甘肃省岷县第一中学2018-2019学年高二下学期第一次月考数学（理）试卷

甘肃省岷县第一中学2018-2019学年高二下学期第一次月考数学（理）试卷

‎2018—2019学年第二学期第一次月考试卷 高二 数学（理科） ‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中只有一项符合要求）。‎ ‎1．函数的导函数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)内单调递减的函数是(　 　)．‎ A． B．y＝|x|＋1 C．y＝－lg|x| D．y＝2|x|‎ ‎3.已知函数 则（ ）‎ A. B．9 C． D． ‎ ‎4.用反证法证明命题：若 ，全为0，其反设正确的是（ ）‎ ‎ A.至少有一个为0 B.至少有一个不为0‎ ‎ C.全不为0 D.只有一个为0‎ ‎5.函数的单调递减区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6. 函数的图像大致是( )‎ ‎ ‎ ‎ A B C D ‎7．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝( )．‎ A．－e B．－1 C．1 D．e ‎8. 函数的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.把3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，试求第六个三角形数是( )‎ A．27 B．28 C．29 D．30‎ ‎10.定积分的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.曲线上的点到直线的最短距离是(    )‎ A. B. 2 C. D. 1‎ ‎12.定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式exf（x）＞ex+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）‎ A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）∪（3，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（3，+∞）‎ 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分共20分）.‎ ‎13．由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为 .‎ ‎14．三段论推理:“①正方形是平行四边形,②平行四边形对边相等,③正方形对边相等”,其中小前提是________(写序号)‎ ‎15．曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1,1)处的切线方程为 .‎ ‎16．已知面积为S的凸四边形中，四条边长分别记为点P为四边形内任意一点,且点 到四边形各边的距离分别为若，则.类比以上性质，体积为V的三棱锥的每个面的面积分别记为,此三棱锥内任意一点Q到每个面的距离分别为,若,则 .‎ 三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或计算步骤）。‎ ‎17.（本小题10分）用数学归纳法证明：‎ ‎.‎ ‎18．（本小题12分）求下列函数的导函数: （Ⅰ）y=(x-2)(x2+1);（Ⅱ） .‎ ‎19.（本小题12分）已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=﹣x2+2x ‎（Ⅰ）求函数f（x）在R上的解析式；‎ ‎（Ⅱ）若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，求实数a的取值范围．‎ ‎20．（本小题满分12分）设函数f（x）=x3﹣6x+5，x∈R．‎ ‎（I）求曲线f（x）在点（1，0）的切线方程；‎ ‎（II）求f（x）的单调区间和极值.‎ ‎21．（本小题满分12分）已知函数.‎ ‎（I）函数的单调增区间和最小值；‎ ‎(II）证明：.‎ ‎22. (本小题满分12分）已知函数，． ‎ ‎（I）讨论的单调性；‎ ‎(II）若对任意，都有成立，求实数的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎2016—2017学年第二学期 高二数学（理）试卷答案 一、选择题 ‎1—5: DCABD 6—10: ABABC 11—12: AA ‎12解：设g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），‎ 则g′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣ex=ex[f（x）+f′（x）﹣1]，‎ ‎∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，‎ ‎∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，‎ ‎∵exf（x）＞ex+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，‎ ‎∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．‎ 二、填空题 ‎13、 14、① 15、 y=4x-3 16 、 ‎ ‎17. 证明：(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝，左边＝右边，‎ ‎∴等式成立．‎ ‎(2)假设当n＝k(k∈N＋，且k≥1)时等式成立，‎ 即有＋＋…＋＝，‎ 则当n＝k＋1时，‎ ＋＋…＋＋ ‎＝＋＝ ‎＝＝＝，‎ ‎∴当n＝k＋1时，等式也成立．‎ 由(1)(2)可知，对一切n∈N＋，等式都成立．‎ ‎18.解：解:(1); (2), ∵, ‎ ‎。‎ ‎19. (1）在和上单调递减，‎ 在和上单调递增，‎ ‎(2）方程的解分别是 和， 观察图像可得的 解集是 ‎20. 【解答】（1）设切点为（m，n），则切线的斜率为3（m2﹣2），‎ 切线的方程为y﹣（m3﹣6m+5）=3（m2﹣2）（x﹣m），‎ 代入（1，0），可得﹣（m3﹣6m+5）=3（m2﹣2）（1﹣m），‎ 化为（m﹣1）2（2m+1）=0，解得m=1或m=﹣，‎ 则斜率为﹣3或﹣，可得切线的方程为y=﹣3x+3或y=﹣x+．‎ ‎(2）f'（x）=3（x2﹣2），‎ 令f'（x）=0，得，‎ ‎∴当或时，f'（x）＞0；‎ 当时，f'（x）＜0，‎ ‎∴f（x）的单调递增区间是和，‎ 单调递减区间是；‎ 当x=﹣，f（x）有极大值5+4；当x=，f（x）有极小值5﹣4；‎ ‎21．解：（1）f′（x）=1+lnx，令f′（x）=1+lnx＞0解得，x＞；‎ 故f（x）的单调增区间为（，+∞）；f（x）的单调减区间为（0，）；故f（x）的最小值为 f（）=﹣；‎ ‎（2），设，则，‎ 当时，；当时，，‎ 在处取得最小值，，即 ‎22、【解析】（1）函数的定义域为，‎ 又，‎ 当时，在上，，是减函数；‎ 当时，由得：或（舍）．‎ 所以在上，，是减函数；‎ 在上，，是增函数．‎ ‎（2）对任意，都有成立，即在上，．‎ 由（1）知：当时，在上是减函数，‎ 又，不合题意，‎ 当时，当时，取得极小值也是最小值，‎ 所以，‎ 令，所以，‎ 在上，，是增函数，又，‎ 所以要使得，即，即，‎ 故的取值范围为．‎