2013版《6年高考4年模拟》：第十五章 坐标系与参数方程
【数学精品】2013版《6年高考4年模拟》
第十六章 坐标系与参数方程
第一部分 六年高考荟萃
2012年高考题
1. [2012·天津卷] 已知抛物线的参数方程为(t为参数)，其中p＞0，焦点为F，准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E.若|EF|＝|MF|，点M的横坐标是3，则p＝________.
答案：2 [解析] 本题考查抛物线的参数方程及抛物线的性质，考查运算求解能力及转化思想，中档题．将参数方程 化为普通方程为y2＝2px(p>0)，并且F，E，又∵|EF|＝|MF|＝|ME|，即有3＋＝，解之得
p＝±2(负值舍去)，即p＝2.
2. [2012·上海卷] 如图1－1所示，在极坐标系中，过点M(2,0)的直线l与极轴的夹角α＝，若将l的极坐标方程写成ρ＝f(θ)的形式，则f(θ)＝________.
图1－1
答案： [解析] 考查极坐标方程，关键是写出直线的极坐标方程，再按要求化简．
由已知得直线方程为y＝(x－2)tan，化简得x－y－2＝0，转化为极坐标方程为：
ρcosθ－ρsinθ－2＝0，解得ρ＝＝，所以
f(θ)＝.
3.[2012·陕西卷]直线2ρcosθ＝1与圆ρ＝2cosθ相交的弦长为________．
答案： [解析] 本题考查了极坐标的相关知识，解题的突破口为把极坐标化为直角坐标．由2ρcosθ＝1得2x＝1①，由ρ＝2cosθ得ρ2＝2ρcosθ，即x2＋y2＝2x②，联立①②得y＝±，所以弦长为.
4. [2012·辽宁卷]在直角坐标系xOy.圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4.(1)在以O
为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程．
解：(1)圆C1的极坐标方程为ρ＝2，圆C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ.
解得ρ＝2，θ＝±.故圆C1与圆C2交点的坐标为，.
注：极坐标系下点的表示不唯一．
(2)(解法一)由得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1，)，(1，－)．
故圆C1与C2的公共弦的参数方程为－≤t≤.
(或参数方程写成 －≤y≤)
(解法二)
在直角坐标系下求得弦C1C2的方程为x＝1(－≤y≤)．将x＝1代入得ρcosθ＝1，从而ρ＝.于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为－≤θ≤.
5. [2012·课标全国卷]已知曲线C1的参数方程是(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为.(1)求点A，B，C，D的直角坐标；(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．
解：(1)由已知可得A2cos，2sin，B2cos＋,2sin＋，C2cos＋π,2sin＋π，
D2cos＋,2sin＋，
即A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，D(，－1)．
(2)设P(2cosφ，3sinφ)，令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，则
S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ.
因为0≤sin2φ≤1，所以S的取值范围是[32,52]．
6. [2012·江苏卷]在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
解：在ρsin＝－中令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)．
因为圆C经过点P，所以圆C的半径PC＝＝1，
于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.
7. [2012·湖南卷] 在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(θ为参数，a＞0)有一个公共点在x轴上，则a＝________.
答案： [解析] 考查直线与椭圆的参数方程，此类问题的常规解法是把参数方程转化为普通方程求解，此题的关键是，得出两曲线在x轴上的一个公共点，即为曲线C1与x轴的交点，化难为易．曲线C1： (t为参数)的普通方程是2x＋y－3＝0，曲线C2的普通方程是＋＝1，两曲线在x轴上的一个公共点，即为曲线C1与x轴的交点，代入曲线C2，得＋
＝1，解得a＝.
8. [2012·湖北卷]在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知射线θ＝与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为________．
答案：. [解析] 曲线 化为直角坐标方程是y＝2，射线θ＝化为直角坐标方程是y＝x.联立 消去y得x2－5x＋4＝0，解得x1＝1，x2＝4.所以y1＝1，y2＝4.故线段AB的中点的直角坐标为，即.
9.[2012·福建卷]在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为(2,0)，，圆C的参数方程为(θ为参数)．(1)设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；
(2)判断直线l与圆C的位置关系．
解：(1)由题意知，M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，，又P为线段MN的中点，从而点P的平面直角坐标为，故直线OP的平面直角坐标方程为y＝x.
(2)因为直线l上两点M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，，所以直线l的平面直角坐标方程为x＋3y－2＝0.又圆C的圆心坐标为(2，－)，半径r＝2，圆心到直线l的距离d＝＝＜r，故直线l与圆C相交．
10. [2012·安徽卷] 在极坐标系中，圆ρ＝4sinθ的圆心到直线θ＝(ρ∈R)的距离是________．
答案： [解析] 本题考查极坐标与直角坐标的互化，圆的方程，点到直线的距离．
应用极坐标与直角坐标的互化公式 将圆ρ＝4sinθ化为直角坐标方程为x2＋2＝4，直线θ＝化为直角坐标方程为y＝x.因为x2＋2＝4的圆心为，所以圆心到直线y＝x，即x－3y＝0的距离为d＝＝.
11. [2012·北京卷] 直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数为________．
答案：2 [解析] 本题主要考查直线和圆的位置关系，考查参数方程和普通方程之间的转化等基础知识，考查数形结合思想的运用．方程转化为普通方程，直线为x＋y＝1，圆为x2＋y2＝9，法一：圆心到直线的距离为d＝＝<3，所以直线与圆相交，答案为2.
法二：联立方程组消去y可得x2－x－4＝0，Δ>0，所以直线和圆相交，答案为2.
12.[2012·广东卷] (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为(t为参数)和(θ为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．
答案：(1,1) [解析] 本题考查参数方程与直角坐标方程之间的转化，突破口是把参数方程转化为直角坐标方程，利用方程思想解决，C1的直角坐标方程为：y2＝x(x≥0)，C2的直角坐标方程为：x2＋y2＝2，联立方程得：解得所以交点坐标为(1,1)．
13. [2012·江西卷] (1)(坐标系与参数方程选做题)曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．
(2)(不等式选做题)在实数范围内，不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6的解集为________．
答案：(1)ρ＝2cosθ [解析] 考查极坐标方程与普通方程的转化；解题的突破口是利用点P的直角坐标(x，y)与极坐标(ρ，θ)的关系转化．由于ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，因此x2＋y2－2x＝0的极坐标方程为ρ＝2cosθ.
(2) [解析] 考查绝对值不等式的解法，以及分类讨论思想；解题的突破口是利用零点讨论法去掉绝对值符号，将不等式转化为一般不等式(组)求解．当x>时，原不等式可化为2x－1＋2x＋1≤6，解得x≤，此时
0，故tanα＝.
所以直线l的斜率为.
2011年高考题
1. (2011年高考安徽卷理科5)在极坐标系中，点 到圆 的圆心的距离为
（A）2 (B) (C) （D)
【命题意图】本题考查了极坐标方程与平面直角坐标系中的一般方程的的互化，属于容易题.
