ∥ β . (4) 面面平行的性质定理 : α ∥ β , α ∩ γ =a , β ∩ γ =b ⇒ a ∥ b. 4 . 直线、平面垂直的判定及其性质 (1) 线面垂直的判定定理 : m ⊂ α , n ⊂ α , m ∩ n=P , l ⊥ m , l ⊥ n ⇒ l ⊥ α . (2) 线面垂直的性质定理 : a ⊥ α , b ⊥ α ⇒ a ∥ b. (3) 面面垂直的判定定理 : a ⊂ β , a ⊥ α ⇒ α ⊥ β . (4) 面面垂直的性质定理 : α ⊥ β , α ∩ β =l , a ⊂ α , a ⊥ l ⇒ a ⊥ β . - 3 - 5 . 异面直线的夹角与线面角 (1) 异面直线的夹角 : 当直线 l 1 与 l 2 是异面直线时 , 在直线 l 1 上任取一点 A 作 AB ∥ l 2 , 我们把直线 l 1 和直线 AB 的夹角叫做异面直线 l 1 与 l 2 的夹角 . (2) 直线与平面的夹角 : 平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫做该直线与此平面的夹角 . 6 . 球的表面积及体积 (1) S 球 = 4 π r 2 ( r 为球的半径 ) . - 4 - 7 . 球与几何体的外接、内切 (1) 球与长方体外接 : 长方体的体对角线的交点为球心 ; 长方体的体对角线的长为球的直径 ; - 5 - 一、选择题 二、填空题 1 . 若体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上 , 则该球的表面积为 ( A ) 解析 : 设正方体的棱长为 a , 由 a 3 = 8, 得 a= 2 . 由题意可知 , 正方体的体对角线为球的直径 , - 6 - 一、选择题 二、填空题 2 . (2017 全国 Ⅰ , 文 6) 如图 , 在下列四个正方体中 , A , B 为正方体的两个顶点 , M , N , Q 为所在棱的中点 , 则在这四个正方体中 , 直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是 ( A ) - 7 - 一、选择题 二、填空题 解析 : 易知选项 B 中 , AB ∥ MQ , 且 MQ ⊂ 平面 MNQ , AB ⊄ 平面 MNQ , 则 AB ∥ 平面 MNQ ; 选项 C 中 , AB ∥ MQ , 且 MQ ⊂ 平面 MNQ , AB ⊄ 平面 MNQ , 则 AB ∥ 平面 MNQ ; 选项 D 中 , AB ∥ NQ , 且 NQ ⊂ 平面 MNQ , AB ⊄ 平面 MNQ , 则 AB ∥ 平面 MNQ , 故排除选项 B,C,D; 故选 A . - 8 - 一、选择题 二、填空题 3 . (2017 全国 Ⅲ , 文 10) 在正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 , E 为棱 CD 的中点 , 则 ( C ) A. A 1 E ⊥ DC 1 B. A 1 E ⊥ BD C. A 1 E ⊥ BC 1 D. A 1 E ⊥ AC 解析 : 连接 B 1 C , BC 1 , A 1 E , 则 B 1 C ⊥ BC 1 . ∵ CD ⊥ 平面 BB 1 C 1 C , BC 1 ⊂ 平面 BB 1 C 1 C , ∴ CD ⊥ BC 1 . ∵ B 1 C ∩ CD=C , ∴ BC 1 ⊥ 平面 A 1 B 1 CD. ∵ A 1 E ⊂ 平面 A 1 B 1 CD , ∴ A 1 E ⊥ BC 1 . 故选 C . - 9 - 一、选择题 二、填空题 4 . (2017 全国 Ⅲ , 文 9 ) 已知圆柱的高为 1, 它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上 , 则该圆柱的体积为 ( B ) 解析 : 由题意可知球心即为圆柱体的中心 , 画出圆柱的轴截面如图所示 , - 10 - 一、选择题 二、填空题 5 . (2017 河北保定二模 , 理 8) 已知一个球的表面上有 A , B , C 三点 , 且 AB=AC=BC= 2 . 若球心到平面 ABC 的距离为 1, 则该球的表面积为 ( A ) A . 