2018-2019学年辽宁省大连市普通高中学生学业水平考试模拟数学试题 解析版

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绝密★启用前 辽宁省大连市2019年普通高中学生学业水平考试模拟数学试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用并集的定义求解即可.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以=,故选D.‎ ‎【点睛】‎ 研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合.‎ ‎2．函数在区间[-2,-1]上的最大值是( )‎ A．1 B．2 C．4 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的单调性，判断出当时函数取得最大值，并由此求得最大值.‎ ‎【详解】‎ 由于为定义域上的减函数，故当时函数取得最大值为.故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查指数函数的单调性，考查指数运算，考查函数最值的求法，属于基础题.‎ ‎3．函数的最小正周期是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据求得函数的最小正周期.‎ ‎【详解】‎ 依题意可知，函数的最小正周期为，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查的最小正周期计算，属于基础题.‎ ‎4．已知,则的值是 （ ）‎ A．0 B．–1 C．1 D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数解析式，直接求出的值.‎ ‎【详解】‎ 依题意.故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数值的计算，考查函数的对应法则，属于基础题.‎ ‎5．如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据三视图得到几何体为圆柱，根据圆柱的表面积公式计算出表面积.‎ ‎【详解】‎ 由三视图可知，该几何体为圆柱，故其表面积为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查三视图还原为原图，考查圆柱的表面积计算公式，属于基础题.‎ ‎6．已知向量，向量，若，则实数的值为（ ）‎ A． B．3 C． D．1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两个向量垂直的坐标表示列方程，由此求得的值.‎ ‎【详解】‎ 由于两个向量垂直，故，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查两个向量垂直的坐标表示，考查方程的思想，属于基础题.‎ ‎7．在某次考试中，共有100个学生参加考试，如果某题的得分情况如表：‎ 得分 ‎0分 ‎1分 ‎2分 ‎3分 ‎4分 百分率 ‎37.0‎ ‎8.6‎ ‎6.0‎ ‎28.2‎ ‎20.2‎ 那么这些得分的众数是（ ）‎ A．37.0% B．20.2% C．0分 D．4分 ‎【答案】C ‎【解析】由题意得，得分为0分的比例为37.0%，所占比例最大，所以这些得分的众数是0。选C。‎ ‎8．若回归直线的方程为，则变量x 增加一个单位时 （ ）‎ A．y 平均增加1．5个单位 B．y 平均增加2个单位 C．y 平均减少1．5个单位 D．y 平均减少2个单位 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据回归直线方程的斜率为负，可得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 由于回归直线方程为，其斜率为，故变量增加一个单位时，平均减少个单位.故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查对回归直线方程系数的理解，考查直线的斜率，属于基础题.‎ ‎9．若直线过点且与直线垂直，则的方程为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据所求直线与已知直线垂直可以求出斜率，再根据点斜式写出直线方程.‎ ‎【详解】‎ 因为的斜率，所以，由点斜式可得，即所求直线方程为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线的位置关系及直线方程的点斜式，属于中档题.‎ ‎10．已知，，若，则点的坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出的坐标，代入，计算出点的坐标.‎ ‎【详解】‎ 设，则，，根据得，即，解得，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查向量的减法和数乘计算，考查两个向量相等的坐标表示，属于基础题.‎ ‎11．对于不同直线以及平面，下列说法中正确的是（ ）‎ A．如果，则 B．如果，则 C．如果,则 D．如果,则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线线、线面平行和垂直有关定理，对四个选项逐一分析，得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 对于A选项，可能含于，故A选项错误.对于B选项，两条直线可能异面，故B选项错误.对于C选项，可能含于，故C选项错误.对于D选项，根据线面垂直的性质定理可知，D选项正确，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查显现、线面平行和垂直命题真假性的判断，考查线面垂直的性质定理，属于基础题.‎ ‎12．等差数列{an}中，a2+a5+a8=12，那么函数x2+（a4+a6）x+10零点个数为（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．1或2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的性质求得的值，根据判别式判断出函数零点的个数.‎ ‎【详解】‎ 根据等差数列的性质只，，故二次函数对应的判别式，所以函数有两个零点，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查等差数列的基本性质，考查二次函数零点和判别式的对应关系，属于基础题. 这个等差数列的性质是：若，则，若 ‎，则.如果数列是等比数列，则数列的性质为：若，则，若，则.所以解有关等差或者等比数列的题目时，先观察一下题目所给条件中的下标是否有关系.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．某超市有三类食品,其中果蔬类、奶制品类及肉制品类分别有20种、15种和10种, 现采用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本进行安全检测，若果蔬类抽取4种，则为 　．