安徽省皖东县中联盟2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文）试题

安徽省皖东县中联盟2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文）试题

皖东县中联盟2018～2019学年第二学期高二期末考试 数学试题（文科）‎ ‎―、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合，，若，则实数的值为（ ）‎ A. 2 B. 0 C. 0或2 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得集合，根据，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，集合，因为，所以，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合交集运算，其中解答中熟记集合的包含关系的运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎2.已知复数（为虚数单位），则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的运算和复数模的运算，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，复数.故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的模的运算，其中解答中熟记复数的运算，准确利用复数的模的运算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎3.“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 必要不充分条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，得，不可以推出；又由时，能推出，推得，即可得到答案.‎ ‎【详解】由题意，因为，得，不可以推出；‎ 但时，能推出，因此可以能推出，‎ 所以“”是“”的必要不充分条件.故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了必要不充分条件的判定，其中解答中熟记不等式的性质，以及充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎4.已知向量,，若，则实数m的值为（ ）‎ A. B. C. D. ​‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量平行的坐标运算解得.‎ ‎【详解】由，得．即.故选C．‎ ‎【点睛】本题考查向量的平行条件，属于基础题.‎ ‎5.已知函数在区间上的最大值为，则抛物线的准线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由指数函数单调性，求得，化简抛物线的方程，即可求解抛物线的准线方程，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，函数在区间上的最大值为，所以，‎ 所以抛物线化为标准方程，其准线方程是.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，以及抛物线的几何性质的应用，其中解答中熟记指数函数的性质和抛物线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎6.若执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 执行循环结构的程序框图，逐次运算，根据判断条件终止循环，即可得到运算结果，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，执行循环结构的程序框图，可知：‎ 第一次运行时，； ‎ 第二次运行时，；‎ 第三次运行时，；‎ 第四次运行时，；‎ 第五次运行时，；‎ 第六次运行时，，‎ 此时刚好满足，所以输出的值为.故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中熟练应用给定的程序框图，逐次运算，根据判断条件，终止循环得到结果是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎7.若函数在上是增函数，当取最大值时，的值等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据辅助角公式化简成正弦型函数，再由单调性得解.‎ ‎【详解】，‎ 由于在上是增函数，所以，α最大值为，‎ 则.故选B.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的辅助角公式和正弦型函数的单调性，属于基础题.‎ ‎8.统计某校名学生的某次数学同步练习成绩，根据成绩分数依次分成六组：‎ ‎，得到频率分布直方图如图所示，若不低于140分的人数为110.①；②；③100分的人数为60；④分数在区间的人数占大半．则说法正确的是（ ）‎ A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据频率分布直方图的性质和频率分布直方图中样本估计总体，准确运算，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，根据频率分布直方图的性质得，‎ 解得.故①正确；‎ 因为不低于140分的频率为，所以，故②错误；‎ 由100分以下的频率为，所以100分以下的人数为，‎ 故③正确；‎ 分数在区间的人数占，占小半.故④错误.‎ 所以说法正确的是①③.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答熟记频率分布直方图的性质，以及在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所有小长方形的面积的和等于1，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎9.在钝角中，角所对的边分别为，且，已知 ‎，，则的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正弦定理可得，再利用二倍角公式可求，再利用余弦定理求出后可求的面积.‎ ‎【详解】由正弦定理，得，由，得（舍），‎ 由余弦定理，得 ‎，‎ 即，解得.‎ 由，得，所以的面积，故选C.‎ ‎【点睛】在解三角形中，如果题设条件是关于边二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.