【答案】D
【解析】极坐标系中的点（2，）化为直角坐标系中的点为（1，）；极坐标方程化为直角坐标方程为，即，其圆心为（1,0），
∴所求两点间距离为=，故选D.
2. (2011年高考安徽卷理科3)在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查极坐标方程与直角坐标系下方程的互化及点互化，是简单题.
【解析】：，圆心直角坐标为（0,-1），极坐标为，选B。
1．(2011年高考天津卷理科11)已知抛物线的参数方程为（为参数），若斜率
坐标方程为
答案：。
解析：做坐标系与参数方程的题，大家只需记住两点：1、，2、即可。根据已知=
所以解析式为：
3. (2011年高考湖南卷理科9)在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（为参数）在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为，则与的交点个数为 。
答案：2
解析：曲线，，由圆心到直线的距离，故与的交点个数为2.
4. (2011年高考广东卷理科14)（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为和，它们的交点坐标为 .
【解析】（0≤q 消去参数后的普通方程为，消去参数后的普通方程为 联立两个曲线的普通方程得 ,所以它们的交点坐标为
5. (2011年高考湖北卷理科14)如图，直角坐标系Oy所在的平面为，直角坐标系Oy (其中轴与y轴重合)所在平面为，
(Ⅰ)已知平面内有一点，则点在平面内的射影P的坐标为 ；
(Ⅱ)已知平面内的曲线的方程是，则曲线在平面内的射影C的方程是 .
答案：（2，2）
解析：设P为（a, b）,因为y轴与y＇轴重合，故P＇到y轴距离为，到x轴距离为2，又因为∠xox＇=45°，则b=2，a=故P（2，2）.设面β内任意一点P（x,y）其在内射影为，由平面图形可知， ，，即，，故方程为即.
6.(2011年高考陕西卷理科15)（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系中，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线 为参数）和曲线上，则的最小值为
【答案】3
【解析】：由得圆心为，由得圆心为，由平几知识知当为连线与两圆的交点时的最小值，则的最小值为
.
7．(2011年高考上海卷理科5)在极坐标系中，直线与直线的夹角大小为 。
【答案】
1.(2011年高考辽宁卷理科23)（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）曲线C2的参数方程为（，为参数）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=与C1，C2各有一个交点.当=0时，这两个交点间的距离为2，当=时，这两个交点重合.
（I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；
(II)设当=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1,当=-时，l与C1，
C2的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积.
解：（I）C1是圆，C2是椭圆.
当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），因为这两点间的距离为2，所以a=3.
当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），因为这两点重合，所以b=1.
（II）C1，C2的普通方程分别为
当时，射线l与C1交点A1的横坐标为，与C2交点B1的横坐标为
当时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此，
四边形A1A2B2B1为梯形.
故四边形A1A2B2B1的面积为 …………10分
2. (2011年高考全国新课标卷理科23) （本小题满分10分）选修4-4坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为，(为参数)
M是曲线上的动点，点P满足，（1）求点P的轨迹方程；（2）在以D为极点，X轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与曲线，交于不同于原点的点A,B求
解析; （I）设P(x,y),则由条件知M().由于M点在C1上，所以
即
从而的参数方程为
（为参数）
（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为。
射线与的交点的极径为，
射线与的交点的极径为。
所以.
3.(2011年高考江苏卷21)选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，求过椭圆（为参数）的右焦点且与直线（为参数）平行的直线的普通方程。
解析：考察参数方程与普通方程的互化、椭圆的基本性质、直线方程、两条直线的位置关系，中档题。椭圆的普通方程为右焦点为（4，0），直线（为参数）的普通方程为，斜率为：；所求直线方程为：.
4.(2011年高考福建卷理科21)（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直接坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为
．
（I）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，），判断点P与直线l的位置关系；
（II）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
解析：本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想。满分7分。
解：（I）把极坐标系下的点化为直角坐标，得P（0，4）。
因为点P的直角坐标（0，4）满足直线的方程，
所以点P在直线上，
（II）因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为，
从而点Q到直线的距离为
，
由此得，当时，d取得最小值，且最小值为
2010年高考题
一、选择题
1.（2010湖南文）4. 极坐标和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是
A. 直线、直线 B. 直线、圆 C. 圆、圆 D. 圆、直线
【答案】 D
2.（2010重庆理）（3）=
A. —1 B. — C. D. 1
【答案】 B
解析：=
3.（2010北京理）（5）极坐标方程（p-1）（）=（p0）表示的图形是
（A）两个圆 （B）两条直线
（C）一个圆和一条射线 （D）一条直线和一条射线
【答案】C
4.（2010湖南理）5、等于
A、 B、 C、 D、
5.（2010湖南理）3、极坐标方程和参数方程（为参数）所表示的图形分别是
A、圆、直线 B、直线、圆
C、圆、圆 D、直线、直线
6.（2010安徽理）7、设曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，则曲线上到直线距离为的点的个数为
A、1 B、2 C、3 D、4
【答案】B
【解析】化曲线的参数方程为普通方程：，圆心到直线的距离，直线和圆相交，过圆心和平行的直线和圆的2个交点符合要求，又，在直线的另外一侧没有圆上的点符合要求，所以选B.
【方法总结】解决这类问题首先把曲线的参数方程为普通方程，然后利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系，这就是曲线上到直线距离为，然后再判断知，进而得出结论.
二、填空题
1.（2010上海文）3.行列式的值是 。
【答案】 0.5
解析：考查行列式运算法则=
2.（2010陕西文）15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
A.（不等式选做题）不等式<3的解集为. 。
【答案】
解析：
B.（几何证明选做题）如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝ cm.
【答案】
解析：,由直角三角形射影定理可得
C.（坐标系与参数方程选做题）参数方程（为参数）化成普通方程为
【答案】x2＋（y－1）2＝1.
解析：
3.（2010北京理）（12）如图，的弦ED，CB的延长线交于点A。若BDAE，AB＝4, BC＝2, AD＝3,则DE＝ ；CE＝ 。
【答案】5
4.（2010天津文）（11）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P。若PB=1，PD=3，则的值为 。
【答案】
【解析】本题主要考查四点共圆的性质与相似三角形的性质，属于容易题。
因为A,B,C,D四点共圆，所以,因为为公共角，所以
⊿PBC∽⊿PAB,所以=
【温馨提示】四点共圆时四边形对角互补，圆与三角形综合问题是高考中平面几何选讲的重要内容，也是考查的热点。
5.（2010天津理）（14）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若,则的值为 。
【答案】
【解析】本题主要考查四点共圆的性质与相似三角形的性质，属于中等题。
因为A,B,C,D四点共圆，所以,因为为公共角，所以
⊿PBC∽⊿PAB,所以.设OB=x，PC=y，则有，所以
【温馨提示】四点共圆时四边形对角互补，圆与三角形综合问题是高考中平面几何选讲的重要内容，也是考查的热点。
6.（2010天津理）（13）已知圆C的圆心是直线与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程为
【答案】
本题主要考查直线的参数方程，圆的方程及直线与圆的位置关系等基础知识，属于容易题。
令y=0得t=-1，所以直线与x轴的交点为（-1.0）
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，所以圆C的方程为
【温馨提示】直线与圆的位置关系通常利用圆心到直线的距离或数形结合的方法求解。
7.（2010广东理）15、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（0 ≤ θ<2π）中，曲线ρ= 与 的交点的极坐标为______．
【答案】．
由极坐标方程与普通方程的互化式知，这两条曲线的普通方程分别为．解得由得点（-1，1）的极坐标为．
8.（2010广东理）
14、（几何证明选讲选做题）如图3，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD=，∠OAP=30°，则CP＝______.
