新教材数学人教B版必修第二册教师用书（含习题测试）：6-4-1 平面集合中的向量方法 6-4-2 向量在物理中的应用举例
6.4 平面向量的应用
6.4.1 平面几何中的向量方法
6.4.2 向量在物理中的应用举例
课
标
解
读
课标要求 核心素养
1.会用向量方法解决简单的平面几何问
题、力学问题以及其他实际问题.(重点)
2.体会向量在解决数学和实际问题中的作
用.(难点)
1.通过用向量方法解决物理问题,培养数学抽象
核心素养.
2.借助用向量方法解决几何问题,培养逻辑推理
核心素养.
有一个人要去火车站坐车,由于时间紧迫,他一跳上出租车,就急着说:“快!快!来不及
了!”司机遵照指示,在合法的范围内快开了好几分钟,这个人才发现不太对劲,问道:“我没有
说要去哪里吗?”司机回答:“没有啊!你只叫我快开啊!”于是这个人说:“对不起,请掉头,我要
去火车站.”
问题 1:开始的时候顾客为什么不能到达目的地?
答案 因为出租车行驶的方向不对.
问题 2:要尽快到达目的地应该怎么办?
答案 行驶的方向要对,速度在合法的范围内要快.
1.向量在平面几何中的应用
主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、全等、相似、长度、
夹角等问题.
2.平面向量在物理中的应用
(1)物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解与合成与向量的加法和减法相似,
可以用向量的知识来解决.
(2)物理学中的功是一个标量,这是力 F 与位移 s 的数量积,即 W=F·s=|F||s|cosθ(θ
为 F 与 s 的夹角).
特别提醒
建立平面直角坐标系的方法
(1)要使尽可能多的已知点、直线落在坐标轴上;
(2)若图形中有互相垂直的两条直线,则考虑其作为坐标轴;
(3)若是对称图形,则将图形的对称中心作为原点、将图形的对称轴作为坐标轴.
探究一 向量在平面几何中的应用
例 1 (1)在△ABC 所在的平面内有一点 P,满足
足
+
+
=
足
,则△PBC 与△ABC 的面积
之比是( )
A.
1
3
B.
1
2
C.
2
3
D.
3
4(2)如图所示,在正方形 ABCD 中,P 为对角线 AC 上任意一点,PE⊥AB,PF⊥BC,垂足分别为
E,F,连接 DP,EF,求证:DP⊥EF.
答案 (1)C
解析 (1)由
足
+
+
=
足
,得
足
+
+
足
+
=0,
即
=2
足
,所以点 P 是 CA 边上的三等分点,如图所示.
故
△
△
足
=
足
=
2
3
.
(2)证明:证法一:设正方形 ABCD 的边长为 1,AE=a(0
,
∴cos<
,
>=
1
2
,则∠BOC=60°,
∴∠A=
1
2
∠BOC=30°.
4.点 P 在平面上做匀速直线运动,速度向量 v=(4,-3)(点 P 的运动方向与 v 相同,且每秒移
动的距离为|v|个单位).设开始时点 P0 的坐标为(-10,10),则 5 秒后点 P 的坐标为( )
A.(-2,4) B.(-30,25)
C.(10,-5) D.(5,-10)
答案 C 由题意知,
0P
=5v=(20,-15),
设点 P 的坐标为(x,y),则
+ 10 = 20,
-10 = -15,解得
= 10,
= -5,∴点 P 的坐标为(10,-5).
5.(多选题)如图,在直角△ABC 中,CD 是斜边 AB 上的高,则下列等式成立的是( )
A.|
足
|2=
足
·
足 B.|
|2=
足
·
C.|
足
|2=
足
·
D.|
|2=
(足
·
足 )
×
( 足
·
)
|足 |2
答案 ABD
足
·
足
=
足
·(
足
+
)=
足
2
+
足
·
=
足
2
=|
足
|2,故 A 正确;
同理|
|2=
足
·
成立,故 B 正确;
足
·
=-|
足
||
|cos∠ACD<0,
而|
足
|2>0,故 C 错误;
(足
·
足 )
×
( 足
·
)
|足 |2
=
|足 |2
×
| |2
|足 |2
=
|足 |
×
| |
|足 |
2
=|
|2,故 D 正确.
6.在四边形 ABCD 中,已知
足
=(4,-2),
足
=(7,4),
足
=(3,6),则四边形 ABCD 的面积
是 .
答案 30
解析 ∵
足
·
足
=(4,-2)·(3,6)=0,
∴四边形 ABCD 为矩形.
