【数学】2019届一轮复习人教A版命题及其关系、充分条件与必要条件学案

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【数学】2019届一轮复习人教A版命题及其关系、充分条件与必要条件学案

命题及其关系、充分条件与必要条件 ‎【考点梳理】‎ ‎1.命题 用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.‎ ‎2.四种命题及其相互关系 ‎(1)四种命题间的相互关系 ‎(2)四种命题的真假关系 ‎①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;‎ ‎②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.‎ ‎3.充分条件与必要条件 ‎(1)如果p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.‎ ‎(2)如果p⇔q,那么p与q互为充要条件.‎ ‎(3)如果pq,且qp,则p是q的既不充分也不必要条件.‎ ‎4.集合与充要条件 设集合A={x|x满足条件p},B={x|x满足条件q},则有:‎ ‎(1)若A⊆B,则p是q的充分条件,若AB,则p是q的充分不必要条件.‎ ‎(2)若B⊆A,则p是q的必要条件,若BA,则p是q的必要不充分条件.‎ ‎ (3)若A=B,则p是q的充要条件.‎ ‎【考点突破】‎ 考点一、四种命题的关系及其真假判断 ‎【例1】(1) 命题“若,则”的逆否命题是(  )‎ A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 ‎(2) 给出下列命题:‎ ‎①“∃x0∈R,x-x0+1≤0”的否定;‎ ‎②“若x2+x-6≥0,则x>2”的否命题;‎ ‎③命题“若x2-5x+6=0,则x=2”的逆否命题.‎ 其中真命题的个数是(  )‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎[答案] (1)C (2)C ‎[解析] (1)命题“若p,则q”的逆否命题是“若q,则p”,显然q:,p:,所以该命题的逆否命题是“若,则”.‎ ‎(2) ①的否定是“∀x∈R,x2-x+1>0”是真命题,①正确;②的否命题是“若x2+x-6<0,则x≤2”,由x2+x-6<0,得-3b,则a+c>b+c”的否命题是(  )‎ A.若a≤b,则a+c≤b+c B.若a+c≤b+c,则a≤b C.若a+c>b+c,则a>b D.若a>b,则a+c≤b+c ‎[答案] A ‎[解析] 将条件、结论都否定.命题“若a>b,则a+c>b+c”的否命题是“若a≤b,则a+c≤b+c”.‎ ‎2. 原命题:设a,b,c∈R,若“a>b”,则“ac2>bc2”,以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题共有(  )‎ A.0个 B.1个 C.2个 D.4个 ‎[答案] C ‎[解析] 原命题:若c=0,则不成立,由等价命题同真同假知其逆否命题也为假;逆命题为设a,b,c∈R,若“ac2>bc2”,则“a>b”.由ac2>bc2知c2>0,∴由不等式的基本性质得a>b,∴逆命题为真,由等价命题同真同假知否命题也为真,∴真命题共有2个.‎ 考点二、充分条件与必要条件的判断 ‎【例2】(1) 已知函数f(x)=则“x=0”是“f(x)=1”的(  )‎ A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ‎(2) 设x∈R,则“2-x≥‎0”‎是“|x-1|≤‎1”‎的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎[答案] (1)B (2)B ‎[解析] (1)若x=0,则f(0)=e0=1;若f(x)=1,则ex=1或ln(-x)=1,解得x=0或x=-e.故“x=0”是“f(x)=1”的充分不必要条件.‎ ‎(2)由2-x≥0,得x≤2,‎ 由|x-1|≤1,得0≤x≤2.‎ ‎∵0≤x≤2⇒x≤2,x≤20≤x≤2,‎ 故“2-x≥‎0”‎是“|x-1|≤‎1”‎的必要而不充分条件.‎ ‎【类题通法】‎ 充分条件、必要条件的三种判断方法 ‎(1)定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断,适用于定义、定理判断性问题.‎ ‎(2)集合法:根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断,多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题.‎ ‎(3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断,适用于条件和结论带有否定性词语的命题.‎ ‎【对点训练】‎ ‎1.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的(  )‎ A.充分不必要条件    B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎[答案] A ‎[解析] 因为由“a=3”可以推出“A⊆B”,反过来,由A⊆B可以得到“a=3或a=‎2”‎,不一定推出“a=3”,所以“a=3”是“A⊆B”的充分不必要条件.‎ ‎2.已知a,b都是实数,那么“>”是“ln a>ln b”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎[答案] B ‎[解析] 由ln a>ln b⇒a>b>0⇒>,故必要性成立.‎ 当a=1,b=0时,满足>,但ln b无意义,所以ln a>ln b不成立,故充分性不成立.‎ 考点三、充分条件、必要条件的应用 ‎【例3】已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,求m的取值范围.‎ ‎[解析] 由x2-8x-20≤0得 ‎-2≤x≤10,‎ ‎∴P={x|-2≤x≤10}.‎ ‎∵x∈P是x∈S的必要条件,‎ 则S⊆P,‎ ‎∴∴0≤m≤3.‎ 综上,可知0≤m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件.‎ ‎【变式1】本例条件不变,问是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件?并说明理由.‎ ‎[解析] 由例题知P={x|-2≤x≤10}.‎ 若x∈P是x∈S的充要条件,则P=S,‎ ‎∴∴ 这样的m不存在.‎ ‎【变式2】本例条件不变,若P是S的必要不充分条件,求实数m的取值范围.‎ ‎[解析] 由例题知P={x|-2≤x≤10}.‎ ‎∵P是S的必要不充分条件,‎ ‎∴P是S的充分不必要条件,‎ ‎∴P⇒S且S P.‎ ‎∴[-2,10][1-m,1+m].‎ ‎∴或 ‎∴m≥9,则m的取值范围是[9,+∞).‎ ‎【类题通法】‎ 充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意:‎ ‎(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.‎ ‎(2)要注意区间端点值的检验.‎ ‎【对点训练】‎ 已知p:≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),且p是q的必要不充分条件,则实数m的取值范围是________.‎ ‎[答案] [9,+∞)‎ ‎[解析] 法一:由≤2,得-2≤x≤10,‎ ‎∴p对应的集合为{x|x>10或x<-2},‎ 设A={x|x>10或x<-2}.‎ 由x2-2x+1-m2≤0(m>0),得1-m≤x≤1+m(m>0),‎ ‎∴q对应的集合为{x|x>1+m或x<1-m,m>0},‎ 设B={x|x>1+m或x<1-m,m>0}.‎ ‎∵p是q的必要不充分条件,‎ ‎∴BA,∴或解得m≥9,‎ ‎∴实数m的取值范围为[9,+∞).‎ 法二:∵p是q的必要不充分条件,‎ ‎∴q是p的必要不充分条件.‎ 即p是q的充分不必要条件,‎ 由x2-2x+1-m2≤0(m>0),得1-m≤x≤1+m(m>0).‎ ‎∴q对应的集合为{x|1-m≤x≤1+m,m>0},‎ 设M={x|1-m≤x≤1+m,m>0},‎ 又由≤2,得-2≤x≤10,‎ ‎∴p对应的集合为{x|-2≤x≤10},‎ 设N={x|-2≤x≤10}.‎ 由p是q的充分不必要条件知,NM,‎ ‎∴或解得m≥9.‎ ‎∴实数m的取值范围为[9,+∞).‎
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