【答案】
因为点P是AB的中点，由垂径定理知， .
在中，.由相交线定理知，
，即，所以．
9.（2010广东文）15.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线与的交点的极坐标为 .
10.（2010广东文）14.（几何证明选讲选做题）如图3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB,CB,AB=AD=,CD=,
点E,F分别为线段AB,AD的中点，则EF=
【答案】
解：连结DE，可知为直角三角形。则EF是斜边上的中线，等于斜边的一半，为.
三、解答题
1.（2010辽宁理）（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E
（I）证明：
（II）若的面积，求的大小。
证明：
（Ⅰ）由已知条件，可得
因为是同弧上的圆周角，所以
故△ABE∽△ADC. ……5分
（Ⅱ）因为△ABE∽△ADC，所以，即AB·AC=AD·AE.
又S=AB·ACsin，且S=AD·AE，故AB·ACsin= AD·AE.
则sin=1，又为三角形内角，所以=90°. ……10分
2.（2010辽宁理）（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知P为半圆C： （为参数，）上的点，点A的坐标为（1,0），
O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为。
（I）以O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；
（II）求直线AM的参数方程。
解：
（Ⅰ）由已知，M点的极角为，且M点的极径等于，
故点M的极坐标为（，）. ……5分
（Ⅱ）M点的直角坐标为（），A（0,1），故直线AM的参数方程为
（t为参数） ……10分
3.（2010辽宁理）（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知均为正数，证明：，并确定为何值时，等号成立。
证明：（证法一）
因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得
①
所以 ② ……6分
故.
又 ③
所以原不等式成立. ……8分
当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立。当且仅当时，③式等号成立。
即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立。 ……10分
（证法二）
因为a，b，c均为正数，由基本不等式得
所以 ①
同理 ② ……6分
故
③
所以原不等式成立. ……8分
当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立，当且仅当a=b=c，时，③式等号成立。
即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立。 ……10分
4.（2010福建理）21．本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分。如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。
（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵M=，，且，
（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求直线在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程。
（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy中，直线的参数方程为（t为参数）。在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为。
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线交于点A、B，若点P的坐标为，
求|PA|+|PB|。
（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
已知函数。
（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。
（1）选修4-2：矩阵与变换
【命题意图】本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力。
【解析】（Ⅰ）由题设得，解得；
（Ⅱ）因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线上的两（0，0），（1，3），
由，得：点（0，0），（1，3）在矩阵M所对应的线性变换下的像是（0，0），（-2，2），从而
直线在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为。
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
【命题意图】本小题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力。
【解析】（Ⅰ）由得即
（Ⅱ）将的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，
即由于，故可设是上述方程的两实根，
所以故由上式及t的几何意义得：
|PA|+|PB|==。
（3）选修4-5：不等式选讲
【命题意图】本小题主要考查绝对值的意义、绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力。
【解析】（Ⅰ）由得，解得，
又已知不等式的解集为，所以，解得。
（Ⅱ）当时，，设，于是
=，所以
当时，；当时，；当时，。
5.（2010江苏卷）21.[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答。若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
A． 选修4-1：几何证明选讲
（本小题满分10分）
AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC。
[解析] 本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力。
（方法一）证明：连结OD，则：OD⊥DC，
又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，
∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，
所以∠DCO=300，∠DOC=600，
所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。
（方法二）证明：连结OD、BD。
因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=900，AB=2 OB。
因为DC 是圆O的切线，所以∠CDO=900。
又因为DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，
于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO。
即2OB=OB+BC，得OB=BC。
故AB=2BC。
A． 选修4-2：矩阵与变换
（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。设k为非零实数，矩阵M=,N=，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求k的值。
[解析] 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力。满分10分。
解：由题设得
由，可知A1（0，0）、B1（0，-2）、C1（，-2）。
计算得△ABC面积的面积是1，△A1B1C1的面积是，则由题设知：。
所以k的值为2或-2。
B． 选修4-4：坐标系与参数方程
（本小题满分10分）
在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值。
[解析] 本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力。满分10分。
解：，圆ρ=2cosθ的普通方程为：，
直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为：，
又圆与直线相切，所以解得：，或。
C． 选修4-5：不等式选讲
（本小题满分10分）
设a、b是非负实数，求证：。
[解析] 本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力。满分10分。
（方法一）证明：
因为实数a、b≥0，
所以上式≥0。即有。
（方法二）证明：由a、b是非负实数，作差得
当时，，从而，得；
当时，，从而，得；
所以。
2009年高考题
一、填空题
1、（09广东理14）（坐标系与参数方程选做题）若直线（t为参数）与直线垂直，则常数= .
【解析】将化为普通方程为,斜率,
当时,直线的斜率,由得;
当时,直线与直线不垂直.
综上可知,.
答案
2、(09广东理15) (几何证明选讲选做题)如图3，点A、B、C是圆O上的点，且AB=4，，则圆O的面积等于 .
图3
【解析】连结AO,OB,因为 ,所以,为等边三角形,故圆
O的半径,圆O的面积.
答案
3、(天津理13) 设直线的参数方程为（t为参数），直线的方程为y=3x+4则与的距离为_______
【解析】由题直线的普通方程为，故它与与的距离为。
答案
4、（09安徽理12）以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中
取相同的长度单位。已知直线的极坐标方程为，它与曲线
（为参数）相交于两点A和B，则|AB|=_______.
【解析】直线的普通方程为，曲线的普通方程
∴
答案
二、解答题
5、（09海南22）本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，已知的两条角平分线和相交于H，，F在上，
且。
（Ⅰ）证明：B,D,H,E四点共圆：
（Ⅱ）证明：平分。
开始
输出
结束
是
否
解：（Ⅰ）在△ABC中，因为∠B=60°，
所以∠BAC+∠BCA=120°.
因为AD，CE是角平分线，
所以∠HAC+∠HCA=60°，
故∠AHC=120°.
于是∠EHD=∠AHC=120°.
因为∠EBD+∠EHD=180°，
所以B,D,H,E四点共圆.
（Ⅱ）连结BH,则BH为∠ABC的平分线，得∠HBD=30°
由（Ⅰ）知B,D,H,E四点共圆，
所以∠CED=∠HBD=30°.
又∠AHE=∠EBD=60°，由已知可得EF⊥AD，
可得∠CEF=30°.
所以CE平分∠DEF.
6、（09海南23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程。
已知曲线C： （t为参数）， C：（为参数）。
（1）化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求中点到直线
（t为参数）距离的最小值。
解：（Ⅰ）
为圆心是（，半径是1的圆.