∵|
足
|=
4
2
+ (-2)
2
=2
5
,
|
足
|=
3
2
+ 6
2
=3
5
,
∴S 四边形 ABCD=|
足
||
足
|=2
5
×3
5
=30.
7.已知力 F 与水平方向的夹角为 30°(斜向上),大小为 50N,一个质量为 8kg 的木块受力 F
的作用在动摩擦因数μ=0.02 的水平平面上运动了 20m,则力 F 所做的功是 ,摩
擦力 f 所做的功是 .(g=10m/s2)
答案 500
3
J;-22J
解析 如图所示,设木块运动的位移为 s,
则 F·s=|F||s|cos30°=50×20×
3
2=500
3
(J).
将力 F 分解,它在铅垂方向上的分力 F1 的大小为|F1|=|F|sin30°=50×
1
2
=25(N),
所以摩擦力 f 的大小为|f|=|μ(G-F1)|
=(80-25)×0.02=1.1(N).
因此 f·s=|f||s|cos180°=1.1×20×(-1)=-22(J).
即 F 和 f 所做的功分别是 500
3
J 和-22J.
8.在△ABC 中,若动点 D 满足
足
2
-
2
+2
足
·
=0,则点 D 的轨迹一定经过△ABC 的( )
A.外心 B.内心
C.垂心 D.重心
答案 A 取 AB 的中点 E,则
足
2
-
2
+2
足
·
=(
足
+
)·(
足
-
)+2
足
·
=2
·
足
+2
足
·
=2
足
·(
-
)=2
足
·
=0,
∴AB⊥ED,即点 D 在 AB 的垂直平分线上,
∴点 D 的轨迹一定经过△ABC 的外心.
9.已知 O 为坐标原点,点 A(3,0),B(4,4),C(2,1),则 AC 和 OB 的交点 P 的坐标
为 .
答案
3
2 ,
3
2解析 设
=t
,
∵B(4,4),∴
=(4t,4t),
又 A(3,0),∴
足
=(3,0),
∴
足
=
-
足
=(4t-3,4t),又 C(2,1),
∴
足
=(2,1)-(3,0)=(-1,1).
由
足
,
足
共线,得(4t-3)×1-4t×(-1)=0,
解得 t=
3
8
,∴
=
3
2 ,
3
2
,
∴点 P 的坐标为
3
2 ,
3
2
.
10.如图,两根固定的光滑硬杆 OA,OB 成θ角,在杆上各套一小环 P,Q(P,Q 重力不计),且用
轻线相连,现用恒力 F 沿
方向拉环 Q,则当两环稳定时,轻线上的拉力的大小
为 .
答案
| |
sin 解析 设 Q 受轻线的拉力为 T,以 Q 为研究对象,由于受力平衡,故轻线与杆 OA 垂直,即轻
线与 OB 的夹角为
π
2
-θ,Tcos
π
2 -θ
=F,故|T|=
| |
sin
.
11.已知三个点 A(2,1),B(3,2),D(-1,4).
(1)求证:AB⊥AD;
(2)要使四边形 ABCD 为矩形,求点 C 的坐标,并求矩形 ABCD 两条对角线所夹的锐角的余弦
值.
解析 (1)证明:∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4),
∴
足
=(1,1),
足
=(-3,3),
∴
足
·
足
=1×(-3)+1×3=0,
∴
足
⊥
足
,
∴AB⊥AD.
(2)∵
足
⊥
足
,四边形 ABCD 为矩形,
∴
足
=
.设点 C 的坐标为(x,y),
则
=(x+1,y-4).
又∵
足
=(1,1),
∴
+ 1 = 1,
-4 = 1,
解得
= 0,
= 5,∴点 C 的坐标为(0,5),
∴
足
=(-2,4),
又∵
=(-4,2),
∴|
足
|=2
5
,|
|=2
5
,
足
·
=8+8=16.
设
足
与
的夹角为θ,
则 cosθ=
足
·
|足 || |
=
16
2 5
×
2 5
=
4
5
.
故矩形 ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为
4
5
.
12.如图所示,若 D 是△ABC 内的一点,且 AB2-AC2=DB2-DC2,求证:AD⊥BC.
证明 设
足
=a,
足
=b,
足
=e,
=c,
=d,
则 a=e+c,b=e+d,
所以 a2-b2=(e+c)2-(e+d)2=c2+2e·c-2e·d-d2.
由已知可得 a2-b2=c2-d2,
所以 c2+2e·c-2e·d-d2=c2-d2,
所以 e·(c-d)=0.
因为
=
+
=d-c,
所以
足
·
=e·(d-c)=0,
所以
足
⊥
,
即 AD⊥BC.