‎ ‎10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据给定的三视图，得到该几何体是一个组合体，其中上面是一个半圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是3；下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，利用体积公式，即可求解.‎ ‎【详解】由三视图，可得该几何体是一个组合体，其中上面是一个半圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是3；下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，‎ 所以该几何体的体积是.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了几何体三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.‎ ‎11.某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万斤，每种植一斤藕，成本增加0.5元.如果销售额函数是 （是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元，是常数），若种植2万斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕（ ）‎ A. 6万斤 B. 8万斤 C. 3万斤 D. 5万斤 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设销售的利润为，得，当时，，解得，得出函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，设销售的利润为，得，‎ 即，当时，，解得，‎ 故，则，‎ 可得函数在上单调递增，在上单调递减，所以时，利润最大，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了导数在实际问题中的应用，其中解答中认真审题，求得函数的解析式，利用导数得出函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎12.在三棱锥中，，侧面与底面垂直，则三棱锥外接球的表面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设球心为，和中心分别为、，得平面，平面，‎ 根据球的截面的性质，求得球的半径，再利用球的表面积公式，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，取的中点为，由和都是正三角形，得，‎ 由侧面与底面垂直，得，‎ 设球心为，和中心分别为、，则平面，平面，又由，，所以，‎ 所以外接球的表面积为，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了球与棱锥的组合体的性质，以及球的表面积的计算，其中解答中熟练应用球的组合体的性质，求得球的半径是解答本题的关键，着重考查了空想想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.‎ 二、填空题．‎ ‎13.已知为等差数列的前项和，公差，且，，，成等比数列，则__________．‎ ‎【答案】-9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，利用等差数列的前n项和公式，求得，又由，，成等比数列，利用等差数列的通项公式，求得，联立方程组，即可求解.‎ ‎【详解】由题意知，则，即，‎ 又由，，成等比数列，则，所以，即，‎ 联立方程组，解得.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项和前n项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎14.设x，y满足约束条件，的最大值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式组作出可行域，再由线性目标函数的几何意义求得.‎ ‎【详解】作出不等式组表示的平面区域如图所示．‎ 平移直线，由图可知当直线经过点时，取得最大值．‎ ‎【点睛】本题考查线性规则问题，考查数形结合的思想，属于基础题.‎ ‎15.已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若（为坐标原点）的面积为，且双曲线的离心率为，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线的渐近线方程是，联立方程组，求得的坐标，求得，‎ 再由双曲线的离心率为，得，求得，再利用面积公式，即可求解.‎ ‎【详解】由双曲线，可得渐近线方程是，‎ 联立，得；联立，得，故，‎ 又由双曲线的离心率为，所以，得，‎ 所以，故，解得.‎ ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确运算求得是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.‎ ‎16.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.若函数有4个零点，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对称性，在上有两个不同的实根，即在上有两个不同的实根，等价转化为直线与曲线有两个交点，利用导数求得函数单调性与最值，结合图象，即可求解.‎ ‎【详解】由是偶函数，根据对称性，在上有两个不同的实根，‎ 即在上有两个不同的实根，‎ 等价转化为直线与曲线有两个交点，‎ 而，‎ 则当时，；当时，，‎ 所以函数在上是减函数，在上是增函数，‎ 于是，且，结合图象，可得.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数研究方程的零点问题，其中解答中根据函数的奇偶性，把函数的零点转化为直线与曲线有两个交点，利用导数得出函数的单调性与最值，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17.的内角所对的边分别是，已知.‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)若的面积为，，，求，.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由正弦定理得 ‎ ‎ ‎；（2）由，再由余弦订立的得.