为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.
（Ⅱ）当时，
为直线
从而当时，
7、（09海南24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
如图，O为数轴的原点，A,B,M为数轴上三点，C为线段OM上的动点，设x表示C与原点的距离，y 表示C到A距离4倍与C道B距离的6倍的和.
（1）将y表示成x的函数；
（2）要使y的值不超过70，x 应该在什么范围内取值？
解
（Ⅰ）
（Ⅱ）依题意，x满足
{
解不等式组，其解集为【9，23】
所以
8、（09江苏）A.选修4 - 1：几何证明选讲
如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD.
求证：AB∥CD.
【解析】 本小题主要考查四边形、全等三角形的有关知识，
考查推理论证能力。满分10分。
证明：由△ABC≌△BAD得∠ACB=∠BDA，故A、B、C、D四点共圆，从而∠CBA=∠CDB。再由△ABC≌△BAD得∠CAB=∠DBA。因此∠DBA=∠CDB，所以AB∥CD。
B. 选修4 - 2：矩阵与变换
求矩阵的逆矩阵.
【解析】 本小题主要考查逆矩阵的求法，考查运算求解能力。满分10分。
解：设矩阵A的逆矩阵为则
即故
解得：，
从而A的逆矩阵为.
C. 选修4 - 4：坐标系与参数方程
已知曲线C的参数方程为（为参数，）.
求曲线C的普通方程。
【解析】本小题主要考查参数方程和普通方程的基本知识，考查转化问题的能力。满分10分。
解 因为所以
故曲线C的普通方程为：.
D. 选修4 - 5：不等式选讲
设≥＞0,求证：≥.
证明：
因为≥＞0,所以≥0，＞0，从而≥0，
即≥.
9、（09辽宁理22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明讲
已知 ABC 中，AB=AC, D是 ABC外接圆劣弧上
的点（不与点A,C重合），延长BD至E。
(1)求证：AD的延长线平分CDE；
(2)若BAC=30，ABC中BC边上的高为2+，求ABC
外接圆的面积。
解（Ⅰ）如图，设F为AD延长线上一点
∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠CDF=∠ABC
又AB=AC ∴∠ABC=∠ACB,
且∠ADB=∠ACB, ∴∠ADB=∠CDF,
对顶角∠EDF=∠ADB, 故∠EDF=∠CDF,
即AD的延长线平分∠CDE.
（Ⅱ）设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H,则AH⊥BC.
连接OC,A由题意∠OAC=∠OCA=150, ∠ACB=750,
∴∠OCH=600.
设圆半径为r,则r+r=2+,a得r=2,外接圆的面积为4。
10、（09辽宁理23）（本小题满分10分）选修4－4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos（）=1，M,N分别为C与x轴，y轴的交点。
（1）写出C的直角坐标方程，并求M,N的极坐标；
（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程。
解（Ⅰ）由
从而C的直角坐标方程为
（Ⅱ）M点的直角坐标为（2，0）
N点的直角坐标为
所以P点的直角坐标为
所以直线OP的极坐标方程为
11、（09辽宁理24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
设函数。
（1）若解不等式；
（2）如果,,求 的取值范围。
解（Ⅰ）当a=－1时，f(x)=︱x－1︳+︱x+1︳.
由f(x)≥3得
︱x－1︳+︱x+1|≥3
（ⅰ）x≤－1时，不等式化为
1－x－1－x≥3 即－2x≥3
2005—2008年高考题
一、填空题
1．（2008广东理）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线的极坐标方
程分别为，，
则曲线与交点的极坐标为 ．
答案
2．（2008广东理）（不等式选讲选做题）已知，若关于的方程
有实根，则的取值范围是 ．
答案
3．（2008广东理）（几何证明选讲选做题）已知是圆的切线，切点为，．
是圆的直径，与圆交于点，，则圆的半径 ．
答案
二、解答题
4.（2008宁夏理）（10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，
过A作直线AP垂直于直线OM，垂足为P.
（1）证明：OM·OP = OA2；
（2）N为线段AP上一点，直线NB垂直于直线ON，
且交圆O于B点.过B点的切线
交直线ON于K.证明：∠OKM = 90°.
（1）证明 因为是圆的切线，所以．
又因为．在中，由射影定理知，
（2）证明 因为是圆的切线，．
同（1），有，又，
所以，即．
又，
所以，故．
5.（2008宁夏理）（10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲
已知曲线C1：，曲线C2：.
（1）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；
（2）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线，.写出
，的参数方程.与公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说
明你的理由.
解（1）是圆，是直线．
的普通方程为，圆心，半径．
的普通方程为．
因为圆心到直线的距离为，
所以与只有一个公共点．
（2）压缩后的参数方程分别为
：（为参数）； ：（t为参数）．
化为普通方程为：：，：，
联立消元得，
其判别式，
所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和与公共点个数相同．
6.（2008宁夏理）（10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数.
（1）作出函数的图象；
（2）解不等式.
解（1）
图象如下：
1
1
O
x
y
2
3
4
2
4
-1
-2
-2
8
-4
（2）不等式，即，
由得．
由函数图象可知，原不等式的解集为．
7.（2008江苏）A.选修4-1：几何证明选讲
如图所示，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线
交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D.求证：ED2=EC·EB.
B.选修4-2：矩阵与变换
在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2+y2=1在矩阵A=对应的变换下得到曲线F，求F的方程.
C：选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，设P(x,y)是椭圆上的一个动点，
求S=x+y的最大值.
D：选修4-5：不等式选讲
设a,b,c为正实数，求证：
A.证明: 如图所示，因为AE是圆的切线，
又因为AD是∠BAC的平分线，
所以∠BAD=∠CAD.
从而∠ABC+∠BAD=∠CAE+∠CAD.
因为∠ADE=∠ABC+∠BAD，∠DAE=∠CAE+∠CAD，
所以∠ADE=∠DAE，故EA=ED.
因为EA是圆的切线，所以由切割线定理知，EA2=EC·EB，而EA=ED，所以ED2=EC·EB.
B.解： 设P（x0,y0）是椭圆上任意一点，
点P（x0，y0）在矩阵A对应的变换下变为点P′(x′0,y′0),则有
又因为点P在椭圆上，故
所以曲线F的方程为
C.解：由椭圆
故可设动点P的坐标为（）,其中
因此,
所以当
D.证明：因为a,b,c是正实数，由平均不等式可得
所以
第二部分 四年联考汇编
2012-2013年联考题
1.【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考 理】在ABC中，D为BC边上一点，BC=3BD，AD=，∠ADB=1350，若AC=AB，则BD= .
【答案】
【解析】作AH⊥BC于H,则 则.
又,所以 ，即, ，
，所以，
即，整理得，即，解得或（舍去）.
2.【天津市天津一中2013届高三上学期一月考 理】点P(x,y)在曲线(θ为参数,θ∈R)上,则的取值范围是 .