20 π B . 15 π C . 10 π D . 2 π 解析 : 由题意可得 , 平面 ABC 截球面所得的截面圆恰为正三角形 ABC 的外接圆 O'. 设球 O 的半径为 R , ∵ 球心到平面 ABC 的距离为 1, ∴ 由勾股定理可得 r 2 + 1 2 =R 2 , 解得 R 2 = 5, ∴ 球 O 的表面积 S= 4 π R 2 = 20 π , 故选 A . - 11 - 一、选择题 二、填空题 6 . 已知 A , B 是球 O 的球面上两点 , ∠ AOB= 90°, C 为该球面上的动点 . 若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36, 则球 O 的表面积为 ( C ) A.36 π B.64 π C.144 π D.256 π 解析 : 由 △ AOB 面积确定 , 若三棱锥 O-ABC 的底面 OAB 上的高最大 , 解得 R= 6, 故 S 球 = 4 π R 2 = 144 π . - 12 - 一、选择题 二、填空题 7 . (2017 湖南岳阳一模 , 文 4) 已知 α , β 表示两个不同的平面 , m 为平面 α 内的一条直线 , 则 “ m ⊥ β ” 是 “ α ⊥ β ” 的 ( A ) A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 解析 : 根据面面垂直的判定定理得 , 若 m ⊥ β , 则 α ⊥ β 成立 , 即充分性成立 ; 若 α ⊥ β , 则 m ⊥ β 不一定成立 , 即必要性不成立 , 故 “ m ⊥ β ” 是 “ α ⊥ β ” 的充分不必要条件 , 故选 A . - 13 - 一、选择题 二、填空题 8 . (2017 宁夏银川二模 , 文 10 ) 已知点 A , B , C , D 在同一个球的球面上 , AB=BC = , ∠ ABC= 90° . 若四面体 ABCD 体积的最大值为 3, 则这个球的表面积为 ( D ) A . 2 π B . 4 π C . 8 π D . 16 π 解析 : 由 题意 , 得 S △ ABC = 3 . 设 △ ABC 所在球的小圆的圆心为 Q , 则 Q 为 AC 的中点 , 当 DQ 与平面 ABC 垂直时 , 四面体 ABCD 的最大体积为 如图 , 设球心为 O , 半径为 R , 则 在 Rt △ AQO 中 , OA 2 =AQ 2 +OQ 2 , 即 R 2 = ( ) 2 + (3 -R ) 2 , 解得 R= 2, 则这个球的表面积为 S= 4 π × 2 2 = 16 π . 故选 D . - 14 - 一、选择题 二、填空题 9 . 在封闭的直三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 内有一个体积为 V 的球 . 若 AB ⊥ BC , AB= 6, BC= 8, AA 1 = 3, 则 V 的最大值是 ( B ) 解析 : 由题意知要使球的体积最大 , 则它与直三棱柱的若干个面相切 . - 15 - 一、选择题 二、填空题 10 . 平面 α 过正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 的顶点 A , α ∥ 平面 CB 1 D 1 , α ∩ 平面 ABCD=m , α ∩ 平面 ABB 1 A 1 =n , 则 m , n 所成角的正弦值为 ( A ) 解析 : ( 方法一 ) ∵ α ∥ 平面 CB 1 D 1 , 平面 ABCD ∥ 平面 A 1 B 1 C 1 D 1 , α ∩ 平面 ABCD=m , 平面 CB 1 D 1 ∩ 平面 A 1 B 1 C 1 D 1 =B 1 D 1 , ∴ m ∥ B 1 D 1 . ∵ α ∥ 平面 CB 1 D 1 , 平面 ABB 1 A 1 ∥ 平面 DCC 1 D 1 , α ∩ 平面 ABB 1 A 1 =n , 平面 CB 1 D 1 ∩ 平面 DCC 1 D 1 =CD 1 , ∴ n ∥ CD 1 . ∴ B 1 D 1 , CD 1 所成的角等于 m , n 所成的角 , 即 ∠ B 1 D 1 C 等于 m , n 所成的角 . ∵ △ B 1 D 1 C 为正三角形 , ∴ ∠ B 1 D 1 C= 60°, - 16 - 一、选择题 二、填空题 ( 方法二 ) 由题意画出图形如图 , 将正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 平移 , 补 形为两个全等的正方体如图 , 易证平面 AEF ∥ 平面 CB 1 D 1 , 所以平面 AEF 即为平面 α , m 即为 AE , n 即为 AF , 所以 AE 与 AF 所成的角即为 m 与 n 所成的角 . 