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由已知 结合正弦定理得 所以 即，亦即 因为，所以.‎ ‎（2）由，，得，即，‎ 又，得 所以，又，∴‎ ‎18.已知正项等比数列满足．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项的和.‎ ‎【答案】(1) .(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据等比数列的通项公式求其基本量可求解；‎ ‎(2)根据错位相减法对数列求和.‎ ‎【详解】解:（1）设等比数列的公比为．‎ 由，‎ 得，‎ 即，‎ 解得或.‎ 又，则，.‎ ‎.‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的通项公式和错位相减法求数列的和，属于中档题.‎ ‎19.某县畜牧技术员张三和李四9年来一直对该县山羊养殖业的规模进行跟踪调查，张三提供了该县某山羊养殖场年养殖数量（单位：万只）与相应年份（序号）的数据表和散点图（如图所示），根据散点图，发现与有较强的线性相关关系，李四提供了该县山羊养殖场的个数（单位：个）关于的回归方程.‎ 年份序号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 年养殖山羊/万只 ‎1.2‎ ‎1.5‎ ‎1.6‎ ‎1.6‎ ‎1.8‎ ‎2.5‎ ‎2.5‎ ‎2.6‎ ‎2.7‎ ‎（1）根据表中的数据和所给统计量，求关于的线性回归方程（参考统计量：，）；‎ ‎（2）试估计：①该县第一年养殖山羊多少万只？‎ ‎②到第几年，该县山羊养殖的数量与第一年相比缩小了？‎ 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题设中的数据，求得，，利用公式，进而得到，即可得到回归直线的方程；‎ ‎（2）求得第年山羊养殖的只数，①代入，即可得到第一年的山羊的养殖只数；②根据题意，得，求得，即可得到结论 ‎【详解】（1）设关于的线性回归方程为，‎ 则，‎ ‎，‎ 则，所以，‎ 所以关于的线性回归方程为。‎ ‎（2）估计第年山羊养殖的只数，‎ ‎①第1年山羊养殖的只数为，故该县第一年养殖山羊约万只；‎ ‎②由题意，得，整理得，‎ 解得或（舍去）‎ 所以到第10年该县山羊养殖的数量相比第1年缩小了。‎ ‎【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解及其应用，其中解答中根据公式，准确运算得到回归直线的方程，合理利用方程预测是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎20.如图，垂直于所在的平面，为的直径，是弧上的一个动点（不与端点重合），为上一点，且是线段上的一个动点（不与端点重合）.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若是弧的中点，是锐角，且三棱锥的体积为，求的值.‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由为的直径，得到，又由平面，证得，利用线面垂直的判定定理得到平面，再利用线面垂直的判定定理，即可证得平面.‎ ‎（2）当点位于线段上时，如图所示：作，垂足为点，根据线面垂直的判定定，证得平面，得到是三棱锥的底面上的高，再来体积公式，列出方程，即可求解.‎ ‎【详解】（1）证明：因为为的直径，‎ 所以根据直径所对的圆周角是直角，可知，‎ 因为平面，平面，所以，‎ 又因为平面平面，所以平面，‎ 又平面，所以，‎ 又因为平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）当点位于线段上时，如图所示：作，垂足为点，‎ 因为平面，平面，所以，‎ 又因为，所以，‎ 又因为平面，所以平面，‎ 所以是三棱锥的底面上的高，‎ 因为是弧的中点，且，‎ 所以，且，‎ 若三棱锥的体积为，‎ 则，解得，‎ 所以，所以，‎ 所以，‎ 综上所述，当三棱锥的体积为时，.‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及三棱锥体积公式的应用，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及合理利用棱锥的体积求得三棱锥的高是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.‎ ‎21.已知抛物线，焦点为，准线为，线段的中点为.点是上在轴上方的一点，且点到的距离等于它到原点的距离.‎ ‎（1）求点的坐标；‎ ‎（2）过点作一条斜率为正数的直线与抛物线从左向右依次交于两点，求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由点到的距离等于它到原点的距离，得，又为线段的中点，所以，设点的坐标为，代入抛物线的方程，解得，即可得到点坐标.‎ ‎（2）设直线的方程为，代入抛物线的方程，根据根与系数的关系，求得，，进而得到，进而得到直线和的倾斜角互补，即可作出证明.‎ ‎【详解】（1）根据抛物线的定义，点到的距离等于，‎ 因为点到的距离等于它到原点的距离，所以，‎ 从而为等腰三角形，‎ 又为线段的中点，所以，‎ 设点的坐标为，代入，解得，‎ 故点的坐标为.‎ ‎（2）设直线的方程为，代入，并整理得，‎ 由直线与抛物线交于、两点，得，‎ 结合，解得，‎ 由韦达定理，得，，‎ ‎，‎ 所以直线和的倾斜角互补，从而，‎ 结合轴，得，故.‎ ‎【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线与抛物线的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.‎ ‎22.已知函数．‎ ‎（1）设，求函数的极值；‎ ‎（2）当时函数有两个极值点，证明：.‎ ‎【答案】(1) 极大值，无极小值．(2)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)对函数求导，得其导函数的正负，研究原函数的单调性得极值；‎ ‎(2)根据导函数为零，得关于这两个极值点的韦达定理，从而将两个变元的问题可转化成一个变元的问题，再研究关于这个变元的函数的单调性和最值.‎ ‎【详解】（1）解：，‎ 则．‎ 令，得.‎ 所以当x变化时，的变化情况如下表：‎ x ‎+‎ ‎-‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 因此有极大值，无极小值．‎ ‎（2）证明：． ‎ 由题意得，.‎ 因为，所以．‎ 由，得，‎ 则，解得．‎ 所以.‎ 由（1）得，‎ 所以 令，则.‎ 分析可得在区间上单调递减．‎ 当时．‎ 所以 ‎【点睛】本题考查利用导数处理极值与不等式证明问题，第二问关键将双变元转化成单变元问题，属于难度题.‎ ‎ ‎