【答案】
【解析】消去参数得曲线的标准方程为，圆心为，半径为1.设，则直线，即，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离，即，平方得，所以解得，由图象知的取值范围是，即的取值范围是。
3.【天津市天津一中2013届高三上学期一月考 理】如图过⊙0外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A,B,且PB=7,C是圆上一点使得BC=5,∠BAC=∠APB,则AB= .
【答案】
【解析】因为是圆的切线，所以，又，所以与相似，所以，所以，所以。
4.【山东省潍坊市四县一区2013届高三11月联考（理）】不等式 的解集是 .
【答案】或
【解析】，当时，由得，得；当时，由得，解得，所以不等式的解集为.
5.【山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试理】不等式3≤l5 - 2xl<9的解集是
A．（一∞，-2)U(7,+co) B．
C．[-2,1】U【4,7】 D．
【答案】D
【解析】由得，或，即或，所以不等式的解集为，选D.
6.【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测理】不等式的解集为
【答案】
【解析】当时，原不等式等价为，即，此时。当时，原不等式等价为，即，此时。当时，原不等式等价为，即，此时不等式无解，综上不等式的解为，即不等式的解集为。
7.【山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试 理】已知函数.若不等式的解集为，则实数的值为 .
【答案】
【解析】因为不等式的解集为，即是方程的两个根，即，所以，即，解得。
8.【山东省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试 】如右图，是⊙的直径，是延长线上的一点，过作⊙的切线，切点为，，若，则⊙的直径 ．
A
O
B
P
C
【答案】4
【解析】因为根据已知条件可知，连接AC，，，根据切线定理可知, ,可以解得为4.
9.【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考 理】（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知直线的参数方程是，圆C的极坐标方程为．
（1）求圆心C的直角坐标；
（2）由直线上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．
【答案】解：（I），
， …………（2分）
， …………（3分）
即，．…………（5分）
（II）方法1：直线上的点向圆C 引切线长是
，
…………（8分）
∴直线上的点向圆C引的切线长的最小值是 …………（10分）
方法2：， …………（8分）
圆心C到距离是，
∴直线上的点向圆C引的切线长的最小值是 …………（10分）
10.【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考 理】（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)=|x+1|+|x﹣2|﹣m
（I）当时，求f(x) >0的解集；
（II）若关于的不等式f(x) ≥2的解集是，求的取值范围．
【答案】解：（I）由题设知：，
不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：
，或，或，
解得函数的定义域为； …………（5分）
（II）不等式f(x) ≥2即，
∵时，恒有，
不等式解集是，
∴，的取值范围是． …………（10分）
11.【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理】（本小题满分10分）《选修4-4：坐标系与参数方程》
在直角坐标系中，以原点为极点,轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线，已知过点的直线的参数方程为：，
直线与曲线分别交于两点.
（Ⅰ）写出曲线和直线的普通方程；（Ⅱ）若成等比数列,求的值．
【答案】解：（Ⅰ）. ……………..5分
（Ⅱ）直线的参数方程为（为参数）,
代入, 得到， ………………7分
则有.
因为，所以. 解得 .
12.【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理】（本小题满分10分）《选修4-5：不等式选讲》
已知函数.
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.
【答案】解：（Ⅰ）原不等式等价于
或
解之得.
即不等式的解集为. ………………5分
（Ⅱ）.
，解此不等式得. ………………10分
13.【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理】（本小题满分10分）《选修4-4：坐标系与参数方程》
在直角坐标系xOy中，直线的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为
．
（I）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴 正 半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，），判断点P与直线的位置关系；
（II）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线的距离的最小值．
【答案】解：（I）把极坐标系下的点化为直角坐标，得P（0，4）。
因为点P的直角坐标（0，4）满足直线的方程，
所以点P在直线上，
（II）因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为，
从而点Q到直线的距离为
，
由此得，当时，d取得最小值，且最小值为
14.【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理】（本小题满分10分）《选修4-5：不等式选讲》
已知函数．
（I）证明：；
（II）求不等式的解集．
【答案】解：（1）
当 所以 ………5分
（II）由（I）可知，
当的解集为空集；
当；
当.综上，不等式 …………10分
15.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）理科】（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】
如图6，在正△ABC中，点D,E分别在边AC, AB上，且AD=AC， AE= AB，BD，CE相交于点F。
（I）求证：A，E，F，D四点共圆；
（Ⅱ）若正△ABC的边长为2，求，A，E，F，D所在圆的半径．
【答案】（Ⅰ）证明：，.
在正△中，，，
又，，
△BAD≌△CBE，，
即，所以，，，四点共圆. …………………………（5分）
图6
（Ⅱ）解：如图6，取的中点，连结，则.
，，
，，
△AGD为正三角形，
，即，
所以点是△AED外接圆的圆心，且圆的半径为.
由于，，，四点共圆，即，，，四点共圆，其半径为.…（10分）
16.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）理科】（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】
在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为，曲线C的参数方程为（为参数）．
（I）求直线OM的直角坐标方程；
（II）求点M到曲线C上的点的距离的最小值．
【答案】解：（Ⅰ）由点M的极坐标为，得点M的直角坐标为，
所以直线OM的直角坐标方程为y = x.………………………………………………（4分）
（Ⅱ）由曲线C的参数方程（α为参数），
化成普通方程为：，
圆心为A(1，0)，半径为，
由于点M在曲线C外，
故点M到曲线C上的点的距离的最小值为 |MA| .……………………（10分）
17.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）理科】（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】
已知函数f（x）=|2x+1|+|2x－3|．
（I）求不等式f（x）≤6的解集；
（Ⅱ）若奖于关的不等式f（x）< |a－1 |的解集非空，求实数的取值范围
【答案】解：（Ⅰ）原不等式等价于
或
解之得，
即不等式的解集为.……………………………………………………（5分）
（Ⅱ），
，解此不等式得.…………………………………………（10分）
2011-2012年联考题
1．（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）（本小题满分10分）
选修4—1：几何证明选讲
如图,⊙的直径的延长线与弦的延长线相交于点,
为⊙上一点,AE＝AC ,交于点,且,
A
C
P
D
O
E
F B
（1）求的长度.
（2）若圆F且与圆内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度
解：（1）连结,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系
结合题中条件弧长等于弧长可得,
A
C
P
D
O
E
F B
又,,
从而,故∽,∴, …………
由割线定理知,故. ………
（2）若圆F与圆内切，设圆F的半径为r，因为即
所以是圆F的直径，且过P点圆F的切线为PT
则，即 …………
2. （哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）
（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系下，已知圆O：和直线，
（1）求圆O和直线的直角坐标方程；
（2）当时，求直线与圆O公共点的一个极坐标.
解：（1）圆O：，即
圆O的直角坐标方程为：，即 …………
直线，即
则直线的直角坐标方程为：，即 …………
（2）由得
故直线与圆O公共点的一个极坐标为 …………
3. （哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）（本小题满分10分）
选修4—5：不等式选讲
对于任意实数和，不等式恒成立，试求实数的取值范围．
解：由题知，恒成立，
故不大于的最小值 …………
∵，当且仅当时取等号
∴的最小值等于2. …………
∴x的范围即为不等式|x－1|＋|x－2|≤2的解 …………
解不等式得 …………
4.（三明市三校联考）本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。
（Ⅰ）（本小题满分7分）选修4-4：矩阵与变换
求矩阵的逆矩阵.