因为 △ AEF 是正三角形 , 所以 ∠ EAF= 60°, 故 m , n 所成角的正弦值为 - 17 - 一、选择题 二、填空题 11 . ( 2017 四川成都三诊 , 文 8 ) 在我国古代数学名著《九章算术》中 , 将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑 . 如图 , 在鳖臑 ABCD 中 , AB ⊥ 平面 BCD , 且 AB=BC=CD , 则异面直线 AC 与 BD 所成角的余弦值为 ( A ) - 18 - 一、选择题 二、填空题 解析 : 如图所示 , 分别取 AB , AD , BC , BD 的中点 E , F , G , O , 则 EF ∥ BD , EG ∥ AC , FO ⊥ OG , ∴ ∠ FEG 为异面直线 AC 与 BD 所成的角 . - 19 - 一、选择题 二、填空题 12 . (2017 河南南阳一模 , 文 11) 一个四面体的顶点都在球面上 , 它们的正视图、侧视图、俯视图都如图所示 . 图中圆内有一个以圆心为中心 , 边长为 1 的正方形 , 则这个四面体的外接球的表面积是 ( B ) A . π B . 3 π C . 4 π D . 6 π - 20 - 一、选择题 二、填空题 解析 : 由三视图可知 , 该四面体是正方体的一个内接正四面体 . - 21 - 一、选择题 二、填空题 14 . (2017 天津 , 文 11 ) 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上 , 若 这 个 正方体的表面积为 18, 则这个球的体积为 　 .  13 . (2017 全国 Ⅱ , 文 15) 长方体的长、宽、高分别为 3,2,1, 其顶点都在球 O 的球面上 , 则球 O 的表面积为 14 π 　 .  解析 : 由题意可知长方体的体对角线长等于其外接球 O 的直径 2 R , 即 2 R = , 所以球 O 的表面积 S= 4 π R 2 = 14 π . - 22 - 一、选择题 二、填空题 15 . α , β 是两个平面 , m , n 是两条直线 , 有下列四个命题 : ① 如果 m ⊥ n , m ⊥ α , n ∥ β , 那么 α ⊥ β . ② 如果 m ⊥ α , n ∥ α , 那么 m ⊥ n. ③ 如果 α ∥ β , m ⊂ α , 那么 m ∥ β . ④ 如果 m ∥ n , α ∥ β , 那么 m 与 α 所成的角和 n 与 β 所成的角相等 . 其中正确的命题有 ②③④ 　 . ( 填写所有正确命题的编号 )   解析 : 对于 ① , 若 m ⊥ n , m ⊥ α , n ∥ β , 则 α , β 的位置关系无法确定 , 故错误 ; 对于 ② , 因为 n ∥ α , 所以过直线 n 作平面 γ 与平面 α 相交于直线 c , 则 n ∥ c. 因为 m ⊥ α , 所以 m ⊥ c , 所以 m ⊥ n , 故 ② 正确 ; 对于 ③ , 由两个平面平行的性质可知正确 ; 对于 ④ , 由线面所成角的定义和等角定理可知其正确 . 故正确命题的编号有 ②③④ . - 23 - 一、选择题 二、填空题 16 . (2017 陕西咸阳二模 , 文 16) 已知三棱锥的所有棱长均 为 , 则该三棱锥的外接球的直径 为 　 .   解析 : ∵ 正三棱锥的所有棱长均 为 , ∴ 此三棱锥一定可以放在正方体中 , 且正方体的棱长为 1, ∴ 此三棱锥的外接球即为此正方体的外接球 . ∵ 外接球的直径为正方体的体对角线 长 , 故答案 为 .