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据果蔬类抽取的种类数计算出抽样的比例，乘以食品总的种类数得到样本容量.‎ ‎【详解】‎ 由果蔬类抽取种可知，抽样比为，故.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查分层抽样的知识和计算，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎14．圆C的方程是x2+y2+2x+4y=0，则圆的半径是_______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将圆的一般方程配方，得到圆的标准方程，由此求得圆的半径.‎ ‎【详解】‎ 依题意，故圆的半径为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查圆的一般方程化为标准方程，考查圆的半径的求法，属于基础题.‎ ‎15．直线的斜率是3，且过点A(1,-2),则直线的方程是_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据点斜式写出直线方程，并化为一般式.‎ ‎【详解】‎ 由直线方程的点斜式得，化简得.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查直线方程点斜式，考查点斜式转化为一般式，属于基础题.‎ ‎16．若实数x，y满足，则y的最大值是__________．‎ ‎【答案】2．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出可行域，根据图像判断出的最大值.‎ ‎【详解】‎ 画出可行域如下图所示，由图可知，的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查线性规划的知识，考查可行域的画法，属于基础题.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．‎ ‎（Ⅰ）证明 PA//平面EDB；‎ ‎（Ⅱ）证明PB⊥平面EFD.‎ ‎【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）连结，交于．连结，通过中位线证明，由此证得平面.（2）先证得平面，由此证得，而，故平面，由此证得，结合，可证得平面.‎ ‎【详解】‎ 证明:（Ⅰ）连结，交于．连结．∵底面是正方形，∴点是的中点．在△中，是中位线，∴//．而平面，‎ 且平面，所以，//平面．‎ ‎（Ⅱ）∵⊥底面，且底面，∴⊥.‎ ‎∵底面是正方形，有⊥,，平面，‎ 平面,∴⊥平面．而平面，∴⊥.‎ 又∵，是的中点，∴⊥，，‎ 平面，平面.∴⊥平面．而平面，‎ ‎∴⊥．又⊥，且，平面，‎ 平面，所以⊥平面．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，属于中档题.‎ ‎18．等差数列中，.‎ ‎(1)求的通项公式；‎ ‎(2)设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（I）（II）‎ ‎【解析】‎ ‎(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.‎ 因为所以.‎ 解得a1＝1，d＝.所以{an}的通项公式为an＝.‎ ‎(2)bn＝＝，‎ 所以Sn＝‎ ‎19．已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若.‎ ‎（1）求角C的大小；‎ ‎（2）若的面积为，c=，求的周长.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由正弦定理可得a2+b2-c2=ab，再用余弦定理可得cosC,即可求得C；‎ ‎（2）由面积公式可得ab=8，再结合余弦定理求得a+b=6，相加可得周长．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由及正弦定理，得a2+b2-c2=ab， ‎ 由余弦定理得，‎ ‎∵，∴.‎ ‎（2）由（1）知.‎ 由的面积为得，解得ab=8，‎ 由余弦定理得，‎ ‎∴(a+b)2=36，a+b=6，‎ 故的周长为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查解三角形，涉及正余弦定理的应用和三角形的面积公式，属中档题．‎ ‎20．已知圆的圆心在直线上，且与轴正半轴相切，点与坐标原点的距离为.‎ ‎（Ⅰ）求圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）斜率存在的直线过点且与圆相交于两点，求弦长的最小值.‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）设出圆心坐标，利用圆心和原点的距离列方程求得圆心坐标和半径，由此求得圆的标准方程.（II）利用点斜式设出直线的方程，利用弦长公式求得弦长的表达式，根据表达式求得弦长的最小值.‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）由题可设，半径， .‎ 圆与轴正半轴相切，‎ 圆的标准方程：.‎ ‎（Ⅱ）设直线的方程：，‎ 点到直线的距离，‎ 弦长，‎ 当时，弦长的最小值.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查圆的标准方程的求解，考查直线和圆相交所得弦长公式，属于中档题.‎ 要求直线和圆相交所得弦有关的题目，可以有两种方式来求解，一个是联立直线方程和圆的方程，利用韦达定理来求解，一个是利用圆的几何性质，通过计算圆心到直线的距离，然后利用来求解.‎ ‎21．已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）若为偶函数，求的值并写出的增区间；‎ ‎（Ⅱ）若关于的不等式的解集为，当时，求的最小值；‎ ‎（Ⅲ）对任意的，，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ；增区间.‎ ‎(2) 的最小值为，取“”时.‎ ‎(3) .‎ ‎【解析】‎ 分析：（Ⅰ）由偶函数的定义得，求出的值.再根据二次函数单调区间的判断方法，确定的增区间；‎ ‎（Ⅱ）根据已知条件结合韦达定理，求得的值.再化简整理的表达式，结合和基本不等式即可得到答案.‎ ‎（Ⅲ）先求出区间上，再将不等式恒成立，转化为上恒成立问题，构造新函数，得恒成立，分类讨论求得参数的值.‎ 详解：解：（Ⅰ） 为偶函数，‎ ‎ ，即，解得.‎ ‎ 所以，函数，对称轴，增区间 ‎（Ⅱ）由题知 ‎∴‎ 又∵，∴‎ ‎∴，‎ 即的最小值为，取“”时 ‎（Ⅲ）∵时，‎ ‎∴在恒成立 记，（）‎ ‎①当时，‎ 由，∴‎ ‎②当时，‎ 由，∴‎ ‎③当时，‎ 由，‎ 综上所述，的取值范围是 点睛：本题主要考查单调性和奇偶性，二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的关系，基本不等式的应用，不等式恒成立问题，准确把握常见函数的性质、恒成立问题的求解方法和灵活运用分类讨论思想是解题关键.‎