（Ⅱ）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：，求直线l与曲线C相交所成的弦的弦长．
（Ⅲ）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
解不等式∣2x-1∣<∣x∣+1
解: （I） 设矩阵A的逆矩阵为则
即故
解得：，
从而A的逆矩阵为.
（Ⅱ）曲线C的极坐标方程是化为直角坐标方程为x2＋y2－4x=0，即（x－2）2＋y2=4
直线l的参数方程，化为普通方程为x－y－1=0， 曲线C的圆心（2，0）到直线l的距离为
所以直线l与曲线C相交所成的弦的弦长=．
（Ⅲ）当x<0时,原不等式可化为又不存在;
当时,原不等式可化为;又
当
综上,原不等式的解集为
题组一（3月份更新）
1.（2009番禺一模）在直角坐标系中圆的参数方程为
（为参数），若以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆的极坐标方程为______ __．
答案
2.（2009上海十四校联考）矩阵的一种运算该运算的几何意义为平面上的点在矩阵的作用下变换成点在矩阵. 的作用下变换成曲线的值为
答案 2
3.（2009番禺一模）如图，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是
切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E＝460，∠DCF＝320， 则∠A的大小为 ．
答案
4.（2009上海卢湾区4月模考）不等式的解为 ．
答案
5.（2009番禺一模）若不等式对于一切非零实数x均成立，则实数
a的取值范围是_________________．
答案
6.（2009上海八校联考）满足方程的实数解x为________________。
答案 x＝2
7.（2009上海奉贤区模拟考）不等式的解集为 。
答案
8.（2009上海普陀区）关于x、y的二元线性方程组的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为，则 .
答案 4
9.（2009上海普陀区）将函数的图像向左平移（）个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值为 .
答案
10.（2009上海十校联考）若复数满足（是虚数单位），则__________．
答案
11.（2009上海闸北区）增广矩阵为的线性方程组的解用向量的坐标形式可表示为 ．
答案
二、解答题
12.（2009厦门集美中学）（不等式选讲）设均为正数，证明：.
证明
即得.
另证 利用柯西不等式
取代入即证.
13.（2009上海十四校联考）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知
解：由行列式得： …………3分
由正、余弦定理得： …………6分
………………9分
又 ………………12分
……………………14分
14.（2009盐城中学第七次月考）不等式选讲已知x，y，z均为正数．求证：
证明 因为x，y，z无为正数．所以， ……………………4分
同理可得， ………………………………………7分
当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立．
将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得．………10分
15.（2009南京一模）如图，已知四边形内接于⊙O,,切⊙O于点.求证：.
证明：因为切⊙O于点，所以
因为，所以
又A、B、C、D四点共圆，所以 所以
又，所以∽
所以 即
所以 即：
16.（2009厦门同安一中）（极坐标与参数方程）若两条曲线的极坐标方程分别为 =l与 =2cos（θ+），它们相交于A，B两点，求线段AB的长．
解 由得，
又
，
由得,
．……7分
17.（2009厦门北师大海沧附属实验中学）（极坐标与参数方程）以直角坐标系的原点O
为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为(1，－5)，点M的极坐标为(4，)．若直线l过点P，且倾斜角为 ，圆C以M为圆心、4为半径.
(Ⅰ)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；
(Ⅱ)试判定直线l和圆C的位置关系.
解（Ⅰ）直线的参数方程为，
圆的极坐标方程为
（Ⅱ）因为对应的直角坐标为
直线化为普通方程为
圆心到直线的距离，所以直线与圆相离.
2009年联考题
一、选择题
1、（辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考）极坐标方程=cosθ化为直角坐
标方程为 ( )
A.（x+）2 +y2 = B.x2 +（y+）2 =
C.x2 +（y-）2 = D.（x-）2 + y2 =
答案 D.
2、（2009上海普陀区）以下向量中，能成为以行列式形式表示的直线方程的
一个法向量的是 （ ）
A.； B.； C.; D..
答案 A
3、（2009上海青浦区）线性方程组的增广矩阵是 （ ）
A． B． C． D．
答案 A
二、填空题
4、（2009广州一模） (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线ρsin(θ+)=2被圆
ρ=4截得的弦长为 ．
答案
5、（2009广州一模）(几何证明选讲选做题) 已知PA是圆O(O为圆心)的切线，切点为A，
PO交圆O于B，C两点，AC =，∠PAB=300，则线段PB的长为 .
答案 1
6、（2009广州一模）(不等式选讲选做题) 已知a，b，c∈R，且a+b+c=2，a2+2b2+3c2=4，
则a的取值范围为_____________
答案
7、（2009广东三校一模）(坐标系与参数方程选做题)极坐标方程分别为和
的两个圆的圆心距为____________；
答案
T
P
B
O
C
A
D
8、（2009广东三校一模） (不等式选讲选做题)若不等式对一切非零实
数均成立,则实数的最大值是__________________；
答案
9、（2009广东三校一模）(几何证明选讲选做题)如图,切圆于点,
交圆于、两点，且与直径交于点，
，则______.
答案 .
10、（2009东莞一模）（几何证明选讲选做题）如图，AD是⊙的切线，AC是
⊙的弦，过C做AD的垂线，垂足为B，CB与⊙相交于点E，AE平分，且，
则 ， ， .
答案 ；
O
A
B
C
D
E
11、（2009东莞一模）(参数方程与极坐标选做题)在极坐标系中，点
到直线的距离为 ．
答案
12、（2009东莞一模）（不等式选讲选做题）函数
的最大值为 .
答案 3
13、（2009江门一模）（坐标系与参数方程选做题）是曲线
（是参数）上一点，到点距离的最小值是 ．
答案
14、（2009江门一模）（不等式选讲选做题）已知关于的不等式
（是常数）的解是非空集合，则的取值范围是 ．
答案
15、（2009江门一模）（几何证明选讲选选做题）如图4，三角形中，
图4
，⊙经过点，与相切于，
与相交于，若，则⊙的
半径 ．
答案
16、（2009茂名一模）（坐标系与参数方程选做题）把极坐标方程化为直角
坐标方程是 ．
答案
17、（2009茂名一模）（不等式选讲选做题）函数的最大值为
_________。
答案
18、（2009茂名一模）（几何证明选讲选做题）如图，梯形，，
是对角线和的交点，，
则 ．
答案 1：6
19、（2009汕头一模）（坐标系与参数方程选做题）两直线的位置关系是＿＿＿＿＿＿＿＿(判断垂直或平行或斜交)
答案 垂直
20、（2009汕头一模）（不等式选讲选做题）不等式对于一非零实数x均成立，则实数a的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿
答案 4＜a＜6
21、（2009汕头一模）（几何证明选讲选做题）如图，⊙O中的弦AB
与直径CD相交于点p，M为DC延长线上一点，MN为⊙O的切
线，N为切点，若AP＝8, PB＝6, PD＝4, MC＝6，则MN的长为
＿＿＿
答案2
22、（2009韶关一模）在极坐标系中，圆心在且过极点的圆的方程
为_ .
答案
23、（2009韶关一模）如图所示，圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，
过C作圆的切线，则点A到直线的距离AD为 .
答案
24、（2009韶关一模）如果关于的不等式的解集是全体实数，则的取值范围是 .
答案
25、（2009深圳一模）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，曲线的参数方程为
，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线在极坐标系中的方程为．若曲线与有两个不同的交点，则实数的取值范围是 ．
答案
26、（2009深圳一模）（几何证明选讲选做题）如图，
切⊙于点，交⊙于、两点，且与直径
交于点，，，，则
．
答案
27.（2009深圳一模）（不等式选讲选做题）若不等式
，对满足的一切
实数、、恒成立，则实数的取值范围是 ．
答案
28、（2009湛江一模）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若过点且与极轴
垂直的直线交曲线于A、B两点，则_________ _．
答案
29、（2009湛江一模）（不等式选讲选做题）设，则的最
小值为________．
B
P
C
A
O
答案
30、（2009湛江一模）（几何证明选讲选做题）如图，已知PA、PB是
圆O的切线，A、B分别为切点，C为圆O上不与
A、B重合的另一点，若∠ACB = 120°，则∠APB
= ．
答案
三、解答题
31、（2009厦门北师大海沧附属实验中学） （不等式选讲）设求的最大值.
解
当且仅当 且
F有最小值
32、（2009厦门一中）（不等式选讲）设 (nÎN*）,比较、、的大小，并证明你的结论.
解 ∵
又∵
∴<<
33、（2009厦门二中）（不等式选讲）解不等式：．
解 原不等式等价于：
或 或
解得 或 或
所以 原不等式的解集为
34、（2009厦门乐安中学）（不等式选讲）在设为正数且，
求证:.
证明
35、（2009厦门十中）（不等式选讲）已知实数满足， 试求的最值
解 由柯西不等式得，有
即 由条件可得，
解得，当且仅当 时等号成立，
代入时， 时
36、（2009厦门同安一中）（不等式选讲）已知、，且，求
的最小值
解 因为，所以，所以，，所以。式中等号当且仅当时成立，此时。所以当时，取最小值．
37、（2009厦门英才学校）（不等式选讲）已知函数．
（Ⅰ）作出函数的图像；
（Ⅱ）解不等式
解（Ⅰ）依题意可知 ，
则函数的图像如图所示：
（Ⅱ）由函数的图像容易求得原不等式的
解集为…………7分
38、（2009厦门乐安中学）（矩阵）已知矩阵，，矩阵对应的变换把曲线变为曲线C，求Ｃ的方程．
解 ，设是所求曲线C上的任意一点，它是曲线
上点在矩阵变换下的对应点，则有，即所以又点在曲线上，故，从而，所求曲线C的方程为．
39、（2009厦门十中）（矩阵）已知矩阵A=，B=.
①计算AB；
②若矩阵B把直线变为直线，求直线的方程.
解 ①AB=
②任取直线上一点P（x,y）,设P经矩阵B变换后为，则
，
代入，得，∴直线的方程为.
40、（2009厦门同安一中）（矩阵）在直角坐标系中，的顶点坐标，，，求在矩阵的作用下变换所得到的图形的面积，其中矩阵，
解，…2分……4分.
……5分
可知三点在矩阵作用下变换所得的点分别为.
可得的面积为1.……7分.
41、（2009厦门一中）（极坐标与参数方程）已知直线经过点,倾斜角，设与曲线（为参数）交于两点，求点到两点的距离之积。
解 直线的参数方程为，即
曲线的直角坐标方程为，把直线代入
得
，则点到两点的距离之积为
42、（2009厦门二中）（极坐标与参数方程）已知直线的参数方程：（为参
数），圆C的极坐标方程：，试判断直线与圆C的位置关系．
解 将直线的参数方程化为普通方程为：
将圆C的极坐标方程化为普通方程为：
从圆方程中可知：圆心C（1，1），半径 ，
所以，圆心C到直线的距离
所以直线与圆C相交．
43、（2009厦门集美中学）（极坐标与参数方程）求曲线过点的切线方程.
，消去参数得.
设切线为，代入得
令，得，故即为所求.
或，设切点为，则斜率为，解得，
即得切线方程.
44、（2009厦门乐安中学）（极坐标与参数方程）在极坐标系中,设圆上的点到直线的距离为,求的最大值.
解 将极坐标方程转化为普通方程：
可化为
在上任取一点A,则点A到直线的距离为
,它的最大值为4
45、（2009厦门十中）（极坐标与参数方程）已知圆C的参数方程为 ，若P是圆C与x轴正半轴的交点，以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点P的圆C的切线为l，求直线l的极坐标方程．
解 由题设知,圆心
∠CPO=60°,故过P点的切线飞倾斜角为30°
设,是过P点的圆C的切线上的任一点，则在△PMO中，
∠MOP=
由正弦定理得
，即为所求切线的极坐标方程。
46、（2009厦门英才学校）（极坐标与参数方程）求极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值．
解 由 即则易得，由易得 圆心到直线的距离为
· 又圆的半径为2 , 圆上的点到直线的距离的最小值为.
47、（2009南京一模）已知矩阵，。在平面直角坐标系中，设直线 在矩阵对应的变换作用下得到的曲线，求曲线的方程
解 由题设得,设是直线上任意一点,
点在矩阵对应的变换作用下变为,
则有, 即 ,所以
因为点在直线上,从而,即：
所以曲线的方程为
48、（2009金陵中学三模）(1)设是正数，求证：；
（2）若，不等式
是否仍然成立？如果仍成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的的值．
简证：（1）∵，∴， ，，三个
同向正值不等式相乘得． ---------5分
简解：（2）时原不等式仍然成立．
思路1：分类讨论、、、证；
思路2：左边=．---------------10分
49、（2009南京一模）选修4-5：不等式选讲，已知为正数，求证：.
证明：，所以
50、（2009通州第四次调研）（矩阵与变换）已知矩阵 ，向量.
（1）求矩阵的特征值、和特征向量、；
（2）求的值.
解 (1)矩阵的特征多项式为 ，
令，得,
当时，得,当时，得. …………………5分
(2)由得，得.
∴
.……………………10分
51、（2009通州第四次调研）（不等式选讲）对于任意实数a（a≠0）和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|(|x－1|＋|x－2|恒成立，试求实数x的取值范围．
解 由题知，恒成立，故|x－1|＋|x－2|不大于的最小值
∵当且仅当（a＋b）(a－b) ≥0时取等号
∴的最小值等于2. 5分
∴x的范围即为不等式|x－1|＋|x－2|≤2的解
解不等式得 10分
52、（2009扬州大学附中3月月考）设是把坐标平面上的点的横坐标伸长到倍，纵坐
标伸长到倍的伸压变换．（Ⅰ）求矩阵的特征值及相应的特征向量；
（Ⅱ）求逆矩阵以及椭圆在的作用下的新曲线的方程．
解（Ⅰ）由条件得矩阵，
它的特征值为和，对应的特征向量为及；
（Ⅱ），椭圆在的作用下的新曲线的方程为．
53、（2009通州第四次调研）求经过极点三点的圆的极坐标方程.
解 将点的极坐标化为直角坐标，点的直角坐标分别为，
故是以为斜边的等腰直角三角形，圆心为，半径为，
圆的直角坐标方程为，即，
将代入上述方程，得，
即.
54、（2009盐城中学第七次月考）若两条曲线的极坐标方程分别为与，它们相交于两点，求线段的长．
解 由得，
又
，
由得,
．
55、（2009南通一模）如图，PA切⊙O于点，D为的中点，过点D引
P
A
D
B
C
O
·
割线交⊙O于、两点．求证: ．
证明 因为与圆相切于，
所以，
因为D为PA中点，所以DP=DA，
所以DP2=DB·DC，即 ．
因为，
所以∽，
所以．
2007—2008年联考题
一、选择题
1．（2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练）若直线的参数方程为，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】
答案 D
2．（2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练）下列在曲线上的点是（ ）
A． B． C． D．
【解析】 转化为普通方程：，当时，
答案 B
3．（2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练）将参数方程化为普通方程为（ ）
A． B． C． D．
【解析】转化为普通方程：，但是
答案 C
4．（2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练）化极坐标方程为直角坐标方程为（ ）
A． B． C． D．
【解析】
答案 C
5．（2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练）点的直角坐标是，则点的极坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解析】都是极坐标
答案 C
6．（2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练）极坐标方程表示的曲
线为（ ）
A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆
【解析】
则或
答案 C
二、填空题
A
B
C
E
O
P
D
7． (2008韶关一模理)如图所示，PC切⊙O于
点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于
点E，PC=4，PB=8，则CD=________.
答案A
B
C
O
D
8.(2008深圳调研文)如图所示，从圆O外一点A
引圆的切线AD和割线ABC，已知AD=，
AC=6，圆O的半径为，则圆心O到AC的距
离为________.
答案
A
B
O
D
C
9.(2008东莞调研文、理)如图所示,圆O上一
点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，
则圆O的半径等于 ．
答案A
B
O
D
C
5
10. (2008韶关调研理)如图所示，圆O是
△ABC的外接圆，过点C的切线交AB
的延长线于点D，CD=，AB=BC=3.
则BD的长______，AC的长_______．
答案 4，
11．（2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练）直线的斜率为______________________。
【解析】
答案
12．（2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练）参数方程的普通方程为__________________。
【解析】
答案
13．（2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练）已知直线与直线相交于点，又点，
则_______________。
【解析】 将代入得，则，而，得
答案
14．（2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练）直线被圆截得的弦长为______________。
【解析】直线为，圆心到直线的距离，弦长的一半为，得弦长为
答案
15．（2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练）直线的极坐标方程为____________________。
【解析】 ，取
O
B
A
D
C
M
N
答案
16.（2007湛江一模文）如图，四边形ABCD内接
于⊙O，BC是直径，MN切⊙O于A，∠MAB=250，
则∠D= ___ .
答案 115o .
B
A
D
C
E
F
17.(2007湛江一模理)如图，在△ABC中，D
是AC的中点，E是BD的中点，AE交BC
于F，则 .
O
B
A
D
C
E
F
答案
18.(2008惠州一模理)如图：EB、EC是⊙O的两
切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，
如果∠E＝460，∠DCF＝320，则∠A的度数是 .
答案 99O
O
B
A
D
C
E
19. (2008汕头一模理) 如图，AB是圆O的直径，
直线CE和圆O相切于点C，AD⊥CE于D，
若AD=1，∠ABC=300，则圆O的面积是______.
A
B
C
D
答案 .
20.(2008佛山一模理)如图，AB、CD是圆O的两条弦，
且AB是线段CD的中垂线，已知AB=6，CD=，
则线段AC的长度为 ．
答案
21、(2007淮阴中学高二年级第二学期阶段性测)将曲线y=2sin3x经矩阵M变换后的曲线方程为y=sinx，则变换矩阵M= 。
答案
三、解答题
22．（2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练）已知点是圆上的动点，
（1）求的取值范围；（2）若恒成立，求实数的取值范围。
解（1）设圆的参数方程为，
（2）
23．（2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练）求直线和直线的交点的坐标，及点与的距离。
解 将代入得，
得，而，得
24．（2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练）在椭圆上找一点，使这一点到直线的距离的最小值。
解 设椭圆的参数方程为，
当时，，此时所求点为。
25.(2007宁夏区银川一中)选考题（本题满分10分，只能从A、B、C三道题中选做一道）
A．（1）已知点C 的极坐标为（2，），画图并求出以C为圆心，半径r=2的圆的极坐标
方程（写出解题过程）；
（2）P是以原点为圆心，r=2的圆上的任意一点，Q（6，0），M是PQ中点
①画图并写出⊙O的参数方程；
②当点P在圆上运动时，求点M的轨迹的参数方程。
B．如图所示，AB为⊙O的直径，BC、CD为⊙O′的切线，B、D为切点
O
A
C
D
（1）求证：AD∥OC；
（2）若⊙O的半径为1，求AD·OC的值.
C．已知：a、b、x、y∈R+ ，，
求证：
解
O
C
M
A．（1）如图，设M（，θ）
则∠MQC=θ－或－θ
由余弦定理得4+2－4cos（θ－）=4
y
M
Q
P
O
x
∴ QC的极坐标方程为=4cos（θ－）
（2）如图①⊙O的参数方程
②设M（x，y），P（2cosθ，2sinθ），
因Q（6，0）
∴M的参数方程为
即
B．（1）如图，连接BD、OD
∵CB、CD是⊙O的两条切线
∴BD⊥OC，∴∠2+∠3=90°
又AB为⊙O直径，∴AD⊥PB，∠1+∠2=90°
∴∠1=∠3，∴AD∥OC
（2）AO=OD，则∠1=∠A=∠3
∴Rt△BAD∽Rt△ODC，AD•••OC=AB•OD=2
C．a，b，x，y∈R+，，则
x+y=（x+y）=（
26、(2007淮阴中学高二年级第二学期阶段性测)（1）请说明下列矩阵A、B表示的几何意
义，并求出矩阵AB的逆矩阵；
（2）设，若矩阵把直线l：x+y-1=0变为直线m：x-y-2=0，求
解 （1）A矩阵的几何意义：绕原点逆时针旋转600；
B矩阵的几何意义：纵坐标不变，横坐标增加纵坐标的2倍的切变变换2分
7分
(2)法1、在l上任取一点P（x，y）经矩阵变换后为点，
则9分
14分
法2、在l上任取两点（1，0）与（0，1）
27、(2007淮阴中学高二年级第二学期阶段性测)已知实数a、b、c满足a>b>c,且a+b+c=0;
